Approfondissement algébrique Développement

2nde , novembre 2010
Approfondissement algébrique
Ce petit livret d’exercices vous sera utile pour approfondir et améliorer vos méthodes de calcul. Certaines
des exercices sont corrigés, d’autres ont juste la réponse et certains n’ont aucune indication. Vous pouvez à
tout moment me demander conseil et me donner vos écrits afin que je les corrige.
Développement
L’objectif de cette série d’exercices est d’inciter à faire certains calculs mentalement. Ces exercices sont à
faire sans calculatrice ni brouillon, directement sur cette feuille.
Exercice 1 : Calculer :
A1
A2
A3
A4
=
=
=
=
2 − 5 + 1 = ...
−3 + 4 + 5 = . . .
5 − (1 − 2) = . . .
3 + (2 − 4) = . . .
A5
A6
A7
A8
=
=
=
=
7 − (8 + 3) + 2 = . . .
a − 3a = . . .
−2b + 6b = . . .
2x − (x − 3x) = . . .
A9 = 2a − 3b + a − 5b = . . .
A10 = 6a+2b+b−3a−5b = . . .
A11 = 2(a − b) + 3b = . . .
[Exercice corrigé]
Exercice 2 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x. Les calculs seront
effectués de tête, sans étape intermédiaire.
Expression
Terme en x
Expression
Terme en x
2(x − 3) − (x − 4)
5(x + 2) + (3 − x) − x
3(x + 4) − 2(4x − 1)
−2(4x + 1) + 3(2x − 4)
7(3 − 2x) + 4x − 2(x + 1)
6(2x − 3) + 2x − (1 + 3x)
[Exercice corrigé]
Exercice 3 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x2 .
Expression
Terme en x2
Expression
(2x + 1)(1 − 5x)
(1 − x)(2 + x)
(x + 3)(x − 4) − 2x(x + 2)
(2x + 3)2
2(x + 1)(3x − 1)
(2x + 3)(1 − 4x) + 3x2
Terme en x2
[Exercice corrigé]
Exercice 4 : Dans les expressions suivantes, donner la constante.
Expression
[Exercice corrigé]
Constante
Expression
(2x + 3)(5 − 3x)
(1 − 2x)(2x + 1)
(2x + 1)2
3(1 − x)(2 + x)
(2x + 1)(x − 3) + 4
(x + 2)2 + (x − 2)(x + 3)
Constante
Exercice 5 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x.
Expression
Terme en x
Expression
(x + 2)(2x − 1)
(1 − 3x)(5x + 2)
(4x − 1)(1 + x)
(2x + 3)2
2(3x − 1)(x + 4)
(x + 1)2 + (2x + 1)(1 − x)
Terme en x
[Exercice corrigé]
Exercice 6 : Développer directement, en regroupant mentalement les termes de même degré, les expressions
suivantes
Expression
Développement
(2x + 1)(x − 3)
(x + 2)(3x − 4)
3x(x + 1) − 4(x + 2)
(x + 3)2
(2x − 1)2
(x + 2)(2x − 1) + 2(x2 + 3)
2(x2 − 3x + 2) + 3(x2 − 5x − 1)
(5x2 + 2x − 1)(2 + x)
[Exercice corrigé]
Factorisation
Exercice 7 : [Somme et produit]
1. Les expressions suivantes se présentent-elles sous forme de sommes ou de produits ? Pour chaque
somme, préciser le nombre de termes et les citer. Pour chaque produit, préciser le nombre de facteurs
et les citer.
Exemples :
2x + 3 est une somme de deux termes : 2x et 3.
(x − 1)x est un produit de deux facteurs : x et x − 1.
(a) 2x − 5
(b) x(2 − x)
3
(c)
+2
x
(d)
(e)
(f)
(g)
x2
9x3
(x − 1)(x + 1) + x(x + 3)
(x − 1)2
(h) 3(x2 + x + 4)
(i) (x − 4)(x + 3) − 6
(j) x2 − 1
2. Écrire
(a) une somme de deux termes dont le premier est un produit.
(b) un produit de deux facteurs dont le premier est une somme.
(c) un quotient dont le numérateur est un produit de deux facteurs et le dénominateur une différence.
(d) une somme de deux carrés.
(e) le carré d’une somme.
Exercice 8 : [Expressions égales ou opposées]
1. On donne une expression A. Sans aucun calcul, préciser si les expressions B, C et D sont égales à A
ou à l’opposé de A.
(a) A = 5(x − 1)
ˆB = −5(x − 1)
(b) A = x(2x − 7)
ˆB = −x(2x − 7)
ˆC = 5(1 − x)
ˆC = x(−2x + 7)
ˆD = −5(1 − x)
ˆD = −x(−2x + 7)
(c) A = (3x − 2)(x + 5)
ˆB = −(3x − 2)(x + 5)
ˆC = (2 − 3x)(x + 5)
2. Soit A = 10(1 − 5x). Sans chercher à développer A,
– Écrire A autrement.
– Écrire de deux façons différentes l’opposé de A.
ˆD = (3x − 2)(−x − 5)
[Exercice corrigé]
Exercice 9 : [Facteur commun ] Pour factoriser une expression algébrique, on peut rechercher comme
facteur commun :
ˆun nombre réel
ˆune puissance de x
ˆune expression du type ax + b.
1. Trouver un facteur commun.
On considère les expressions algébriques suivantes :
A(x) = x(x + 2) − 3x
B(x) = 8x3 + 4
C(x) = 8x3 + 4x
D(x) = (5x − 2)(x − 1) + 3(x − 1)
E(x) = 5(2x − 1)2 + (2x − 1)(x + 2)
F (x) = 3x + 3
G(x) = x2 (x − 2) + 3x3
H(x) = (x − 3)2 (x + 1) − 5x(x − 3)
Classer chacune de ces expressions dans un des trois tableaux suivants puis compléter les tableaux.
Je peux mettre en facteur
un nombre réel dans...
Quel est ce nombre réel ?
Factorisation
Je peux mettre en facteur
une puissance de x dans...
Quel est cette puissance
de x ?
Factorisation
Je peux mettre en facteur
une expression du type
ax + b dans...
Quel est cette expression ?
Factorisation
2. Le facteur commun est caché.
On peut parfois faire apparaitre un facteur commun par une transformation d’écriture simple.
Exemples :
(a)
2x + 4 − 3x(x + 2) = 2(x + 2) − 3x(x + 2)
= (x + 2)(2 − 3x)
(b)
2x(x − 1) + (1 − x)(x + 2) = 2x(x − 1) − (x − 1)(x + 2)
= (x − 1)(2x − (x + 2))
= (x − 1)(2x − x − 2) = (x − 1)(x − 2)
Dans chacune des expressions ci-dessous, faire apparaitre dans chaque terme de la somme un facteur
commun puis factoriser.
D(x) = (2x − 3)2 + 5x(3 − 2x)
E(x) = 5(x − 3) − 2(x + 4)(3 − x)
A(x) = (2x + 6) − (x + 3)(4x + 10)
B(x) = (x2 + x) − x(x − 3)
C(x) = (x + 1)(x − 3) + 2(3 − x)
[Exercice corrigé]
Exercice 10 : [Avec des identités remarquables]
1. Compléter les égalités suivantes :
Identité no 1 : a2 + 2ab + b2 =
Identité no 2 : a2 − 2ab + b2 =
Identité no 3 : a2 − b2 =
2. Compléter le tableau suivant :
Expression à
factoriser
Identité
no
a = ...
b = ...
2ab =
Expression
factorisée
16x2 − 9
9x2 + 24x + 16
4x2 − 12x + 9
49x2 + 28x + 4
x2 − 3
(x − 2)2 − 9
16x2 − (x + 1)2
(3x − 2)2 − (x + 1)2
4(x + 2)2 − (3x + 2)2
3. Inventer 6 expressions que l’on pourra factoriser en utilisant les identités remarquables no 1, no 2 ou
no 3.
Exercice 11 : [Construction d’une expression à factoriser]
1. Préparer une somme de trois termes à factoriser de la façon suivante :
– Choisir un facteur commun du type ax + b
– ≪ Déguiser ≫ ce facteur commun de plusieurs façons différentes : en le multipliant par 2, par −1,
par x2 , en l’élevant au carré...
– Construire la somme demandée avec trois des termes précédents.
Exemple :
On choisit comme facteur commun x − 5.
(a) −3(x − 5) = −3x + 15
(b) x(x − 5) = x2 − 5x
(c) (x − 5)(x + 5) = x2 − 25
On construit alors la somme : A(x) = (−3x + 15) + (x2 − 5x) + (x2 − 25)
2. Factoriser l’expression construite à la question précédente.
3. Reprendre deux ou trois fois les questions précédentes.
techniques permettant de factoriser une expression algébrique.
Equations
Exercice 12 : Résoudre, en choisissant la méthode appropriée, les équations suivantes :
(E1 ) :
(E2 ) :
(E3 ) :
(E4 ) :
(E5 ) :
(x − 5)(2x + 3) + 4(x − 5) = 0
(x − 5)(2x + 3) − 2x(x + 1) = 0
x2 + 3x = 5x
x2 + 3x = 3x + 9
x2 (2x + 1) = 4(2x + 1)
(E6 ) : (x − 1)(2x + 3) + (x − 1)(3x − 4) = 0
(E7 ) : (x − 1)(2x + 3) + (x − 1)(3x − 4) = 1
(E8 ) : (4x + 1)(x + 2) − 2x(2x + 3) = 0
(E9 ) : (x2 − 9)(x + 1) + (x + 3)(x2 − 1) = 0
[Exercice corrigé]
Exercice 13 : Résoudre
2x − 5 x + 4
5 − 6x
−
=2+
3 4 6
2
6
5
x + 2 6 − x = 8 − x;
(E2 ) :
7
7
7
(E1 ) :
(E3 ) : 4 −
4 + 3x
2x x + 4
=
−
6
3
2
Exercice 14 : Les équations suivantes sont particulières. Les résoudre sans calcul.
(E1 ) : x + 2 = 2 + x
(E4 ) : x2 = −3
(E2 ) : 0x = 5
(E5 ) : x = 7
(E3 ) : 3x = 0
(E6 ) : 0x = 0
[Exercice corrigé]
√
1+ 3
Exercice 15 : On pose a =
. Vérifier que a est une solution de l’équation 9x2 − 6x − 2 = 0.
3
[Exercice corrigé]
Exercice 16 : Résoudre dans R les équations suivantes :
(E1 ) : 4x2 − 9 = 0
(E2 ) : (x − 3)(x + 2) + (x2 − 6x + 9) = 0
(E3 ) : (x − 1)2 + 3 = 0
4x + 3
=1
4x − 7
1
2
2x
(E5 ) :
−
= 2
x−1 x+1
x −1
(E4 ) :
[Exercice corrigé]
Exercice 17 : Utiliser une identité remarquable puis résoudre l’équation proposée.
(E1 ) : x2 − 4x + 4 = 0
(E2 ) : 25x2 − 10x + 1 = 0
(E3 ) : 4 − 12x + 9x2 = 0
(E4 ) : 6x + 9 + x2 = 0
(E5 ) : 9x2 − 4 = 0
(E6 ) : x2 − 3 = 0
(E7 ) : −4 + 5x2 = 0
(E8 ) : 49x2 − 25 = 0
[Exercice corrigé]
Exercice 18 : Résoudre dans R si possible
(E1 ) :
2x − 5 x + 4
5 − 6x
−
=2+
3
4
6
(E2 ) : −2(x − 3) + 5(x − 1) = 3(x − 2) + 1
2
6
5
x+2 6− x =8− x
(E3 ) :
7
7
7
4 + 3x
2x x + 4
(E4 ) : 4 −
=
−
6
3
2
Exercice 19 : Résoudre les équations proposées.
(E1 ) :
(E2 ) :
(E3 ) :
(E4 ) :
(x + 2)2 = x2 − 4
4(x + 3)2 = x2 − 9
9x2 − 1 = 3x + 1
x(3x − 2) = 4 − 9x2
(E5 ) : (2x − 1)2 − (3x + 2)2 = 0
(E6 ) : 81x2 + 1 = 0
[Exercice corrigé]
Exercice 20 : Résoudre les équations proposées.
5
3
=
x
x−2
4x − 1
=3
(E2 ) :
6x
5 − 2x
(E3 ) :
=0
1 + 4x
x2 − 4x + 3
(E4 ) :
=2
x−3
(E1 ) :
9
=x−2
x−2
1
x−1
= 2
(E6 ) :
x+5
x − 25
4
1
9
(E7 ) :
=
−
(x − 3)2
x−3
x−3
(E5 ) :
(E8 ) :
x2 − 5x + 4
= −3
x−1
Démontrer une égalité, des x au dénominateur
Exercice 21 : Démontrer les affirmations suivantes :
1
x
=
x−1
x−1
x
2
=
(E2 ) : 1 + x +
3x − 1
x−1
3x + 4
x
=
(E3 ) : 2 − 2x −
2x − 1
x−1
(E1 ) : 1 +
1
x
=
3x + 2
x−1
x
8
=
(E5 ) : 7 +
2x − 1
x−1
(E4 ) : 5 − 2x −
Solutions
Mise en garde : Vous trouverez ici les solutions ou des aides aux exercices. Il peut y avoir des erreurs et
merci de les signaler.
Solution de l’exercice 1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
=
=
=
=
=
=
2 − 5 + 1 = −2
−3 + 4 + 5 = 6
5 − (1 − 2) = 6
3 + (2 − 4) = 1
7 − (8 + 3) + 2 = −2
a − 3a = −2a
A7 = −2b + 6b = +4b
A8 = 2x − (x − 3x) = +4x
A9 = 2a − 3b + a − 5b = 3a − 8b
A10 = 6a + 2b + b − 3a − 5b = −a − 2b
A11 = 2(a − b) + 3b = 2a + b
Solution de l’exercice 2
1. x
4. 3x
2. −5x
5. −2x
3. −12x
6. 11x
Solution de l’exercice 3
1. −10x2
4. −x2
2. −x2
5. 4x2
3. 6x2
6. −5x2
Solution de l’exercice 4
1. 15
4. 1
2. 1
5. 6
3. 1
6. −2
Solution de l’exercice 5
4. −x
1. 3x
2. 3x
5. 12x
3. 22x
6. 3x
Solution de l’exercice 6
1. 2x2 − 5x − 3
5. 4x2 − 4x + 1
2. 3x2 + 2x − 8
6. 4x2 + 3x + 4
3. 3x2 − x − 8
7. 5x2 − 21x + 1
4. x2 + 6x + 9
8. 5x3 + 12x2 + 3x − 2
Solution de l’exercice 8
1. (a) A = −B, A = −C, A = D.
(b) A = −B, A = −C, A = D.
(c) A = −B, A = −C, A = −D.
2. (a) A = −10(5x − 1).
(b) −A = 10(5x − 1) ; −A = −10(1 − 5x)
Solution de l’exercice 9
1.
Je peux mettre en facteur
un nombre réel dans...
B(x)
F (x)
Je peux mettre en facteur
une puissance de x dans...
A(x)
C(x)
G(x)
Quel est ce nombre réel ?
4
3
Quel est cette puissance
de x ?
x
4x
x2
Factorisation
4(2x3 + 1)
3(x + 1)
Factorisation
x(x − 1)
4x(2x2 + 1)
x2 (4x − 2)
Je peux mettre en facteur
une expression du type
ax + b dans...
D(x)
E(x)
H(x)
Quel est cette expression ?
x−1
2x − 1
x−3
2. A(x) = −4(x + 3)(x + 2)
B(x) = 4x
C(x) = (x − 3)(x − 1)
Factorisation
(x − 1)(5x + 1)
(2x − 1)(11x − 3)
x(x − 3)(x − 7)
D(x) = −3(2x − 3)(x + 1)
E(x) = (x − 3)(2x + 13)
Solution de l’exercice 12
−7
}
2
−5
}
={
3
= {0; 2}
= {−3; +3}
−1
= {2;
; −2}
2
(E1 ) : S = {5;
(E2 ) : S
(E3 ) : S
(E4 ) : S
(E5 ) : S
1
(E6 ) : S = {1; }
5
6
(E7 ) : S = {0; }
5
−2
(E8 ) : S = {
}
3
(E9 ) : S = {2; −3; −1}
Solution de l’exercice 14
(E1 ) : S = R
(E2 ) : S = ∅
(E3 ) : S = {0}
(E4 ) : S = ∅
(E5 ) : S = {7}
(E6 ) : S = R
Solution de l’exercice 15
On calcule 9a2 − 6a − 2 et on s’aperçoit que ça fait 0.
Solution de l’exercice 16
3 3
(E1 ) : S = { ; − }
2 2
1
(E2 ) : S = { ; 3}
2
(E3 ) : S = ∅
(E4 ) : S = ∅
(E5 ) : S = ∅
Solution de l’exercice 17
(E1 ) : S = {2}
1
(E2 ) : S = { }
5
3
(E3 ) : S = { }
2
(E4 ) : S = {−3}
4 −4
(E5 ) : S = { ;
}
3 3
√ √
(E6 ) : S = {− 3; 3}
r r
5
5
(E7 ) : S = {−
;
}
2
2
5 5
(E8 ) : S = {− ; }
7 7
Solution de l’exercice 19
−1
}
2
(E2 ) : S = {−3; −5}
2 1
(E3 ) : S = { ; − }
3 3
(E1 ) : S = {
2 1
(E4 ) : S = { ; − }
3 2
1
(E5 ) : S = {−3; − }
5
(E6 ) : S = ∅