Sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
M ARTINE PATHIAUX
Sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no 7, p. 1-6
10, no 1 (1968-1969),
<http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1968-1969__10_1_A6_0>
© Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres
(Secrétariat mathématique, Paris), 1968-1969, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres »
implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
7-01
Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU
(Théorie
10e
nombres)
des
année, 1968/69,
20 janvier 1969
n° 7
QUOTIENT DE HADAMARD DE DEUX FRACTIONS RATIONNELLES
SUR LE
par Martine PATHIAUX
1. Introduction.
Soit
K
un
sous-corps de
des fractions rationnelles
développement
le
en
Q.
On considère
A(z) =
~y ,
~(K) (voir [1] et [2]) , l’algèbre
0 ,
et
d~ Q
d~ P
où
et dont
série de Taylor à l’origine est à coefficients dans
c’est-
à-dire
où
pour
i
1
d° R.
=
i
Conjecture: Soit
K
une
multiplicité
extension
Q(z) ,
les zéros de
(1 , : .. , k) désignent
e
03B8-1 -
de
1
et où
.
i
algébrique
finie de
C .
Soient
a
où
c
===2014
est entier
La
en
convenant que
n
algébrique,
conjecture
alors
c =1 si b
C(z) ~ R(K) .
est vraie dans certains
cas.
==
a =0 ; Si, quel
C PISOT
[7]
a
que soit
n ~
c
démontre le théorème
suivant.
THEOREME 1.1. - Soient
où
20142014 n
n
i~ .1
b~’~.= Qj(n) inj ,
Z
si
2014
n
b n ~"
avec
*~’2014~*
pour tout
201420142014201420142014
n~
1
Î
>
alors
......._._
-L
i
pour
201420142014
C~~~-~
n=0
nelle.
Ds CANTOR
a
démontré le théorème
le
ci-après.
c
n
£2 9 ... , l} et
zn
est
une
~.
= 0 ;
fraction ration-
20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
THEOREME 1.2. - Soient
a
Q(n) ;
b =
~ù
n
-
si
-n
b
c =
n
-
~
C(z) = ~.
zn
c
exposé
Cet
algébrique
est entier
pour tout
n9 alors
.....
n
est
une
f raction rationnelle.
pour but de démontrer que la
a
conjecture est
vraie dans le
encore
cas
suivant.
THÉORÈME
1.3. - Soient
si le nombre de
"
pôles
distincts de
°
’
B(z)
est inférieur
ou
égal
a
n
à
2, et si
c
zn
oo
algébrique
est entier
n
pour tout
n, alors
~---
C(z) = ~,
n
est
une
fraction rationnelle.
Notations. - On note Q
Q
p = 0 ,p
(si
Soit
K
désigne
F(z)
de
s
,
=
n=0
un
de
Q .
et p
complété
de
03B1(s)
désignent les conjugués de a
n pour 1 . 1 , ... , s désignent les
=
zn = F1(z) .
La démonstration du théorème 1.1 est basée
sur
le
théorème de BOREL
monstration du théorème 1.3 est analogue à celle du théorème
généralisation
le
Q .
... ,
F(i)(z) = 03A3 u(i)n
n~K,
de
d°
03B1 = 03B1(1) ... , 03B1(i) ,
et si u
conjugués
algébrique
C ).
extension finie de
une
,
sur Q ,
la clôture
1,1,
[~4~.
La dé-
mais utilise
une
Borel, due à DWORH [6] (généralisé par la suite par
utilisant l’analyse p-adique. Nous l’énonçons sous cette for-
du théorème de
F.
BERTRANDIAS [3]),
me
restreinte :
co
THÉORÈME
1.4, - Soient
même extension
Si les
K
F ( z~ ,
nombre fini de
de
d° s , et
pour
pôles
F(z) = 1 u
n==0
zéro
i E (1 ,
non
p
un
... ,
compris,
z , où
°°°°°°~
nombre
s~ ~
u
~
est
un
entier
’
algébrique
d’une
"
premier rationnel.
sont
dansz(
méromorphes dans C
03C1i,0 ,
avec un
F (z), pour i ~ {1 , ...
bre fini de pôl es dans
jzt|’p
p o.
201420142014201420142014-2014~-201420142014201420142014
Si les
i=
alors les
1 ,
,
s} ,
sont
méromorphes
Q
dans
avec un nom2014
?
... ,
s ,y sont des fractions rationnelles.
La démonstration utilise les déterminants de Hankel
et les
où
inégalités
suivantes
le rayon de convergence de
désigne
Ri,0
1,
lzl
dans
de
où
e.
i
désigne
03C1i,0 ,
le nombre de
F(i)(z) ,
et
le nombre de
h,
i
pôles
et
pôles
de
dans
jzj p
y et
p.
lyp
2. Lemmes.
Notations. - Notons
K
et
une
coefficients des
algébriques.
de
ces
algébrique
polynômes Pi
extension
LEMME 2.1. - C(i)(z)
ce
cas
nuls.
et
Q.. On peut supposer tous
s
contenant tous les
81i , ~ J. ~
bn
a
ces
et les
nombres entiers
par le dénominateur
et
ont des rayons de convergence
=
o
non
d°
contraire, on multipliera a n et
qui ne changera pas la forme générale de
Dans le
nombres,
de
b .
R,
,o
dans
si
b =
Si
n
0,
algébrique.
= 1 ,p et
c
n
rayon de convergence de
1,
~(i).~
1
.
2.2. -
Si
1 9
tel que
si
effet,
1 2
clu.
tif de
1
est entier
b
puisque
n
est entier
f2
= 1 , ~ i ~ {1 ,
On
a
donc
~
s~ ~ et, si - est différent
2
premier rationnel, et i E ~ 1 ! ... , s~
~ a. E ~ ~, ,
p
... ,
,
.
201420142014201420142014201420142014
201420142014
... ,
ayant
s
d’après
alors
algébrique,
s} , --
xl
pour racines
i
pour
théorème de Kronecker,
un
est racine de
P(x) = 03B2i
n’est donc pas entier. Soit
degré
C(i)(z) .
| (i)1|p ~ | (i)2|p .
--
.(i)
|1(i)2
N~b n~ >,
..
=
il existe
d’une racine
si
alors
Donc
Soit
En
bn ~ 0 ,
si
~
l ’unité,
Z[xJ
~ {1 ,
un
... 9
ce
qui est
ex-
polynôme primi-
s} .
Alors
~’ 1
SO ‘ ~ P ~± 1 .
tel que
donc
un
côté de
Soit
p
un
diviseur de
il existe
puisque le polynôme est primitif.
pente négative. Il existe donc i
Le
E
polygone de Newton de
...
,9
s}
1~
P(x)
s -
... ~
a
tel que
3. Démonstration du théorème.
Nous excluons le
cas
où
~~’
~2
cas
de CANTOR.
est racine de
l’unité. Dans
ce
cas,
on se
ramène
au
Si pour
permettra
Remarquons que
ceC(i)(z)
dans .
vergence)
est
est
de
une
fraction
D’autre
algébrique.
supérieur
ou
égal
(resp. R.. )
p..
au
le
’
dans
de
rationnelle,
le théorème 1.2
l’est aussi.
est entier
c n, r
En notant
r ( z)
C(z)
d’affirmer que
C
C
convenable,
r
un
E
premiers rationnels, zéro inclus,
J
J ,
le rayon de convergen-
part,
rayon de
dans
convergence
rayon de méromorphie (resp.
C
de
con-
des nombres
désignant l’ensemble
a
on
y indépenpart, pour j ~ J , j ~ 0 , p.. >,1 . Il existe donc
dant de i , j ,y r tels que
03C1i
j , r A . D’après le théorème 1.4, il suffit donc
1,J , ,r
de démontrer qu’il existe i ~ {1 , ... , s}
et j E J tels que lim p.. r = +~ .
D’autre
Or
d’après
| (i)1|p
le lemme
~|
que, pour
ce
transf o rmons
(i)2|p .
p
2.2,
il existe
Supposons
considéré 9
par
lim
p
E
J
exemple
03C1 ,p,r
=
et
1
i
=
+ co .
1
~ {1 , ... , s}
et
|2 1|p
=
(jo
tels que
1 ,
et montrons
En utilisant l’identité
7-06
BIBLIOGRAPHIE
[1] BENZAGHOIJ (B.). -
de Hadamard des fractions rationnelles, SémiThéorie
des nombres, 9e année, 1967/68, n° 15,
Delange-Pisot-Poitou :
naire
Sur
l’algèbre
16 p.
(B.). - Sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles,
Séminaire Delange-Pisot-Poitou : Théorie des nombres, 10e année, 1968/69,
n° 1, 14 p.
[2]
BENZAGHOU
[3]
BERTRANDIAS
(F.). -
Diamètre transfini dans
prolongement analytique,
[4]
B0REL
(E.). -
Série 2, t.
[5]
DWORK
PISOT
corps valué. Application au
t. 257, 1963, p. 583-585.
application d’un théorème de Hadamard,
18, 1894, 1re partie, p. 22-25.
Sur
Bull. Sc.
une
math.,
On arithmetic properties of coefficients of rational funcPacific J. of Math., t. 15, 1965, p. 55-58.
(B. M.). -
riety,
[7]
un
Paris,
(D. G.). -
CANTOR
tions,
[6]
C. R. Acad. Sc.
On the rationality of the zeta function of
Amer. J. of Math., t. 82, 1960, p. 631-648.
(C.). -
nentielle,
algebraic
va-
Sur les fonctions arithmétiques analytiques à croissance expoC. R. Acad. Sc. Paris, t. 222, 1948, p, 988-990.
(Texte
Mme Martine P AT HI AUX
19 rue de Chartres
92 -NEUILLY
an
reçu le
27 janvier
1969)