Théorie des nombres :le grand théorème de Fermat

Théorie des nombres :le grand théorème de
Fermat
Rémy Aumeunier
[email protected]
Amateur
Résumé En mathématique, et plus précisément en théorie des nombres,
le dernier théorème de Fermat,ou le grand théorème de Fermat, s’énonce
comme suit : Il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels
que :
xn + y n = z n
Dès qu’un entier n’est pas strictement supérieur à 2. Ce théoreme fut
démontré par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994 et
validé par la suite.
1
Introduction
Ce document propose de mettre en évidence une démonstration simple
du dernier théorème de Fermat.
2
Démonstration
à partir de :
xn + y n = z n
que je transforme pour simplifier par :
an − bn = cn
avec a > b
Maintenant je représente an et bn sous forme de rectangle
an = an−1 .a bn = bb−1 .b
Théorie des nombres
puis je soustrais les deux surfaces comme le represente le dessin ci dessous
ce qui permet de dire que
an − bn = (a − b).an−1 + (an−1 − bn−1 ).b
et maintenant il suffit de constater que (an−1 − bn−1 ).b peut aussi s’écrire
sous forme de rectangle an−1 = an−2 .a avec bn−1 = bn−2 .b que je soustrais
de la même manière que précédemment
an−1 − bn−1 = (a − b).an−2 + (an−2 − bn−2 ).b
et donc
an − bn = (a − b).an−1 + (an−1 − bn−1 ).b
an − bn = (a − b).an−1 + ((a − b).an−2 + (an−2 − bn−2 ).b).b
et le lecteur attentif remarque que je peux encore transformer an−2 − bn−2
et mettre en facteur (a − b) donc (an − bn )mod((a − b)) = 0 et pour un n
donné par exemple 7 cela permet d’écrire
a7 − b7 = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
à partir de maintenant je vais considérer le théorème comme juste et
essayer d’écrire
a7 − b7 = c7 = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
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Théorie des nombres
2.1
étude du cas C et un nombre premier :
a7 − b7 = c7 = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
avec (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) comme c et
n
premier (a − b) = c ,ou c2 ,c3 ou ... c 2 −1 sachant que np .nq = np+q cela
implique que
a7 − b7 = c7 = (a − b)y .(a − b)x
avec, ici x + y = 7 et x < y parce que (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 +
a2 .b4 +a.b5 +b6 ) mais comme (a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) n’est
pas de la forme(a − b)y voir les identités remarquables ou les équations
polynomiales de degré n.
De manière plus simple ou trivial il suffide démontré l inegalite de
(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) − (a − b)x = 0
si x et de même degré ici 6
(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) − (a6 − 6.a5 .b + 15.a4 .b2 −
20.a3 .b3 + 15.a2 .b4 − 6.a.b5 + b6 ) = 0
comme les coefficients ne sont pas égaux il ne peut pas y avoir d’égalite,et si les degrés sont différents l’égalité et aussi impossible par exemple
pour 3 il reste des valeurs de degré supérieur à 3 en plus des coefficients
toujours pas égaux (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) − (a3 −
3.a2 .b + 3.a.b2 − b3 )
donc si
an − bn = cn
alors C ne peut pas être un nombre premier
2.2
étude du cas C est un nombre composé :
a7 −b7 = c7 = p.7 .q 7 .r7 = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
avec (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) comme C est
un nombre composé (a − b) = p p.q, p.q.r , p.q.r2 , p.q 2 .r2 ou ....
cela implique que
a7 −b7 = c7 = p7 .q 7 .r7 = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
a7 −b7 = c7 = p.(p6 .q 7 .r7 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
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a7 −b7 = c7 = p.q.(p6 .q 6 .r7 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
a7 −b7 = c7 = p.q.r.(p6 .q 6 .r6 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
a7 −b7 = c7 = p.q.r2 .(p6 .q 6 .r5 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
a7 −b7 = c7 = p.q 2 .r2 .(p6 .q 5 .r5 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
...
a7 − b7 = c7 = x.y = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
avec y de degré (n-1) ici 6 et x<y parce que (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 +
a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) de manière plus simple x est présent dans y parce
que x et y partagent les même facteurs donc
a7 −b7 = c7 = x.(x.k) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
cela implique que (a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )mod((a−b)) = 0
ce qui revient à savoir si (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) et
(a − b) sont deux polynomes premiers entre eux, les racines de (a − b)
étant triviales je peux donc dire que (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 +
a.b5 + b6 )mod((a − b)) 6= 0 de manier plus simple si
(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) = (a − b).(.....)
alors
(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) et (a − b)
partagent les même racine donc si
b = a, (a − b) = 0 mais (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) 6= 0
donc (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) 6= (a − b).(.....)
et l’on remarque au passage qu’il faut un polynomes de degré supérieur
pour permetre la factorisation. donc n>2 (a − b).(a2 − a.b + b2 ) Il reste
le cas ou x n’est pas present dans y avec C qui est toujours un nombre
composé
a7 −b7 = c7 = p7 .(q 7 .r7 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
a7 − b7 = c7 = x.y = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
comme (q 7 .r7 ) a un degré superrieur a
(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
(q 7 .r7 ) 6= (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
et donc si
an − bn = cn
alors C ne peut pas être un nombre composé
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2.3
étude du cas (a-b)=1 :
a7 −b7 = c7 = p7 .q 7 .r7 = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )
a7 − b7 = c7 = p7 .q 7 .r7 = (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
comme (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) est un polynome de
degré 6
c7 6= (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )
donc si
an − bn = cn
alors (a − b) 6= 1
2.4
Conclusion :
an − bn 6= cn avec n > 2
sauf erreur de ma part bien sur
Références
1. ↑ https ://fr.wikipedia.org/wiki/DernierthéorémedeFermat
2. ↑https ://fr.wikipedia.org/wiki/DémonstrationsdudernierthéorémedeFermat
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