I - Fraction quotient ex 1 Définition Soient a et b deux nombres entiers, avec b 0. La fraction a est le quotient de a par b. Soit a = a ÷ b. b b Règle Tout nombre décimal (et donc également tout nombre entier) admet une écriture fractionnaire. Mais attention, un nombre en écriture fractionnaire n'est pas forcément un nombre décimal. Remarque : Un nombre en écriture fractionnaire qui n'est pas un nombre décimal possède une écriture décimale illimitée périodique. On ne peut en donner qu'une valeur décimale approchée. Exemple : Parmi les fractions suivantes, quels sont les nombres décimaux ? Pour celles qui ne sont pas des nombres décimaux, donnes-en une valeur approchée au centième. 1 1 5 12 5 9 7 30 a. b. c. d. e. f. g. h. 2 3 4 10 7 12 5 22 1 5 12 9 7 , , , et car on finit par obtenir un reste nul dans la division 2 4 10 12 5 du numérateur par le dénominateur. Les nombres décimaux sont : 1, 0 0 0 10 10 10 1 3 0, 3 3 3 5, 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 3 0 2 0 6 0 4 0 5 0 1 1 = 0,333... 3 7 0, 7 1 4 2 8 5 7 5 = 0,714285714285... 7 3 0, 0 0 0 0 80 140 80 140 8 22 1, 3 6 3 6 30 = 1,3636... 22 1 1 . On note 0,33. 3 3 5 5 e. 0,71 est une valeur approchée au centième du quotient . On note 0,71. 7 7 30 30 h. 1,36 est une valeur approchée au centième du quotient . On note 1,36. 22 22 b. 0,33 est une valeur approchée au centième du quotient II - Quotients égaux ex 2 Règles Soient a, b et k des nombres, avec b 0 et k 0. Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Un quotient ne change pas quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. a a ×k = b b× k Soit : a = a ÷ k b b÷ k Soit : Exemple : Les aires des trois surfaces coloriées sont égales. Déduis-en des fractions égales. Les fractions 80 8 4 2 8 4 4 ÷2 2 2 2 ×4 = et = = , et sont égales et on a : = . 6 3 12 6 6 ÷2 3 3 3 × 4 12 FRACTIONS (2) – CHAPITRE N5 III - Simplification de fraction ex 3 Règle Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits. Remarque : Une fraction que l'on ne peut plus simplifier est dite irréductible. Exemple : Simplifie le plus possible la fraction 48 . 60 Pour simplifier cette fraction, on cherche des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur. 48 2 × 24 24 6 × 4 4 = = = = 60 2 × 30 30 6 × 5 5 4 48 . n'est plus simplifiable, elle est donc irréductible. C'est la fraction la plus simple égale à 5 60 IV - Multiplication d'un nombre par une fraction ex 4 et 5 Règle a par une fraction b (avec c ≠ 0), on peut : c calculer le quotient de b par c puis multiplier le résultat par a ; ou calculer le produit a par b puis diviser le résultat par c ; ou calculer le quotient a par c puis multiplier le résultat par b. Pour multiplier un nombre • • • Remarque : Peu importe la méthode, on divise toujours par le dénominateur de la fraction. Exemple : Calcule 45 × Pour calculer 45 × 4 . 5 4 , on peut procéder ainsi : 5 4 = 45 × 4 ÷ 5 = 45 × 0,8 = 36 5 4 45 × 4 = 9 × 4 = 36 • ou 45 × = 5 5 4 45 × 4 180 = = 36 • ou 45 × = 5 5 5 • 45 × Cette méthode est intéressante quand la fraction est un nombre décimal. Cette méthode est intéressante quand la division tombe juste (résultat entier ou décimal). Cette méthode fonctionne toujours mais n’est pas forcément la plus rapide. Remarque : La deuxième méthode semble ici plus rapide car les calculs se font facilement de tête. Attention : On n'obtient pas toujours un nombre décimal. Par exemple : 4 × 2 8 = . 3 3 Règle Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier la fraction par cette quantité. Exemple : Amélie a dépensé les cinq septièmes de ses économies qui s'élevaient à 14,70 €. Combien a-t-elle dépensé ? Calculer les cinq septièmes de 14,70 €, c'est multiplier 5 par 14,70 €. 7 5 14,70 × 14,70 = × 5 = 2,10 × 5 = 10,50. (C'est ici la méthode la plus simple.) 7 7 Amélie a donc dépensé 10,50 €. CHAPITRE N5 – FRACTIONS (2) 81 V - Pourcentage ex 6 A - Calcul d'un pourcentage Règle Calculer x % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par x 100 . Exemple : 36 % des 425 élèves d'un collège sont externes. Combien y a-t-il d'élèves externes ? Pour calculer le nombre d'externes, on calcule 36 % de 425. 36 36 × 425 15 300 × 425 = = = 153. 36 % de 425 = 100 100 100 Il y a donc 153 élèves externes dans ce collège. B - Pourcentages particuliers Règles • Prendre 10 % d'un nombre, c'est en prendre le dixième. En effet • Prendre 50 % d'un nombre, c'est en prendre la moitié. En effet • Prendre 25 % d'un nombre, c'est en prendre le quart. En effet • Prendre 75 % d'un nombre, c'est en prendre les trois quarts. En effet • Prendre 100 % d'un nombre, c'est en prendre la totalité. En effet 82 10 100 50 100 25 100 75 100 100 100 1 . 10 1 = . 2 1 = . 4 3 = . 4 = = 1. 1 Donne une écriture décimale de chaque quotient ou une valeur approchée au millième. a. 14 b. 5 c. 27 d. 2 e. 9 f. 3 11 6 10 9 8 25 4 Calcule. 10 a. 5,6 × 7 9 b. 45 × 5 2 Parmi les quotients suivants, quels 5 sont ceux égaux à ? 3 54 90 45 40 0,05 b. c. a. d. e. 27 33 54 25 0,03 5 Les deux tiers des 60 salariés d'une entreprise sont des ouvriers, un quart sont des techniciens et les autres sont des cadres. Détermine le nombre de salariés dans chacune des catégories. 3 Simplifie chaque fraction au maximum. 125 40 18 16 a. b. c. d. 90 72 24 75 6 Lundi, un vigneron a récolté 23 kg de raisin et a dû en jeter 12 %. Quelle masse de raisin a-t-il jetée ? FRACTIONS (2) – CHAPITRE N5 18 9 3 d. 0,4 × 4 c. 4,6 ×