• Loi de composition interne sur E . On nomme ainsi toute

• Loi de composition interne sur E . On nomme ainsi toute application de E × E à valeurs dans E
E×E → E
∗:
(x, y)
→ x∗y
Notation : si n ∈ N∗ alors xn = x ∗ x.. ∗ x , n fois est l’itéré nième de x pour la loi ∗
• Associativité
∗ associative ⇔ ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
quand une loi est associative il est inutile de mettre des parenthèses : attention certaines lois ne sont pas asc
sociatives ... par exemple la loi définie sur N∗ par a ∗ b = ab ne l’est pas puisque (ab )c = abc = a(b ) en
général
• Elément neutre : Il existe un élément neutre e pour ∗ dans E ssi
∀x ∈ E, e ∗ x = x ∗ e = x
Si e existe et si la loi ∗ est associative , alors e est unique.
• Inverse d’un élément : Si e existe et si la loi ∗ est associative , on dit que l’élément x est inversible pour ∗ ssi il
existe un élément x′ tel que
x′ ∗ x = x ∗ x′ = e
x′ est alors unique et s’appelle l’inverse de x pour la loi ∗: il est noté x−1
• Commutativité
∗ commutative ⇔ ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x
Exercice : Soit un ensemble E muni d’une loi ∗ qui est associative, qui posséde un élément neutre e, et telle
que ∀x ∈ E, x2 = e : alors la loi ∗ est commutative
1
• Un groupe est un couple (G, ∗) formé d’un ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗, associative ,
possédant un élément neutre e , et telle que tous les éléments de E possédent un inverse dans E
• Soit (G, ∗) un groupe et G′ une partie de G . G′ est un sous-groupe de G si elle est stable pour la loi ∗ et si de plus
(G′ , ∗) est un groupe. Ceci est équivalent à montrer que
e ∈ G′
∀(x, y) ∈ G′2 , x ∗ y −1 ∈ G′
• Une application f de (G, $) dans (H, $) est un morphisme ssi
∀(x, y) ∈ G, f(x$y) = f (x)$f(y)
Si f est un morphisme surjectif et si (G, $) est un groupe alors (H, $) est un groupe et de plus
eH = f (eG )
−1
f(x ) = (f (x))−1
• Le noyau d’un morphisme de groupe f est
ker(f ) = {x ∈ G, f (x) = eH }
C’est un sous groupe de (G, $)
• L’image d’un morphisme de groupe f est
Im(f) = f (G)
• Un morphisme f est injectif ssi ker(f ) = {eG } . Il est surjectif ssi Im(f) = H
• Un groupe est commutatif ssi la loi du groupe l’est . (Z, +) est un exemple de groupe commutatif
1 ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y ∈ E , donc (x ∗ y)2 = e = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) , donc (x ∗ e) ∗ y = (x ∗ ((x ∗ y) ∗ (x ∗ y)) ∗ y ce qui donne grâce
à l’associativité de x ∗ y = y ∗ x
0.0.1
Sous groupe engendré par un élément.
• Soit (G, ∗) un groupe commutatif et a ∈ G . On note
∀n ∈ N∗ , an = a ∗ .. ∗ a, n f ois
∀n ∈ Z− , an = (a−n )−1 et a0 = e.
Gr(a) = {an , n ∈ Z}
L’ensemble Gr(a) est un sous-groupe de G appelé sous groupe engendré par a
Par exemple si (G, ∗) = (U, ×) est le groupe des complexes de module 1, et a = e
Gr(a) = 1, a, a2 , a3 , a4 = U5
n’est autre que le sous groupe des racines cinquièmes de l’unité dans C.
2iπ
5
• Ordre d’un élément dans un groupe
Soit a ∈ G. On dit que a est d’ordre fini ssi il existe un entier p1 tel que
ap = e et ∀k ∈ {1, .., p − 1} , ak = e.
p est l’ordre de a :il est unique lorsqu’il existe , mais n’existe pas nécéssairement
par exemple dans (U, ×), a = ei n’est pas d’ordre fini 2 , alors que a = e
2iπ
5
est d’ordre 5
• Groupe cyclique . Un groupe G est cyclique lorsqu’il existe un élément a de ce groupe tel que
Gr(a) = G
Par exemple ( Z, +) est cyclique car Z = Gr(1) = Gr(−1) , U5 est cyclique car U5 = Gr(e
(R, +) n’est pas cyclique puisque si a = 0, Gr(a) = Za = {na, a ∈ Z} , et Za = R
On appelle générateur d’un groupe cyclique tout élément a qui vérifie Gr(a) = G
2iπ
5 )
, cependant
• Le groupe Un des racines nièmes de l’unité est cyclique , de cardinal n. Il admet pour générateur α = e
que tous les éléments de la forme αk ou 1kn − 1 est un nombre premier avec n.
0.0.2
2iπ
n ,
ainsi
Le groupe symétrique
• Groupe symétrique . On nomme ainsi le groupe Sn des permutations de {1, .., n}
Card(Sn ) = n!
• La transposition ti,j de Sn est l’application telle que ti,j (i) = j, ti,j (j) = i qui laisse tous les autres éléments de
{1, .., n} invariants
• Le cycle ci1 ,..,ik est l’application c telle que ∀j ∈ {1, .., k − 1} , c(ij ) = ij+1 et c(ik ) = i1
Une transposition est un cycle de longueur 2
• Génération de Sn par les transpositions
∀σ ∈ Sn , ∃p ∈ N∗ , ∃t1 , .., tp , p transpositions telles que σ = t1 ot2 o.......otp
Remarque : toute permutation peut se décomposer comme produit commutatif de cycles à supports disjoints
1 2 3 4 5 6 7
Par exemple f :
est la composée commutative de c1,4,2 , c3,5 , c6,7
4 1 5 2 3 7 6
• Signature d’une permutation
∀σ ∈ Sn , σ = t1 ot2 o.......otp ⇒ ε(σ) = (−1)p
L’application ε est un morphisme de (Sn , o) dans ({−1, 1} , ×). C’est d’ailleurs le seul morphisme non trivial.
• Le noyau de ce morphisme est l’ensemble des permutations dont la signature est égale à 1 , que l’on nomme
permutations paires
An = {σ ∈ Sn , ε(σ) = 1}
2
en effet ak = eik :
ak = 1 ⇔ k = 2rπ ⇔ k = r = 0 car sinon on aurait π ∈ Q
An est un sous groupe de Sn , appelé groupe alterné.
1 2 3
2
• Exercice: peut on passer de la position du taquin n ◦ 1 : 4 5 6 à la position n ◦ 2 : 4
7 8
7
la case vide pour faire glisser les pièces verticalement ou horizontalement ? 3
1
5
8
3
6
en utilisant
• Un anneau (A, +, ×) est un ensemble muni de deux lois internes +, × tel que
(A, +) est un groupe commutatif
× est associative
× possède un élément neutre 1A
× est distributive sur +
si la loi × est commutative , l’anneau est dit commutatif
• Eléments inversibles
On note A∗ l’ensemble des éléments de A qui admettent un inverse pour la loi ×
A∗ = {x ∈ A, ∃y ∈ A, xy = yx = 1A }
A∗ est un groupe multiplicatif
• Corps .
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles
• Un anneau commutatif est intègre ssi
∀(x, y) ∈ A2 , xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0
(Z, +, ×) est un anneau intègre . (Q, +, ×) est un corps
3 Non . associons à chaque position du taquin la suite des chiffres lus dans la table en parcourant successivement les lignes de gauche à
droite. On obtient ainsi une permutation de {1, .., 9} . la position n◦ 2 définit une permutation de signature -1, alors que la position n◦ 1 a pour
signature 1 : or toutes les transformations possibles sur le taquin sont soit l’identité pour le glissements horizontaux, soit des cycles d’ordre
3
pour les glissements verticaux, dont la signtaure est égale à 1. Il est donc impossible en composant de telles permutations d’obtenir une
signature égale à −1