ARITHMETIQUE

ARITHMETIQUE
I.
DIVISEURS ET MULTIPLES
Un bateau de croisière organise une sortie à la prochaine escale pour 1452 passagers.
Il veut réserver des bus de 30 places.
Pour savoir combien il faut de bus, on pose la division euclidienne de 1452 par 30 car on cherche un
quotient et un reste entiers :
1452
- 120
252
- 240
12
30
48
On peut écrire cette opération en ligne :
1452 = 30 × 48 + 12
Il faudra donc 49 bus : 48 seront complets et le dernier comptera 12 passagers.
Devant le grand nombre de bus nécessaires, la société de bus propose alors une autre catégorie de bus
de capacité 66 places.
La division euclidienne de 1452 par 66 a un reste nul car 1452
= 66 × 22.
On dit alors que :
 1452 est un multiple de 66
 1452 a pour diviseur 66
 66 est un diviseur de 1452
On aura alors besoin de 22 bus qui seront complets.
Un nombre est dit premier quand il a seulement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.
Exemple : 17 est un nombre premier.
Carte heuristique sur la division euclidienne
II.
PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN
1) VOCABULAIRE
Louise veut inviter des amis à manger une assiette de fruits de mer.
Elle a commandé 36 huîtres et 60 crevettes.
Elle veut utiliser tous ses fruits de mer et avoir des assiettes identiques.
Elle peut faire 6 assiettes identiques car 36 = 6 × 6 et 60 = 6 × 10.
On dit qu’un nombre est un diviseur commun à plusieurs nombres entiers si c’est un diviseur de chacun
de ces nombres.
Ici, 6 est un diviseur commun à 36 et 60.
Si Louise veut inviter le plus d’amis possible, elle pourra faire 12 assiettes au maximum.
En effet, les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36
Et les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60
On appelle P.G.C.D. de plusieurs nombres le plus grand diviseur commun à tous ces nombres.
Ici, 12 est le PGCD de 36 et 60.
Deux nombres sont dits premiers entre eux lorsque leur P.G.C.D. est égal à 1 ; c’est-à-dire quand leur
seul diviseur commun est 1.
2) METHODES POUR TROUVER LE P.G.C.D. DE DEUX NOMBRES
 On cherche (comme dans l’exemple précédent) tous les diviseurs de ces deux nombres et on prend le
plus grand diviseur commun.
 On applique l’algorithme des soustractions successives.
Exemple : Pour 12 et 18 :
A
18
12
6
B
12
6
6
A–B
18 – 12 = 6
12 – 6 = 6
6 est le P.G.C.D.car A = B
 On applique l’algorithme d’Euclide
Exemple : Pour 12 et 18 :
18
12
12
6
6
1
0
2
6 est le P.G.C.D de 12 et 18.
III.
FRACTIONS IRREDUCTIBLES
1) VOCABULAIRE
Une fraction est dite irréductible si elle est simplifiée le plus possible.
Pour avoir une fraction irréductible, il faut et il suffit que le numérateur et le dénominateur soient
premiers entre eux.
Exemples :
34 et 11 sont premiers entre eux :
34
est irréductible
11
34 et 12 ne sont pas premiers entre eux, ils ont 2 comme facteur commun donc
34 17
=
12 6
2) METHODES POUR SIMPLIFIER UNE FRACTION ET LA RENDRE IRREDUCTIBLE
On divise le numérateur et le dénominateur par des diviseurs communs jusqu’à ce qu’ils soient premiers
entre eux.
: 10
Exemple :
:2
120 12 6


100 10 5
: 10
:2
On cherche le P.G.C.D. du numérateur et du dénominateur et on simplifie par ce nombre.
Exemple :
48
36
On cherche le P.G.C.D. de 48 et 36 :
Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36
Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48
Ecrire sous forme irréductible
Le P.G.C.D. est donc 12 on va simplifier par 12.
48 4
48 : 12 = 4 et 36 : 12 = 3 donc = .
36 3