1°S Angles, trigonométrie et repérage Exercices (niveau 1) J Angles orientés. Exercice 1. Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que : OI , OA 7π et 8 3π OI , OB 5 A I' O . Déterminer la mesure principale des angles suivants : OI , OJ ; OJ , OB ; OB , OA B J' On pourra utiliser la relation de Chasles. Exercice 2. Dans la figure suivante, ABC est un triangle équilatéral. CBD, ACE et AFB sont des triangles rectangles et isocèles respectivement en D, E et F. Déterminer la mesure principale des angles suivants. ( AC , AE ) ( BD , BF ) ( BA , AC ) ( DC , CA ) E ( EA , CB ) . C D A B F Exercice 3. Soit 1. et . Déterminer la mesure principale de : 2. 3. 4. . I Trigonométrie. Exercice 4. Démontrer que la représentation graphique de la fonction f définie, sur R, par : f (x) = cos (2 x) + sin x – 1, est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1. Exercice 5. 1) θ est un angle (situé dans ] – π , π ]) dont on sait que cos θ = 3 2 et sin θ = 1 2 . Que vaut θ (en radians) ? π 2) θ est un angle situé dans 2 4 tel que sin θ = ;π 5 3) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que cos θ = . Calculer cos θ et tan θ . 2 3 . Calculer sin θ et tan θ . 4) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que tan θ = 2. Calculer cos θ et sin θ . Exercice 6. Résoudre dans R les équations suivantes : sin 2 x 3 cos 2 x 4 1 sin 2 x = cos x. 2 Exercice 7. Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan On rappelle que tan x = sin x cos x pour tout x 1 cos 2 x π En déduire la valeur exacte de cos 3) Calculer la valeur exacte de cos 8 5π 8 π 8 π 2 1. k π où k D. . . Exercice 8. Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan 1) Soit x 0; π 2 . Démontrer que : tan 2) En déduire que tan 5π 12 2 π 2 x Z}. D. En déduire la valeur exacte de tan pour tout x puis de sin 2 8 D où D = R – { 1) Démontrer que : tan ( π + x) = tan x, pour tout x 2) Démontrer que : 1 + tan 2 x π π 12 1 tan x 2 3. . 3. Exercice 9. 1) Résoudre, dans ] – π , π ], l’équation : sin x = sin (2 x). Représenter les éventuelles solutions sur le cercle trigonométrique. 2) Existe-t-il un angle aigu θ , non nul, ayant le même sinus que 2 θ ? 9π 8 . Coordonnées polaires. Exercice 10. Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont : A (2 ; 0) et B 2 ; π 6 . On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C ( 3 ; – 1). 1) Préciser, sans justification les coordonnées cartésiennes de A. 2) Calculer les coordonnées cartésiennes de B. 3) Calculer les coordonnées polaires de C. 4) Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. 5) Placer les points A, B et C sur une figure. 6) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. Exercice 11. 1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des points A et B dont les coordonnées polaires sont respectivement : A 2 , π3 et B 8 , 34π . 2. Déterminer les coordonnées polaires des points A et B de coordonnées cartésiennes respectives : A (0 , – 3) et B ( 2 2 , – 2). Trigonométrie et polynômes. Exercice 12. Résoudre dans R, l’équation : 2 sin 3 x 17 sin 2 x 7 sin x 0. 8 Exercice 13. Résoudre dans ] – π , π [ les équations suivantes : 2 cos 3 x 3 2 sin x 7 cos 2 x 2 cos x 2 cos x 5 sin x 3 3 0. 0 1°S Angles, trigonométrie et repérage Correction des exercices (niveau 1) J Angles orientés. Exercice 1. Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que : 7π OI , OA et OI , OB 8 3π 5 A I' O . B J' OJ , OB = OJ , OI = OI , OJ = π 2 = 5π 10 = = = 5 6π 10 OI , OB 3π 7π 5 8 24 π 35 π 40 40 59 π 40 OI , OB 3π OB , OA = OB , OI = OI , OB 2π = 11 π 10 2π OI , OA OI , OA I Exercice 2. Dans la figure suivante, ABC est un triangle équilatéral. CBD, ACE et AFB sont des triangles rectangles et isocèles respectivement en D, E et F. E C D A B F ( BD , BF ) = ( BD , BC ) = = = = ( BC , BA ) π π π 4 π 3 π 4 2 3 3π 2π 6 6 5π 2π . 6 ( BA , AC ) = ( AB , AC ) = = = π ( BA , BF ) π π 3 π 3π 3 3 4π 3 2π ( DC , CA ) = ( CD , CA ) π = ( CD , CB ) ( CB , CA ) π = = = π π 4 3 π 3π 4π 12 π 12 12 12 5π 12 2π . ( EA , CB ) = ( EA , AC ) ( AC , CB ) = ( AE , AC ) π ( CA , CB ) π = = = π π 4 3 3π 4π 12 12 π 12 2π . π 9 Exercice 3. Soit ( u , v ) et ( u , w ) 1. ( v , w ) = ( v , u ) ( u , w ) = = = = 2. ( u , v ) (u ,v ) π 9 π 4 4π 9π 36 36 13 π 36 2π . π (u ,v ) = π 9 π = π 9 9π = (u , w) 8π 9 9 2π . 3. ( v , 2 w ) = ( v , 2 w ) = (v, w) ( w,2 w) = (v, w) = (v ,u ) (u , w) = = = π 9 π 4 4π 9π 36 36 13 π 36 2π . 4. ( 2 u , w ) = ( 2 u , w ) π = ( 2u , 2 w) ( 2 w, w) π = (u , w) = π 4 π = π 4 4π 5π 2π . = 4 4 π π 4 . Déterminons une mesure principale de : Trigonométrie. Exercice 4. La fonction f est définie, sur R, par f (x) = cos (2 x) + sin x – 1. Comme 1 sin x 1 et 1 cos 2 x 1 alors 2 sin x cos 2 x 2 pour tout x R. Donc 3 sin x cos 2 x 1 1 pour tout x R. On en déduit que la courbe de f est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1. Exercice 5. 1) θ est un angle (situé dans ] – π , π ]) dont on sait que cos θ = 5π La connaissance du cercle trigonométrique donne immédiatement θ = 2) θ est un angle situé dans π ;π 2 4 tel que sin θ = 5 π sin θ On en déduit que tan θ = cos θ 2 = 1 et sin θ = 2 2 . 2π . 6 . Calculons cos θ et tan θ . On sait que cos 2 θ + sin 2 θ = 1 donc cos 2 θ = 1 – sin 2 θ = 1 – comme θ est un angle situé dans 3 16 25 = 9 25 3 donc cos θ = (noter que 5 alors cos θ est négatif). ;π 4 5 5 3 = 4 . 3 2 3) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que cos θ = 3 . Calculons sin θ et tan θ . On sait que cos 2 θ + sin 2 θ = 1 donc sin 2 θ = 1 – cos 2 θ = 1 – 4 9 = 5 9 5 donc sin θ = 3 (noter que comme θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] et que cos θ > 0, alors sin θ est négatif). sin θ On en déduit que tan θ = cos θ = 5 3 3 2 5 = 2 . 4) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que tan θ = 2. Calculons cos θ et sin θ . Remarque : comme tan θ > 0 alors sin θ et cos θ sont de même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs), on en déduit puisque θ est dans ] – π ; 0 ] et même que θ π; π 2 . On peut donc affirmer que cos θ et sin θ sont tous deux négatifs. Comme 1 + tan 2 θ = 1 cos θ 2 alors cos 2 θ = 1 1 tan θ 2 = Puis cos 2 θ + sin 2 θ = 1 donc sin 2 θ = 1 – cos 2 θ = 1 – 1 1 2 2 1 4 5 = 5 = 1 5 . Donc cos θ = donc sin θ = 1 5 5 5 2 5 2 5 5 . . Exercice 6. Résolvons sur R les équations suivantes : 3 sin 2 x x= 4 π π 4 3π ou x = sin 2 x = cos x π 2x 2 2π 4 π 2π ou x = π 1 π 2π 4 2π 3 2 2 2 sin 2 x = sin 3π ou x = 4 2π . x 2 π 3x ou 2π 3 ou x = x 2π 2 π ou cos x = 2 2 2π 2 ou x = 1 cos x = 2 2π 3 3 ou sin x = 2 2π ou x = 1 cos 2 x x= 2π 3 3 sin x = 2π 2 ou π 2x x 2π 2 π x 2π 2 Exercice 7. Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan sin x D où D = R – { π 1. 2 8 π k π où k Z}. cos x 2 1) Démontrons que : tan ( π + x) = tan x, pour tout x D. Soit x D, on a : sin π x sin x sin x tan ( π + x) = = = = tan x (autrement dit, tan est périodique de période π ). On en cos π x cos x cos x On rappelle que tan x = déduit que : tan 9π 8 = tan pour tout x 8π π 8 8 2) Démontrons que : 1 + tan 2 x 1 On en déduit que : cos 2 π 8 4 π 8 Puis sin π 8 2 > 0, on a donc cos = 1 – cos π 8 2 =1– 2 2 2 = 2 2 4 2 4 2 = 4 4 2 1 4 = 2 2 = 8 1. 2 D, on a : cos 2 x sin 2 x 2 cos x 1 = cos 2 x . . 1 1 2 2 4 π 8 tan 2 x = 2 π 8 4 = Puisque cos tan cos x 1 1 = 2 cos x π D. Soit x sin 2 x 2 1 1 8 cos 2 x D, cos 2 x = = = tan pour tout x cos 2 x 1 + tan 2 x = On a donc aussi, pour tout x π = tan π 42 1 2 2 2 2 2 2 = 1 = 2 2 2 2 4 = 2 2 1 4 2 2 = 2 1 = 16 4 8 = 2 2 4 2 2 8 = 2 2 4 . . 2 2 4 et sin π 8 = 2 2 4 = 2 2 2 . 3) Calculons la valeur exacte de cos 5π cos 8 = cos 4π π 8 8 = cos 5π . 8 π π 2 8 π = – sin 2 =– 8 2 . 2 π Exercice 8. Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan 1) Soit x 0; π . Démontrons que : tan 2 tan π 2 π 1 x 2 tan x π sin π cos . On a : x 2 x 3. 2 12 x 2 cos x 1 sin x tan x . 2) On en déduit que : tan 5π 12 tan 6π 12 π tan 12 π 2 π 1 12 tan 1 π 12 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 22 3 2 2 3. Exercice 9. 1) Résolvons, dans ] – π , π ], l’équation : sin x = sin (2 x). x sin x = sin (2 x) 0 0 2π x ou ou π 2x 2π 3x 2k π 0 π 2π 3x avec k π 2k π ou x x ou x x 2x 2π avec k π 2k π 3 3 Z . Les solutions dans ] – π , π ] sont donc : S = Représentons les solutions sur le cercle trigonométrique (par les points J M M Z 2k π π 3 ;0; π 3 ;π . ). 2 M 3 1 o M 2) Il existe un unique angle aigu question précédente. 0 (compris entre 0 et ), non nul, ayant le même sinus que d’après la Coordonnées polaires. Exercice 10. Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont : π A (2 ; 0) et B 2 ; . 6 3 ; – 1). On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C ( 1) Les coordonnées cartésiennes de A sont (2 ; 0). 2) Les coordonnées cartésiennes de B sont : x = r cos θ = 2 cos π 6 3 =2 3 et y = r sin θ = 2 sin 2 π 6 1 = 2 2 1. 3) Calculons les coordonnées polaires de C : r2 = x2 + y2 = Puis cos θ = 2 3 x r 1 3 2 3 1 et sin θ = 2 4 d’où r = 2. y 1 r 2 donc θ = 7π 6 2π . 4) Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O de rayon 2 car les coordonnées polaires de ces points sont de la forme (2 ; θ ). 5) Plaçons les points A, B et C sur une figure. B A o C 6) Les points B et C sont symétriques par rapport à O (car leurs coordonnées cartésiennes sont opposées) donc [BC] est un diamètre du cercle. Comme A est sur ce cercle, alors le triangle ABC est rectangle en A. Exercice 11. 1. Déterminons les coordonnées cartésiennes des points A et B dont les coordonnées polaires sont respectivement : A 2 , π3 et B 8 , 34π . Pour le point A, x = r cos θ = 2 cos π 3 Pour le point B, x = r cos θ = 8 cos 3π 4 1 =2 2 =8 1 et y = r sin θ = 2 sin 2 2 π 3 =2 4 2 et y = r sin θ = 8 3 3. 2 2 2 4 2. 2. Déterminons les coordonnées polaires des points A et B de coordonnées cartésiennes respectives : A (0 , – 3) et B ( 2 2 , – 2). Pour le point A, on a : r 2 = x 2 + y 2 = 0 2 + (– 3) 2 = 9 donc r = 3. La position du point A apporte immédiatement θ = π 2 π . Pour le point B, on a : r2 = x2 + y2 = 2 2 2 2 2 8 4 12 donc r = 12 2 3. Puis : cos θ = x r 2 2 2 3 2 3 6 3 et sin θ = y 2 1 r 2 3 3 Ceci définit parfaitement un angle θ (à 2 π près), la calculatrice donne θ modulo 360°, ). 3 3 . 215° (ou ce qui revient au même