Corrigez

Thème : Arithmétique
L’exercice
L’exercice propose cinq affirmations numérotées de 1 à 5.
Pour chacune de ces affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix
effectué.
1. Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.
C’est faux, un contre-exemple suffit à le justifier : 12 est divisible par 4, mais pas par 8.
2. Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.
C’est vrai car 2 et 3 son premiers entre eux. Si 2 et 3 divisent n P Z, alors n “ 2k, k P Z et 3 divise
2k. Mais, 3 est premier avec 2, donc 3 divise k et k “ 3k 1 , k 1 P Z. D’où, n “ 6k 1 , k 1 P Z.
3. Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.
C’est faux : 12 est divisible par 4 et par 6, mais il n’est pas divisible par 24.
4. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers a ` b et a ´ b sont premiers entre
eux.
C’est faux : 3 et 7 sont premiers entre eux, mais 7´3 “ 4 et 7`3 “ 10 ne sont pas premiers entre eux.
5. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers 2a`b et 3a`2b sont premiers entre eux.
C’est vrai. Pour le montrer, raisonnons par l’absurde. Supposons que ce soit faux, il existe alors k
entier différent de 1 qui divise 2a ` b et 3a ` 2b, donc leur différence, c’est-à-dire a ` b. Mais, k
divise 2a ` b et a ` b, il divise aussi 2a ` b ´ pa ` bq “ a. Divisant a ` b et a, il divise b. Mais alors,
a et b ont un divideur commun différent de 1 et ils sont premiers entre eux par hypothèse. C’est
absurde. Conclusion : 2a ` b et 3a ` 2b sont premiers entre eux.
Un autre façon de faire, consiste à utiliser la réciproque du théorème de Bézout et à déterminer
deux entiers u1 et v 1 tels que u1 p2a ` bq ` v 1 p3a ` 2bq “ 1. Pour cela, on part de l’hypothèse a et
b sont premiers entre eux qu’on traduit par l’égalité de Bézout : il existe u et v entiers, tels que
au ` bv “ 1 et on exprime a et b en fonction de a1 “ 2a ` b et b1 “ 3a ` 2b. Pour cela, on résout
$
$
& 2a ` b “ a1
& a “ 2a1 ´ b1
ô
.
% 3a ` 2b “ b1
% b “ 2b1 ´ 3a1
En remplaçant dans l’égalité de Bézout, il vient
up2a1 ´ b1 q ` vp2b1 ´ 3a1 q “ 1 ô p2u ´ 3vqa1 ` p2v ´ uqb1 “ 1, p2u ´ 3v, 2v ´ uq P Z2 .
Les solutions proposées par deux élèves :
Élève 1 :
1. C’est faux car 4 est divisible par 4 et pas par 8.
2. C’est vrai parce que 2 et 3 sont premiers entre eux.
3. C’est faux parce que 4 et 6 ne sont pas premiers entre eux.
4. C’est vrai parce que si un nombre divise a ` b et a ´ b alors il divise a et b.
Élève 2 :
1. C’est vrai parce que 8 est un multiple de 4.
2. C’est vrai. 2 divise 12, 3 divise 12 et 6 divise aussi 12.
3. C’est faux parce que 4 divise 12 et 6 aussi mais 24 non.
4. Je pense que c’est vrai.
5. Je pense que c’est vrai aussi.
Le travail à exposer devant le jury
1- Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence ses réussites et en indiquant l’origine possible de ses éventuelles erreurs.
– Élève 1 :
Cet élève fournit 3 bonnes réponses, mais dès la troisième question, sa justification manque de
précision. Sa réponse à la quatrième question est fausse et la justification qu’il donne n’en est pas
une. On peut penser que cet élève ne raisonne pas de façon rigoureuse, mais il a acquis certaines
compétences en Arithmétique. Elles restent fragiles tout de même.
– Cet élève propose deux réponses/justifications à l’aide de contre-exemples parfaitement valables,
mais il donne une mauvaise justification de sa réponse à la question 2. Il évite les deux questions
finales, plus difficiles.
Ces deux élèves ont des compétences en Arithmétique qui sont encore insuffisantes au regard de ce
qui est attendu d’élèves de Terminale scientifique suivant un enseignement de spécialité.
2- Corrigez les réponses aux deux dernières questions de l’exercice comme vous le feriez devant une
classe de Terminale scientifique.
Voir corrigé.
3- Proposez deux ou trois exercices sur le thème Arithmétique.
Exercice I : Par combien de zéros se termine le nombre 100 ! ? Le nombre 1000 ! ?
Proposer un algorithme qui permette de mettre à l’épreuve vos résultats.
Exercice II : Soit n un entier non nul. Déterminer un intervalle entier de n nombres qui ne contienne
aucun nombre premier.
Commentaire : j’ai souvent posé cet exercice à l’oral du concours. La plupart du temps (pour ne
pas dire toujours) les candidats ne savaient pas répondre seuls. Nous (le jury) les aidions en leur
demandant de trouver un diviseur de n! ` 2 (pour n ě 2), puis un diviseur de n! ` 3, ...