leçon 12 – racine carre e

leçon 12 – racine carree
I - Définition : racine carrée d’un nombre positif
𝑎 désigne un nombre positif. Il existe un unique autre nombre positif dont le carré est 𝑎. Ce nombre
est appelé racine carrée de 𝑎.
On le note √𝑎
Constuire une longueur égale à la racine carrée d’un nombre positif à l’aide de la géométrie :
𝐴𝐻 = 1
𝐻𝐵 = 𝑎
𝑀𝐻 = √𝑎
Donc le nombre positif appelé « racine carrée de 𝑎 » existe bien puisqu’on peut le construire.
Application : tracer géométriquement un segment de longueur égale à la racine carrée de la
longueur d’un bout de spaghetti.
II – Propriétés
Propriétés découlant directement de la définition
Propriété 1
2
(√𝑎) = 𝑎
preuve : Il s’agit de l’écriture de la définition en notation mathématique.
Propriété 2
si a>0, alors √𝑎² = 𝑎
preuve : supposons que √𝑎² = 𝑏. Donc 𝑏 est positif.
2
(√𝑎2 ) = 𝑏 2
𝑎² = 𝑏²
𝑎=𝑏
(en utilisant la propriété 1)
Propriété de l’ordre
Les nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.
0≤𝑎≤𝑏
𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 à
0 ≤ √𝑎 ≤ √𝑏
preuve : en utilisant l’identité remarquable :
(√𝑎 − √𝑏)(√𝑎 + √𝑏) = 𝑎 − 𝑏
Le facteur (√𝑎 + √𝑏) est positif, et par conséquent (√𝑎 − √𝑏) est du même signe
que 𝑎 − 𝑏.
Propriété algébrique du produit
activité permettant de conjecturer la propriété :
On pose en unité de longueur : AH=2, HC=8, DH=4.
Exprimer l’aire du rectangle ABCD :
1)
comme le double de l’aire du triangle ADC
2)
Comme AD x DC
3)
conjecturer √𝑎 × √𝑏 = ⋯
√𝑎 × √𝑏 = √𝑎𝑏
Démonstration de la propriété
2
2
2
(√𝑎 × √𝑏) = (√𝑎) × (√𝑏) = 𝑎 × 𝑏
On est revenu à la définition de la racine carrée et on lui donne du sens : √𝑎𝑏 est l’unique
nombre 𝑥 positif tel que 𝑥² = 𝑎𝑏.
Donc √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏
Il faut encore vérifier que √𝑎 × 𝑏 est positif ce qui est bien le cas puisque √𝑎 est positif et √𝑏
l’est aussi.
Propriété algébrique du quotient
activité permettant de conjecturer la propriété
On pose en unité de longueur : 𝑂𝐴 = 2, 𝑂𝐴’ = 3, 𝑂𝐵 = 6.
On a (𝐴𝐵) // (𝐴’𝐵’).
1) Calculer
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
𝐴𝐵
à l’aide du théorème de Thalès.
à l’aide du théorème de Pythagore, appliqué aux rectangles 𝑂𝐴𝐵 et 𝑂𝐴’𝐵’
𝐴′𝐵′
qui sont respectivement des triangles rectangles en 𝐴 et 𝐴’.
2
√32
3) on déduire que
=
3
√72
2) Calculer
4) En observant que
2
3
=√
4
conjecturer.
9
√𝑎
√𝑏
𝑎
𝑏
=√
Démonstration de la propriété
(
√𝑎
√𝑏
2
) =
√𝑎
2
√𝑏
2
=
𝑎
𝑏
et donc,
√𝑎
√𝑏
𝑎
𝑏
=√
III - Solutions de l’équation 𝒙²=A
Si A est positif, l’équation 𝑥 2 = 𝐴 admet 2 solutions distinctes : 𝑥 = √𝐴 et 𝑥 = −√𝐴.
preuve :
soit l’équation : 𝑥² = 𝐴
donc 𝑥² − 𝐴 = 0
donc (𝑥 − √𝐴)(𝑥 + √𝐴) = 0 qui est une équation produit nul.