Fiche de révisions pour les élèves admis en classe de MP

Fiche de révisions pour les élèves admis en classe de MP - MP*
L’année de préparation des concours est particulièrement courte. Afin de l’aborder dans de bonnes conditions
il est nécessaire d’effectuer des révisions ciblées sur certains points techniques du programme de première année
qui ne seront pas repris en détail. La liste qui suit a été concue pour vous guider dans ces révisions, en insistant sur
leur aspect pratique. La travailler sérieusement facilitera considérablement votre début d’année et vous permettra
de consacrer votre temps et votre énergie à l’essentiel : comprendre et assimiler les concepts du cours. Nous vous
conseillons vivement d’y consacrer votre dernière semaine du mois d’aôut. Un contrôle de connaissance portant
sur ces révisions pourra être organisé à la rentrée.
1. Développements limités. Etude locale des suites et fonctions
Savoir :
Les développements limités usuels en 0 ( exp x, sin x, cos x, (1 + x)α , ln(1 + x), arctan(x) )
Savoir faire :
-Trouver un équivalent et le factoriser pour faire un développement limité ou généralisé
- Développer au voisinage de 0 les expressions de la forme f (x)g(x) . Un exemple essentiel à savoir refaire
est le suivant :
lim (1 +
x→+∞
a x
) = ea
x
-Déterminer à priori l’ordre des développements pour éviter les calculs inutiles
-Exprimer à l’aide d’un DL l’existence d’une limite, d’une aymptote.
Exercices d’application
1. Equivalent en 0 de f (x) =
√
x
2. Limite en +∞ de √
1
1
− . A quel ordre développer sin pour obtenir le DL à l’ordre 6 de f ?
sin x x
x
x
x
3. La courbe d’équation y = x arctan(x + 1) possède-t-elle des asymptotes ? position par rapport à ces
asymptotes
π
4. limite en de (tan x)tan 2x
4
2. Inégalités
Savoir :
-L’inégalité de Cauchy Schwarz :
| < x, y > | ≤ ||x||.||y||
ainsi que les cas d’égalité.
Il faut être en mesure d’appliquer cette inégalité pour le produit scalaire usuel, et également pour les intégrales.
∫ b
∫ b
-L’inégalité triangulaire et l’inégalité |
f (t)dt| ≤
|f (t)|dt ainsi que leurs cas d’égalité ( pour les
fonctions continues)
-L’inégalité de Taylor Lagrange
a
a
Savoir et savoir redémontrer :
Les inégalités suivantes ( dites inégalités de convexité) seront utiles toutes l’année.
- ∀x ∈ R, 1 + x ≤ ex
-∀x > −1, ln(1 + x) ≤ x
-∀x ∈ R, | sin x| ≤ |x|
1
a2 + b2
2
Exercice : les redémontrer !
-∀a, b ∈ R2 , |ab| ≤
Exercices d’application :
1- Montrer pour tout x ∈ [0,
π
2x
] sin x ≥
2
π
∫
2- si f est une fonction positive et continue sur [0, 1] démontrer que (
∫
1
f (t)dt) ≤
2
0
1
f 2 (t)dt
0
3- Déterminer les conditions sur les nombres complexes z1 , .., zn pour que |1+z1 +...zn | = 1+|z1 |+...+|zn |
n−1
∑
k
4- Démontrer que n −
cos( 2 ) converge vers 0.
n
k=0
∫ 1
∫ 1
5- Déterminer les fonctions continues telles que
xf (x)dx =
|f (x)|dx
0
0
3. Divers exercices d’ analyse
Voici une liste de quelques exercices classiques d’analyse qu’il est souhaitable d’avoir traité :
1. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : soit a ∈]0, 1[. Etudier la suite définie par la donnée de u0 , u1 et par
la relation un+2 = aun + (1 − a)un+1 .
2. Equation fonctionnelle : déterminer les fonctions continues sur R et qui vérifient pour tout (x, y) f (x +
y) = f (x) + f (y). Pour cela on exprimera f (x) en fonction de f (1) en traitant successivement les cas :
x ∈ N,x ∈ Z,x ∈ Q avant de conclure.
3. Equations linéaires scalaire d’ordre 2 : la forme générale des solutions de l’équation différentielle à coefficients constants E
y ′′ + ay ′ + by = 0
doit être connue. On doit être capable de passer des solutions complexes aux solutions réelles dans le cas où
l’équation caractéristique n’a pas de racines réelles. L’exercice ci- dessous permet de vérifier la maîtrise de
cette technique :
Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b) pour que l’équation E admette une solution non
nulle qui tend vers 0 en +∞.
Voici un autre exercice illustrant le passage de la forme "mathématique" à la forme "physique" des solutions
de l’équation y” + y = 0 :
Quelle est la borne supérieure de la fonction définie sur R par l’égalité f (x) = a cos x + b sin x ?
4. Polynômes. Racines de l’unité
Savoir :
Les relations coefficients racines d’un polynôme, en particulier somme et produit. L’expression des racines
n-ièmes de 1 et plus généralement d’un nombre complexe a.
Savoir faire :
-Factoriser un polynôme simple sur C et sur R. En particulier les deux polynomes suivants sont particulièrement importants :
P = X n − 1 et P = X 2 − 2X cos θ + 1
Exercice : Les factoriser !
-Mettre sous forme canonique un polynôme de degré 2 sans racine réelle.
- Calculer des sommes trigonométriques, en particulier en utilisant la méthode "de l’angle moitié".
Exercices d’application :
2
1. Simplifier les sommes
n
∑
cos(kx) et
k=0
n
∑
sin(kx)
k=0
) ∑
(
)
[n
n
2] (
∑
n
n
2. Calculer
et
k
2k
k
k=0
k=0
3. Factoriser sur R le polynôme X 4 + X 2 + 1
4. Soit P = X n + an−1 X n−1 + ... + a0 . Soit Q = X n + bn−1 X n−1 + ... + b0 le polynôme unitaire dont
les racines sont les carrés des racines de P . Exprimer en fonction de ai les coefficients bn−1 et b0 .
(1 + ix)n
5. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que l’équation
= a possède n racines
(1 − ix)n
réelles.
6. Soit P un polynôme de R[X]. On considère Q le polynôme unitaire à racines simples dont les racines sont
les racines de P . Montrer que Q est à coefficients réels. indication : on pourra introduire le pgcd de P et P ′ .
n−1
∑
7. Soit P = X n −
ai X i . Montrer que les racines complexes de P sont toutes de module inférieur ou
∑ 0
égal à max(1,
|ai |).
5. Fractions rationnelles et primitives
Savoir et savoir faire :
-décomposer rapidement une fraction rationnelle à pôles simples dans C. Il est donc conseillé de connaitre
1
P
la formule donnant le coefficient de
dans la fraction . En principe, il ne vous sera jamais demandé
X −a
Q
de faire des calculs plus compliqués sur les fractions rationnelles. Penser aussi à l’argument asymptotique
lim XF (X) lorsque F est une fraction sans partie entière.
∞
-Calculer les primitives des fonctions simples : fractions rationnelles simples, fractions en cos et sin grace
au "bon " changement de variable (règles de Bioche).
∫
dx
1
x
-Il est souhaitable de connaître par coeur la primitive
= arctan( ) + cte
a2 + x2
a
a
∑ mi
P′
-Connaître et savoir retrouver la décomposition en éléments simples
=
pour un polynôme
P
X − ai
P dont les racines complexes sont les ai avec les multiplicités mi .
Exercices d’application :
1
1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle n
X
−1
∫
dx
2. Calculer la primitive
a2 sin x + 1
3. Soit P un polynôme scindé à racines simples sur R. Montrer que le polynôme P − P ′ est aussi scindé à
P′
.
racines simples, en étudiant les variations de
P
6. Algèbre linéaire
L’algèbre linéaire constitue l’un des piliers de la seconde année. La maîtrise complète du programme de
première année est indispensable en ce qui concerne les points suivants :
-indépendance linéaire, rang. Utilisation de matrices pour déterminer le rang d’une famille de vecteurs par
la méthode du pivot. Etude de l’indépendance linéaire d’une famille de fonctions
-Formule du rang
-Calculs de déterminants. Résolution de systèmes linéaires
-Sommes directes et supplémentaires.
-projecteurs.
Exercices d’application :
3
1. Soient u et v deux endomorphismes d’un espace de dimension finie. Montrer que rgu ◦ v ≤rg v et donner
une CNS pour avoir égalité.


a 1 0
2. Calculer l’inverse de la matrice M =  1 a 1 
0 1 a
lorsqu’elle est inversible. On résoudra le système linéaire associé
3. Soit f une forme linéaire sur Mn (R) telle que f (AB) = f (BA) pour tout couple (A, B). Démontrer que
f est proportionnelle à la trace
4. Démontrer qu’une famille de polynomes dont les valuations sont toutes distinctes est libre ( la valuation
d’un polynôme est le plus petit indice d’un coefficient non nul).
5. Déterminer
 avec le minimum de calculs la matrice du projecteur orthogonal sur la droite dirigée par le
1
vecteur  1 
1
6. Soit E un espace vectoriel de dimension n. et x un vecteur non nul fixé. Démontrer que l’ensemble des
endomorphismes de E tels que (f (x), x) est liée est un sev de L(E) et déterminer sa dimension.
4
Lycée Masséna
MP*
Devoir de révision
Il est vivement recommandé de suivre en premier lieu les conseils de la fiche de révisions.
Ce devoir est facultatif et difficile. Il permet à ceux qui le souhaitent de s’entraîner à aborder des sujets délicats en utilisant uniquement le programme de première année.
Pour la première partie, il convient de l’aborder après avoir révisé les chapitres sur les développements limités, les formules de
Taylor et les polynômes.
Dans tout le problème, E désigne l’ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur un intervalle ouvert fixé J de R, et indéfiniment dérivables sur J.
On dit que x0 ∈ J est un zéro de f d’ordre au moins n si f et toutes ses dérivées d’ordre strictement inférieur à n s’annulent en
x0 ; si de plus f (n) (x0 ) 6= 0 le zéro x0 , est dit d’ordre n ; si toutes les dérivées de f s’annulent en x0 , on dit que c’est un zéro d’ordre +∞.
On fixe d’autre part un intervalle non ponctuel I ⊂ J . Si, dans I, f a un nombre fini de zéros x1 , ..., xp , d’ordres tous finis n1 , ..., np ,
on pose Z(f ) = n1 + ... + np . Si f ne s’annule pas dans I, on pose Z(f ) = 0, et si f a une infinité de zéros dans I ou un zéro d’ordre
infini on pose Z(f ) = +∞.
I. Propriétés générales
1. (a) Montrer que pour que x0 soit un zéro d’ordre au moins n il faut et il suffit qu’existe une fonction gn continue telle que
f (x) = (x − x0 )n gn (x)
A quelle condition le zéro est il d’ordre n ?
(b) Montrer que si x0 est d’ordre fini il existe un intervalle non trivial ]x0 − a, x0 + a[ sur lequel f ne s’annule qu’en x0 .
(c) Fournir un contrexemple pour un zéro d’ordre infini.
−1
On pourra commencer par démontrer rapidement que la fonction définie sur R∗ par f (x) = e x2 se prolonge à R en une
fonction de E.
Z 1
(d) Démontre l’égalité g1 (x) =
f 0 (x + t(x0 − x))dt.
0
(e) (Admis en 3/2) En déduire que la fonction gn est dans E.
2. Dans cette question, I = [a, b] est un segment de R
(a) On suppose que tous les zéros sont d’ordre fini. Montrer que Z(f ) est fini
(b) On suppose f (a) et f (b) non nuls. Montrer que la parité de Z(f ) est déterminée par le signe de f (a)f (b)
(c) Montrer que Z(f 0 ) ≥ Z(f ) − 1
3. (a) Soient f et g deux éléments de E. Exprimer Z(f g) en fonction de Z(f ) et Z(g)
(b) Soit φ in E une application bijective dont la dérivée ne s’annule pas. Si f est une fonction de classe C ∞ sur φ(I) comparer
l’ordre des zéros de f et de f ◦ φ.
II. Règle de Descartes
Dans toute la suite du problème, on considère des suites finies a = (a0 , ..., an ) de nombres réels non tous nuls, et on note N (a)
le nombre des changements de signe dans a en ne tenant pas compte des éléments nuls ; autrement dit, N (a) est le nombre des
indices j ∈ [1, n] pour lesquels il existe un indice i ∈ [0, j[ tel que ai aj < 0 avec ai+1 = ... = aj−1 = 0.
4. Dans cette question, I = J = R
Soit λ0 < . . . < λn une suite ordonnée de réels distincts. On pose
f (x) =
n
X
0
1
ai e−λi x
(a) Montrer que N (a) ne dépend que de f
(b) On suppose que tous les ai sont non nuls et qu’il existe i tel que ai ai−1 < 0.
Soit µ ∈]λi−1 , λi [. On considère la fonction g définie par
g(x) = e−µx (eµx f (x))0
Comparer Z(g) et Z(f ). Comparer également N (a) et N (b) où b est la suite des coefficients associée à g
(c) En déduire le résultat suivant :
Z(f ) est fini et majoré par N (a) et de même parité que N (a)
5. Soit P un polynôme à coefficients réels, P =
n
X
ak X k .
k=0
(a) Démontrer la règle de Descartes :
le nombre de racines réelles strictement positives de P est majoré par N (a) et de même parité que N (a)
(b) Donner un résultat analogue pour les racines négatives.
III.
Pour toute famille (f1 , . . . , fp ) de E on note
(j−1)
W (f1 , . . . , fp )(x) = det(fi
(x))1≤i,j≤p
On considère une suite finie (h0 , . . . , hn ) d’éléments de E.
On s’intéresse à la propriété (Pn ) suivante :
Tout élément non nul h =
X
ai hi de vect(h0 , . . . , hn ) vérifie Z(f ) ≤ N (a)
i
6. Caractériser à l’aide de W (f1 , . . . , fp ) l’existence d’un élément de vect(f1 , . . . , fp ) ayant un zéro d’ordre au moins p
7. On suppose que la propriété (Pn ) est vérifiée.
(a) Montrer que pour toute suite 0 ≤ n1 < ... < np ≤ n la fonction W (hn1 , . . . , hnp ) est de signe constant.
n
X
ai hi .
(b) Soit x0 fixé. Montrer l’existence et l’unicité d’une suite a telle que x0 soit un zéro d’ordre n de h =
0
avec de plus h(n) (x0 ) = 1. Calculer le signe de a0 ai
(c) En déduire que le signe de W (hn1 , . . . , hnp ) ne dépend que de p et pas du choix de 0 ≤ n1 < ... < np ≤ n
On note (Qn,p ) la propriété ainsi démontrée :
W (hn1 , . . . , hnp ) est toujours non nul et son signe est indépendant du choix de 0 ≤ n1 < ... < np ≤ n
8. Interpréter la propriété (Qn,2 ).
9. (a) En reprenant les notations du début de la partie III, démontrer que pour toute fonction ψ indéfiniment dérivable on a :
W (ψf1 , . . . , ψfp ) = ψ p W (f1 , . . . , fp )
et que si les fi ne s’annulent pas on a pour tout j , 1 ≤ j ≤ p :
1
f1
fj−1 0 fj+1 0
fp
W (f1 , . . . , fp ) = (−1)j−1 W (( )0 , . . . , (
) ,(
) , . . . , ( )0 )
fjp
fj
fj
fj
fj
(b) Soit h0 , . . . , hn une famille de n + 1 fonctions vérifiant la propriété (Qn,p ) pour tout p ≤ n. En considérant, pour un certain
−h0 0
−hi−1 0 −hi+1 0
−hn 0
i, la famille de n fonctions (
) ,...,(
) ,(
) ,...(
) démontrer que h0 , . . . , hn vérifie aussi (Pn )
hi
hi
hi
hi
(c) Donner un exemple de famille h0 , . . . , hn vérifiant ces deux propriétés équivalentes.
2