Solutions des exercices d`introduction aux nombres complexes

Solutions
Geneviève Savard
Solutions des exercices
d’introduction aux
nombres complexes
Question 1 ( + − × ÷)
Calculez à la main, puis vérifiez avec la TI.
(a) Les deux racines du polynôme p(z) = z2 − 6z + 10
sont calculées à l’aide de la formule quadratique
avec a = 1, b = −6 et c = 10. On trouve z1 = 3 + i
et z2 = 3 − i OU VICE VERSA.
(b) La somme est un nombre réel car les parties imaginaires s’annullent.
z1 + z2 = 6 + 0i = 6
(c) Le produit est lui aussi un nombre rééel : z1 z2 =
10.
(d) Le quotient est
z1
3+i 4 3
=
= + i
z2
3−i 5 5
ou, si les valeurs de z1 et z2 sont choisies à l’inverse
z1
3−i 4 3
=
= − i
z2
3+i 5 5
(e) Sur le plan, on constate que la courbe qui relie les
points z1 , z2 et z3 forme une spirale qui s’éloigne
de l’origine.
(z1 )1 = 3+i
1
(a) Est-il possible qu’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
p(x) = ax2 + bx + c
possède une racine réelle et une racine complexe ?
Pourquoi ?
Non. Les racines complexes viennent par paires
a ± bi comme nous l’avons vu au cours. Il est donc
impossible que le polynôme p possède une seule
racine complexe.
(b) Est-il possible qu’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
p(x) = ax2 + bx + c
ne possède aucune racine réelle ni aucune racine
complexe ? Pourquoi ?
Non. Selon le théorème fondamentqal de l’algèbre, un polynôme de degré 2 possède 2 racines
dans l’ensemble des nombres complexes, si l’on
tient compte de la multiplicité.
(c) Est-il possible qu’un polynôme de degré 3 à coefficients réels
p(x) = ax3 + bx2 + cx + d
possède trois racines complexes (non réelles) ?
Non. Les racines complexes viennent par paires
a ± bi comme nous l’avons vu au cours. Ainsi,
voici les possibilités de racines pour le polynôme
p. A) 3 racines réelles discintes (c’est-à-dire 3 racines de multiplicité 1). B) 1 racine réelle de multiplicité 2 et une autre racine réelle de multiplicité 1.
C) Une seule racine réelle et 2 racines complexes.
D) Une racine réelle de multiplicité 3 et aucune
racine complexe.
(z1 )2 = 8+6i
(z1 )3 = 18+26i
(z1 )2 = 8−6i
(z1 )3 = 18−26i Question 4 (L’ensemble de Mandelbrot )
ou
(z1 )1 = 3−i
ÉTS
Question 2 (Voir section 1.8 du résumé)
Avec la formule
³
´
e(a+bi) = ea cos(b) + isin(b)
on trouve
ez3 = −i
et
ez4 = −e2
Ainsi ln(−i) = 0 − π2 i et ln(−e2 ) = 2 + πi.
Question 3 (Racines de polynômes)
Pensez au théorème fondamental de l’algèbre et à la formule quadratique.
(a) La suite n’est pas bornée. On peut constater en calculant les zn avec la TI que ceux-ci deviennent de
plus en plus "grands".
(b) Le point 0.2 + i du plan complexe n’appartient pas
à l’ensemble M.
(c) Le point 0.2 + 0.1i appartient à M. On peut constater en calculant les zn que ceux-ci semblent converger vers −0.1748989639 − 0.07408516337i.
Remarque. En Maple, le nombre i est désigné par I.
Ainsi, le nombre 0.2 + 0.1i devient 0.2 + 0.1 ∗ I.