3: Cinématique des rotations I. Comment décrit-on le mouvement dans un référentiel linéairement accéléré ? II. Quels conditions décrivent un objet qui se meut sur un cercle ? – Accélération angulaire III. Comment décrire le mouvement circulaire en général ? – Précession – Roulement sans glisser Préparation au cours et aux exos Chapitres du Giancoli à lire avant le cours (3.5 p): 5-2 Uniform circular motion - kinematics 10-1 Angular quantities Exercices simples (6) à faire avant la séance d’exos: Giancoli 5-36, 38 Giancoli 10-4, 5ab, 7abc, 12ab Giancoli chapitres 5-2 et 10-1 à 10-3 3-1 Phys I SV 2013 Quiz: Le singe et la banane Situation: On lance une banane vers un singe qui est sur un arbre. Il croit qu’on lui jette une pierre et se laisse tomber. Question: Est-ce que la banane va quandmême atteindre le singe? 1. Oui 2. Non, on devrait jeter plus haut 3. Non, on devrait jeter plus bas 4. Il est impossible de le prédire Démo 3-2 Phys I SV 2013 Comment résoudre le problème du «singe et banane» ? 1. Choix du référentiel 2. Condition: Position de la banane en temps T (inconnu pour l’instant) égale à celle du singe: rb(T) = rs(T) 3. Déplacement de la banane en T: a. De yb=ys il suit que vyT-gT2/2=y0- gT2/2 puis soustraction de gT2/2: b. vyT=y0 ĺ T=y0/vy a. Vitesse initiale vb = (-vx,vy) b. Déplacement horizontal de la banane en temps T (inconnu pour l’instant): x(T)=xb-vxT=0 c. 5. La banane arrive au singe à T si yb(T)=ys(T) : » En remplaçant T dans l’expression pour xb (voir précèdent) » xb=vxT= vxy0/vy Déplacement vertical de la banane: yb(T) =vyT-gT2/2 4. Déplacement du singe en T: Ne fait qu’un déplacement en y: xb/y0=vx/vy ys(T)=y0-gT2/2 y0 ĺ tanT= y0 /xb=vy/vx OUI, la banane y arrive, si on tire directement sur le singe ! 3-3 xb Phys I SV 2013 3-1. Comment décrire un mouvement dans un référentiel accéléré ? chute libre dans un ascenseur Situation A: On lâche une balle dans un ascenseur lui-même accéléré par rapport au sol par a0. y’ y A a0 Question: Quelle est la norme de l’accélération de a0 la balle par rapport à l’ascenseur ? 1.g + a0 (>g) 2.Zéro 3.g – a0 (<g) O Situation B: On lâche une balle dans un ascenseur en chute libre y’ Question: Quelle est la norme de l’accélération de la balle par rapport à l’ascenseur? A y A.g + a0 (>g) a0 = -g O Phys I SV 2013 B. Zéro C.g – a0 (<g) Conclusions (de la personne dans l’ascenseur): Pour une propre description du mouvement dans le référentiel accéléré: Il faut ajouter une accélération fictive –a0 [opposée à l’accélération réelle de l’ascenseur.] 3-4 Peut-on considérer le vol parabolique une chute libre ? Ex. référentiel accéléré Le but: entraîner les astronautes en leur donnant l’impression d’être sans gravitation L’avion doit suivre une trajectoire de chute libre. i.e., pour créer l’illusion d’être sans accélération, o référentiel accéléré comme une chute libre (voir ascenseur). Question A: Dans quel référentiel ne ressenton pas d’accélération ? Pour le calcul, il faut alors suivre la trajectoire d’une balle jetée: Question B: Avec une vitesse de 700km/h, On utilise un angle de départ de 450 (Pourquoi ?). quel est le temps maximal durant lequel on est soumis à l’expérience zéro-G (sans toutefois dépasser cette vitesse) ? Je ne ens pas gravité! en x et y (g) accélération en z (g) Accélération pendant chute libre 4 2.5 jeté vert.. 2 1.Vitesse verticale de départ: 3 jeté horiz. 2 1.5 v =194*sinS/4=137 m/s (700km/h=194m/s) 0y lâché 1 L’accélération 1 est verticale et opposé à la vitesse verticale; 0 0.5 2. 0La norme de la vitesse est la même quand la-1 -0.5 position verticale est la même qu’au départ (y=0-2à T) : -1 -3 y=v0yT-gT2/2=0 -4 -1.5 accelerationZ Event -2 -5 accelerationX ĺT=2v0y/g=27s -6 -2.5 accelerationY 0 10 20 30 40 50 temps (s) Phys I SV 2013 3-5 (iphone, SensorLog) Comment résoudre le problème du «Singe et banane» sans maths ? analyse par référentiel accéléré Déplacement vertical de la banane: yb(T) =vy T-gT2/2 Référentiel accéléré (en y) avec –g: (singe au repos) Le singe ne fait qu’un déplacement en y: ajouter +g ys(T)=y0-gT2/2 a’ = a + g = 0 Déplacement en x’ y’ de la banane: yy’ yb ’(T) =vy ’T x’(T) = vxT mouvement rectiligne uniforme Le singe : (référentiel accéleré x’ y’) ys ’(T) = y0’ xx’ 3-6 Phys I SV 2013 3-2. '·RYLHQWla condition impérative G·XQPRXYHPHQWFLUFXODLUH" L’accélération radiale ou centripète L’accélération qui est requise pour un mouvement circulaire est toujours vers le centre du cercle: Trajectoire parabolique: La composante horizontale de la vitesse reste constante car l’accélération est uniquement selon y. 'v ' v 'T -v1 Les triangles isocèles sont similaires (homothétie + rotation de 900). 'v et 't sont très petits: 'v 'l 'v v't # o # v r 'l # v't v r Quels sont les éléments qui caractérisent un mouvement circulaire uniforme (r, v=constante)? dv v 2 # dt r Norme de l’accélération radiale (ou centripète): Une accélération A à la vitesse n’effectue qu’un changement me e de direction de v. v12 # v22 & & Voir: & dv & & d v 2 2v 2v a 0 dt dt v2 = v1 + 'v ou bien: 'v _ _ a a R t v1 Phys I SV 2013 v(t ) 2 r 3-7 Exemples GHO·DFFpOpUDWLRQUDGLDOHaR La terre au niveau de l’équateur Rayon terrestre R=6380km. Pour un observateur au centre de la terre v=?, a=? O T y Période T=3600 [s/h]Â24 [h] = 86400s v=2SR/T aR= v2/R x v= 6.28Â6400/86.4 = 460 [m/s] a= 4602/6.4Â6 = 0.03 [m/s2] Echantillon dans centrifugeuse Une centrifugeuse (R=5 cm) est en rotation avec f=12000 rev/min (i.e. une période de T = 1/200 s = 5ms). Quelle est l’accélération nette d’un échantillon qui se trouve au bout de la centrifugeuse ? aR=v2/R avec v=2SR/T ( = 63m/s) aR = 4S2R2/RT2 aR = 40 0.05 / 0.0052 aR = 80000 [m/s2] Le problème: position et vitesse d’un mouvement circulaire ont deux composantes qui changent avec le temps. Question: Comment simplifier (i.e. satisfaire la condition d’un bon choix du référentiel) ? Constat: Norme du déplacement (rayon) reste constante. Référentiel polaire/cylindrique avec centre O seul l’angle change avec le temps …. 3-8 Phys I SV 2013 4X·HVW-ce qui décrit la cinématique circulaire en coordonnées cylindriques ? vitesse et accélération angulaire Vitesse angulaire [unité: rad/s] moyenne: Accélération angulaire instantanée Z { 2S/T T: temps pour une révolution [unité: rad/s2] : en 't: D='Z/'T Avec la définition de fréquence f=1/T [unité 1/s=1Hz (Hertz)] Z = 2Sf D (t ) { Vitesse angulaire instantanée: en 't: Z='T/'T Z Z (t ) { 'T (t ) 't lim 't o0 dT (t ) dt 'Z (t ) 't lim 't o0 dZ (t ) dt d 2T dt 2 Quiz: Quelles équations décrivent Z,T et D lors d’un mouvement circulaire uniformément accéléré ? Distance parcourue dans R T=1/f [s] est 2SR ĺY SR/T = 2Sf R ĺ Z = v/R NB. En tout temps, il faut une accélération radiale (centripète), en direction du centre du cercle, avec norme 2 aR (t ) rZ (t ) Voir les équations de la cinématique linéaire: v(t ) dr (t ) dt a (t ) dv(t ) dt Z Z 0 Dt 1 2 T T 0 Z 0 t Dt 2 Z x2 2D x (T T 0 ) 3-9 Phys I SV 2013 Peut-on utiliser la cinématique linéaire et circulaire SRXUODUpVROXWLRQG·XQSUREOqPH" Situation: Le canon est cannelé en spirale qui met en rotation la balle procurant une meilleure stabilité (voir leçon 12). Une balle tirée d’une SIG 550 est soumise à une rotation de 2.5 tours pendant sa trajectoire dans le canon. [Admettons une longueur de L=53 cm et une vitesse finale de vf=900 m/s et des accélérations constantes.] Questions: Quelle est 1. l’accélération linéaire 2. l’accélération angulaire 3. vitesse angulaire finale (rotations/s) Réponse 1: Cinématique linéaire: vf=aT ĺT=vf/a L=aT2/2 ĺL=avf2/2a2ĺa=vf2/2L Calcul: a= 0.902 106/2 0.53 =0.76Â106m/s2 Chaque film de Bond commence avec cette vue à travers le canon d’un fusil Réponse 2: Cinématique des rotations: C T=DT2/2 ĺT=D4L2/2vf2 T D=Tvf2/2L2 (T=2.5 2S) Calcul: D= 2.5 6.3 0.902 106/2 0.532 = 23Â106rad/s2 Réponse 3: Cinématique des rotations: Zf=DT=Tvf/L Calcul: Zf= 2.5 2S 0.90 103/0.53 = 27Â103 rad s-1 Phys I SV 2013 Zf/2S= = 4200 Hz 3-10 3-3. Comment définit-on la vitesse angulaire en 3D? La cinématique circulaire vectorielle Quelle orientation de Z ? Z Le mouvement angulaire se passe dans le plan xy autour d’un axe ~~z v2 ĺOn définit Z ~~z: Zz v1 Quelle direction (signe) de Z ? Si les doigts de la main droite suivent le mouvement angulaire, Zz est dit positive (« règle de la main droite ») Mouvement circulaire: r, v et Z sont tous orthogonaux. Z Pour une rotation • • • En xy, i.e. de x à y: Zz En yz, i.e. de y à z: Zx En xz, i.e. de z à x: Zy ĺZest un vecteur V r 3-11 Phys I SV 2013 4X·HVW-ce qui décrit le mouvement circulaire en générale ? Précession: une équation utile de base Pour un mouvement circulaire avec rayon rA, la norme de la vitesse est v=Zr = ~' 'rA/'t~ Dérivation de vy v,Zet rA sont orthogonaux: » vx= Zyz -Zzy » vy= Zzx - Zxz » vz= Zxy - Zyx & & & v Zur Zz & dr dt & & vy Zur x Produit vectoriel z décrit une rotation de r autour du vecteur Z avec la fréquence f=Z/2S valable pour n’importe quelle quantité vectorielle f à la place de r Utile à savoir: La norme de r est constante, &2 & voir dr dt & dr 2r dt Z z rA ĺtourne y x -Zx vy r~~=const & & & 2r Z u r 0 Exemple: La Terre au niveau de Lausanne (460) T=3 Période T=3600Â24s=86400s Rayon terrestre R=6380km. Pour un observateur au centre de la terre v=?, a=? 440)/T v= 6.28Â6400 0.7/86.4 = 320 [m/s] v=2SRsin(44 aR= v2/Rsin440 a= 3202/6.4Â6 0.7 = 0.02 [m/s2] 3-12 Phys I SV 2013 Comment décrire le mouvement circulaire uniforme sous forme vectorielle ? Précession de la vitesse Le mouvement circulaire en composantes: Circulaire: x2+y2 = r2 = const r=(rcosZt), (rsinZt) = r {cos(Zt), sin(Zt)} Dérivée interne v = dr/dt = rZ {-sin(Zt) , cos(Zt)} Déplacement r: & dr & & & v Zur dt a = dv/dt = rZ {-cos(Zt) , -sin(Zt)} vitesse v: & dv & & Zuv dt 2 & & & 2 d r & aR r Z dv & & & & Z u Z u r aR dt 2 dt & & & & Quand Z A r : a R Z u Z u r NB. Si Z(t) change avec le temps: & Z 2 r Accélération radiale (ou centripète): vers le centre Phys I SV 2013 Pour un mouvement circulaire, aR=Z(t)2r doit impérativement être satisfaite pour tout 3-13 temps t ! 4XHOHVWOHOLHQHQWUHO·DFFpOpUDWLRQangulaire D HWO·DFFpOpUDWLRQOLQpDLUH" atan De la condition impérative d’une trajectoire circulaire: a O & aR r & Z r 2 & v(t ) 2 r r r n’effectue qu’un changement de direction de vitesse v(t) à un instant donné aR Comment changer la norme de la vitesse v(t) ? & dv(t ) v dt v & atan En norme: v=Zr. Pour une trajectoire circulaire (r=const): dv dZ (t ) r D (t )r dt dt On note que |atan| = Dr est en direction de & v. Mais D est un vecteur A à atan… r & Comment lier D et atan ? Il nous faut une opération qui fait une rotation d’un vecteur par 900 sans changer la norme: produit vectoriel dont un vecteur est unitaire Phys I SV 2013 r u atan & & dZ § r v · r ¨ u ¸ dt © r v ¹ iˆ u ˆj kˆ & dZ (t ) dt dZ/dt atan r 2 & rA D & & r u atan Valable pour n’importequelle accélération a (y compris aR): & & r ua & rA D 2 z y x 3-14 3-4. Quelles conditions décrivent le roulement (sans glissement) ? Rotation et translation Sans glissement: La vitesse de la roue au point de contact P vP est nulle. Question: Quelle est la relation entre vitesse de la roue vCM, Z et le rayon R de la roue ? vCM = -ZR CM vP = 0 -vCM Référentiel de la roue Translation de CM et rotation autour de CM : & & & & & v ri vCM Z u rCM 3-15 Phys I SV 2013 Quiz: Roulement avec ou sans glissement ? Quiz: La trajectoire d’une LED au bout d’une roue avec vCM=const est photographiée. Question : Que peut-on dire de la vitesse angulaire Z ? 1. Augmente avec le temps 2. Diminue 3. Reste constante Z> vCM Z= vCM/R Z< vCM 4. Pas assez d’informations 3-16 Phys I SV 2013 La cinématique en bref (Leçons 1-3) La cinématique linéaire est jumelée avec celle des rotations & (t ) v (t & dr (t ) dt & Z (t) t) & (t ) a (t & dT (t ) & D (tt)) dt Précession & v & dr dt Équations (linéaires) de base & & t & & & dv (t ) d 2 r (t ) v ( t ) a (t ' )dt ' r (t ) 2 ³ dt dt t0 Cinématique des rotations & & & dZ (t ) d 2T (t ) Z ((tt ) 2 dt dt t & ³ D (t ' )dt ' t & ³ v (t ' )dt ' t0 & t & ³ Z (t ' )dt ' T (t) t) t0 t0 Condition centripète & & Zur & aR & rAZ 2 Z = v/R 2 & rA D & & r ua v(t ) 2 rA a R (t ) + règles de différentiation et intégration + choix d’un bon référentiel Référentiel d’inertie r’: & v ' (t ) const Référentiel accéléré: ajouter une accélération fictive (opposée à l’accélération du référentiel dans le RI) 3-17 Phys I SV 2013 Complément: Rotation autour point de contact P ça revient lors du cours #11 ;) ZRR 2vCM=ZRrB v 2vCM=ZRrCM A Roulement sans glisser: A tout temps, au point de contact P vP=vitesse du sol (=0) Translation par vCM + Rotation autour CM par ZR=-vCM/R = Rotation autour P (point de contact instantané) C rB vCM ZRR vCM vCM A 2vCM=ZRrC rA rC ZRR ZRR=vCM vCM P ĺ vi = ZR u ri y & dr dt & & ZR u r x z 3-18 Phys I SV 2013 5DSSHO&RPSRVDQWHVG·XQYHFWHXU coordonnées cartésiennes, polaires & cylindriques (voir aussi support maths, e.g. youtube) polaires cartésiennes 2S segments pour le tour complèt Définition: 2 position angulaire T – 3 T{l/R 1 57.30 – Unité: radian [rad] » 3600=2S rad 4 6 v= (v, T) =v(cosT x+sinTy) 5 v= vx x + vy y { (vx,vy) 6 segments jusqu’ici. vx=vcosTvy=vsinT cylindriques cartésiennes P = (U0,T,z0) z z OP 2 U 0 2 z0 2 P = (x0,y0,z0) OP 2 x0 y0 z0 2 2 Equations de liaisons: 2 x=UcosT z0 z0 O y O y y0 x Phys I SV 2013 x0 x T U U2=x2+y2 y=UsinT z=z 3-19 3-20 Phys I SV 2013 3-21 Phys I SV 2013 3-22 Phys I SV 2013 3-23 Phys I SV 2013 3-24 Phys I SV 2013 3-25 Phys I SV 2013