Cinématique du point

Cinématique du point
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Les grandeurs cinématiques que l’on peut associer au point sont : vitesse et accélération.
1. Définitions qualitatives à partir de la trajectoire.
On connaît la trajectoire du point A dans le mouvement de 2 par rapport à 1.
A
t0 = 0
TA,2/1
t3
O
t1
•
→
v A,2/1
t2
Vitesse : →
v A,2/1
La vitesse est une grandeur qui donne des informations sur l’évolution de la position d’un point par
rapport au temps. Unité : le mètre par seconde (m.s-1 ou m/s)
Elle doit exprimer la direction instantanée du déplacement du point, le sens du déplacement ainsi que
l’amplitude de la variation de déplacement (appelé couramment vitesse).
Conclusion :
La vitesse est une grandeur vectorielle dont la direction est tangente à la trajectoire du point.
•
Accélération : →
a A,2/1
l’accélération c’est la vitesse de la vitesse (plus la vitesse augmente vite, plus l’accélération est élevée).
Unité : le mètre par seconde carré (m.s-2 ou m/s²)
•
L’accélération est aussi une grandeur vectorielle dont on ne peut pas simplement généraliser la
direction par rapport à la trajectoire.
Remarque : La détermination de l’accélération est utile, car c’est la grandeur qui permettra de relier les
mouvements avec les causes qui les produisent. (Dynamique)
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2. Calcul vectoriel.
2.1 Position du point A dans le mouvement de 2 par rapport à 1.
→
Elle est définie par le vecteur O1A .
Le paramétrage doit être compatible avec la condition : O1 est fixe dans 1 et A est fixe dans 2.
→
Il ne faut pas projeter OA sur une base « fixe » (coordonnées)
2.2 Vitesse du point A dans le mouvement de 2 par rapport à 1.
→
→ →
→ 
At2At1
O1A t2 - O1A t1 dO1A
→
v A,2/1 = lim t - t = lim
= dt 
t2 - t1
1
t2→t1 2 1 t2→t1
→
d
O
1A
→
résultat : v A,2/1 =
dt  1
Pour pouvoir dériver dans 1 il faut que O1 soit fixe dans le solide 1
Pour avoir la vitesse du point A dans le mouvement de 2, A doit être fixe dans le solide 2
2.3 Accélération du po int A dans le mouvement de 2 par rapport à 1.
d→
v A,2/1
→
a A,2/1 = dt
1
→
d²
O
1A
→
a A,2/1 =
dt²  1
avec le point A fixe dans 2 et le point O1 fixe dans 1.
3. Dérivation d’un vecteur / temps : relation de Boor.
→
→
d U 
d U 
→
→
Ω
=
+
^
2/1 U
dt  1 dt  2
•
→
Définition de Ω 2/1 :
c’est le vecteur vitesse de rotation du solide 2 par rapport au solide 1 (en rad/s).
→
Si la position de 2 est défini dans 1 par n rotations autour des directions zi (voir figures planes)
→
Ω 2/1 =
•
n
∑ θ .→z
i
i
i=1
Composition des vecteurs vitesse de rotation : à l’aide de la relation de Boor
→
→
→
→
Ω n/1 = Ω n/n-1 + … + Ω 3/2 + Ω 2/1
On montre alors :
→
→
Ω 2/1 = - Ω 1/2
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