UT2J Département Mathématiques et Informatique Année 2016

UT2J Département Mathématiques et Informatique
Année 2016-2017
Licence 3 MIASHS, parcours informatique
Mathématiques pour l'informatique 1 (UE MIC0502V)
Feuille n◦ 1 Enfance de l'Ar...ithmétique
emmanuel
bureau GS256
[email protected]
hallouin
www.math.univ-toulouse.fr/∼hallouin/eh-L3-MIASHS.html
Exercice 1 : Micro-trottoir
En direct de l'UT2J, notre reporter vous tend le micro pour VOUS donner la parole et vous demande
si vous savez :
1. ce qu'est un entier ? et comment on note leur ensemble ?
2. ce que a divise b veut dire pour a, b ∈ Z ?
3. ce qu'est la division euclidienne entre deux entier ?
4. ce que sont le pgcd et le ppcm de deux entiers ?
5. ce que veut dire être premier entre eux pour deux entiers ?
6. ce qu'est un nombre premier ?
7. ce que représente la décomposition primaire d'un entier ?
8. ce que calcule l'algorithme d'Euclide et quel est le principe de ce dernier ?
Exercice 2 : Algorithme d'Euclide étendu
On commence par rappeler le principe de l'algorithme d'Euclide. Il permet de calculer le pgcd de deux
entiers a et b. Pour cela, on pose r0 = a, r1 = b et :
∀i > 2,
ri = reste de la division euclidienne de ri−2 par ri−1 .
On montre que cette suite de restes nit par atteindre zéro et que le dernier reste non nul n'est rien
d'autre que pgcd(a, b), le pgcd cherché.
1. Histoire de vous rafraîchir la mémoire, demandez à votre voisin de vous fournir deux entiers à trois
chires et calculez leur pgcd grâce à l'algorithme d'Euclide.
2. Etudier la complexité de cet algorithme.
Le théorème de Bezout prétend qu'il existe deux entiers u, v tels que :
au + bv = pgcd(a, b).
Ces coecients s'appellent des coecients de Bezout pour a et b. Sans trop d'eorts supplémentaires,
il est possible d'enrichir l'algorithme d'Euclide pour qu'en plus de fournir le pgcd , il retourne aussi des
coecients de Bezout.
3. En plus de la suite des restes, on va produire deux suite (ui )i et (vi )i vériant :
∀i > 0,
aui + bvi = ri .
a. Que peut-on choisir pour u0 , v0 , u1 , v1 ?
b. Montrer que l'on peut trouver u2 et v2 dépendant uniquement de u0 , v0 , u1 , v1 et de q2 le
quotient de la division euclidienne de r0 = a par r1 = b.
c. En déduire, sur le principe de l'algorithme d'Euclide, un algorithme dit étendu permettant
de calculer à la fois le pgcd et des coecients de Bezout. Je vous aide, le procédé itératif peut se résumer
ainsi :
∀i > 2,


(ri , qi ) := (reste, quotient) de la division euclidienne de ri−2 par ri−1
ui := . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


vi := . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
4. Reprendre l'exemple du début de cet exercice en calculant de surcroît les coecients de Bezout.
Exercice 3 : Quelle taille ?
Convenons que la taille d'un entier n est la longueur du tableau dans lequel est stocké sa décomposition
en base 2.
1. Exprimer cette taille en fonction de log2 n.
2. Soit a, b et n des entiers avec n > 1.
a. Que peut-on dire de la taille de a + b en fonction de celles de a et b ?
b. Que peut-on dire de la taille de a × b en fonction de celles de a et b ?
c. Que peut-on dire des tailles du reste et du quotient de la division de a par b (quand b 6= 0) en
fonction de celles de a et b ?
d. Que peut-on dire de la taille de an en fonction de celle de a ?
Exercice 4 : Retour à l'école primaire
L'idée de cet exercice est de revenir sur les opérations élémentaires des entiers du point de vue de la
complexité. En vous basant sur les techniques que vous avez vues à l'école primaire, donner la complexité
des opérations élémentaires entre deux entiers 6 n suivante :
Opération Complexité en fonction de a et b Complexité en fonction de n
a+b
a−b
a×b
a÷b
pgcd(a, b)
Note : pour le calcul du pgcd, on utilise l'algorithme d'Euclide sur lequel on revient justement dans
l'exercice suivant.
Exercice 5 : Actualités : pouvoir d'achat... mais non de calcul
Soit p et q deux premiers chacun de taille 256 bits. On pose n = p × q .
1. Quelle est la taille de n ?
2. Quel est le coût de la somme de deux entiers 6 n ? Et celui du reste de la division euclidienne de
cette somme par n ?
3. Pour m 6 n, quel est le coût du calcul du pgcd(m, n) accompagné des coecients de Bezout ?
4. Quel est le coût de l'algorithme naïf permettant de factoriser n ?
Exercice 6 : Le coût (de la vie)
Soit n ∈ Z un entier dont l'écriture binaire compte 512 chires.
1. Quelle est la taille de l'entier n ?
2. Combien de divisions doit-on eectuer au maximum pour factoriser cet entier n (si c'est possible)
avec l'algorithme naïf de factorisation ?
3. Combien d'opérations au maximum sont-elles nécéssaires pour ajouter deux éléments 6 n ? Puis
calculer le reste de cette somme modulo n ?
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