1S Cours - La fonction racine carrée Définition Soit 𝑎 un nombre réel positif. On appelle « racine carrée de 𝑎 », le nombre positif dont le carré est 𝑎. La fonction 𝑓 telle que 𝑓: 𝑥 ↦ √𝑥 est appelée la fonction racine carrée. Elle est définie sur [0 ; +∞[ Variations La fonction carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[ Valeurs de 𝑥 . Variations de 𝑓 0 +∞ 0 Un tableau de valeur 𝑥 0 𝑓(𝑥) 0 1 9 1 3 1 4 1 2 16 1 4 9 1 2 3 4 Une représentation graphique Idées pour la preuve des variations Comme souvent pour les preuves de variations des fonctions de « références » : 1) On suppose que 𝑎 < 𝑏 (et forcément on a alors 𝑎 − 𝑏 < 0 et 𝑏 − 𝑎 > 0) 2) On calcule 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) 3) On étudie son signe Pour la fonction racine carrée, la preuve s’appuie sur l’utilisation √𝑎 + √𝑏 de la « quantité conjuguée » de 2 2 √𝑎 − √𝑏 car (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏) = √𝑎 − √𝑏 = 𝑎 − 𝑏 Preuve de l’identité : (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏) = √𝑎 2 − √𝑎 × √𝑏 + √𝑏 × √𝑎 − √𝑏 2 =𝑎−𝑏 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) = √𝑎 − √𝑏 = La preuve Pour 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 (√𝑎+√𝑏)(√𝑎−√𝑏) √𝑎+√𝑏 = 𝑎−𝑏 √𝑎+√𝑏 𝑎−𝑏 <0 Comme √𝑎 et √𝑏 sont positifs, leur somme √𝑎 + √𝑏 positive Donc le 𝑎−𝑏 quotient √𝑎+√𝑏 ≤0 donc 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) ≤ 0 donc 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏) L’ordre est conservé donc 𝑓 est croissante sur [0 ; +∞[ Application : On sait que : −5 ≤ 𝑥 ≤ −3 encadrer √2𝑥 + 15 Correction −5 ≤ 𝑥 ≤ −3 en multipliant chaquemembre par 2 qui est positif −10 ≤ 2𝑥 ≤ −6 en ajoutant 15 à chaque membre 5 ≤ 2𝑥 + 15 ≤ 9 Comme 5, 2𝑥 + 15 et 9 sont dans [ 0 ; +∞[ Comme la fonction racine carrée est croissante sur [ 0 ; +∞[, elle conserve l’ordre √5 ≤ √2𝑥 + 15 ≤ √9 donc √5 ≤ √2𝑥 + 15 ≤ 3 Formules 2 1) ∀𝑥 ∈ [0 ; +∞[ on a : √𝑥 = 𝑥 2) Deux nombres positifs ayant le même carré sont égaux 3) Soit 𝑎 un réel Si 𝑎 > 0, Si 𝑎 = 0, Si 𝑎 < 0, l’équation 𝑥 2 = 𝑎 a deux solutions distinctes − √𝑎 et √𝑎 l’équation 𝑥 2 = 0 a une seule solution 0 l’équation 𝑥 2 = 𝑎 n’a pas de solution 4) Pour tous les réels 𝑎 et 𝑏 positifs, on a : √𝑎𝑏 = √𝑎 × √𝑏 𝑎 √𝑎 5) Pour tous les réels 𝑎 positif et 𝑏 strictement positif, on a : √ = 𝑏 √𝑏 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 6) ∀𝑥 ∈ ℝ on a : √𝑥 2 = |𝑥| = { −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 7) Pour tous les réels 𝑎 et 𝑏 positifs, √𝑎 + 𝑏 ≤ √𝑎 + √𝑏 Preuves 1) Par définition de « racine carrée de x » est le nombre positif dont le carré est 𝑥 2) Soit 𝑎 et 𝑏 deux réels de même signe tels que : 𝑎2 = 𝑏 2 𝑎2 = 𝑏 2 donc 𝑎2 − 𝑏 2 = 0 donc (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 0 donc 𝑎 − 𝑏 = 0 ou 𝑎 + 𝑏 = 0 Donc 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏 donc « 𝑎 et 𝑏 sont égaux » ou « 𝑎 et 𝑏 sont opposés » Comme 𝑎 et 𝑏 sont de même signe, le cas « 𝑎 et 𝑏 sont opposés » n’est possible que pour 𝑎 = 𝑏 = 0 Dans tous les cas, 𝑎 et 𝑏 sont égaux. 3) Cas 𝑎 < 0 Cas 𝑎 ≥ 0 𝑥2 = 𝑥 × 𝑥 donc est le produit de deux nombres de même signe donc d’après la règle des signes 𝑥 2 est toujours positif donc 𝑥 2 ne pourra pas être égal au nombre 𝑎 strictement négatif Comme 𝑎 ≥ 0, √𝑎 existe et on a par définition de la racine 2 carrée: √𝑎 = 𝑎 2 𝑥 2 = 𝑎 ⇔ 𝑥 2 − √𝑎 = 0 ⇔ (𝑥 + √𝑎)(𝑥 − √𝑎) = 0 ⇔ 𝑥 + √𝑎 = 0 ou 𝑥 − √𝑎 = 0 ⇔ 𝑥 = −√𝑎 ou 𝑥 = √𝑎 Comme −√𝑎 est négatif et √𝑎 est positif, le seul cas où il y a égalité est √𝑎 = 0 donc 𝑎 = √𝑎 × √𝑎 = 0 Pour 𝑎 > 0, les solutions sont distinctes ! 4) Comme 𝑎 ≥ 0 et 𝑏 ≥ 0, les écritures √𝑎𝑏 et √𝑎 × √ 𝑏 sont bien définies 2 2 2 De plus, par définition de la «racine carrée » √𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 √𝑎 = 𝑎 √𝑎𝑏 est un nombre positif (définition de « racine carrée de 𝑎𝑏 ») √𝑏 = 𝑏 √𝑎 × √𝑏 est le produit de deux nombres positifs donc positif 2 √𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 Or d’une part d’autre part 2 2 2 (√𝑎 × √𝑏) = √𝑎 × √𝑏 × √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × √𝑎 × √𝑏 × √𝑏 = √𝑎 × √𝑏 = 𝑎 × 𝑏 donc √𝑎𝑏 et √𝑎 × √𝑏 sont positifs et ont le même carré, ils sont égaux. 𝑎 5) Comme 𝑎 ≥ 0 et 𝑏 ≥ 0, les écritures √𝑏 et √𝑎 √𝑏 sont bien définies 2 𝑎 2 2 De plus, par définition de la «racine carrée » √𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 √𝑎 = 𝑎 √𝑏 = 𝑏 𝑎 √𝑏 est un nombre positif (définition de « racine carrée de 𝑏 ») √𝑎 √𝑏 est le quotient de deux nombres positifs donc positif 𝑎 d’autre part 𝑎 donc √𝑏 et √𝑎 √𝑏 2 𝑎 𝑎 √𝑏 = 𝑏 (définition de « racine carrée de 𝑏 ») Or d’une part √𝑎 √𝑏 2 ( ) = √𝑎 √𝑏 × √𝑎 √𝑏 = √𝑎×√𝑎 √𝑏×√𝑏 = √𝑎 √𝑏 2 2 𝑎 =𝑏 sont positifs et ont le même carré, ils sont égaux. 6) Si 𝑥 ≥ 0 On va utiliser la propriété précédente 2 √𝑥 2 = √𝑥 × 𝑥 = √𝑥 × √𝑥 = √𝑥 = 𝑥 7) Si 𝑥 ≤ 0 −𝑥 est donc positif. On va utiliser la propriété précédente 2 √𝑥 2 = √(−𝑥) × (−𝑥) = √−𝑥 × √−𝑥 = √−𝑥 = −𝑥 √𝑎+𝑏+(√𝑎+√𝑏) √𝑎 + 𝑏 − (√𝑎 + √𝑏) = (√𝑎 + 𝑏 − (√𝑎 + √𝑏)) × √𝑎+𝑏+(√𝑎+√𝑏) = = 2 2 √𝑎+𝑏 −(√𝑎+√𝑏) 𝑎+𝑏−(𝑎+𝑏+2 √𝑎×√𝑏) √𝑎+𝑏+√𝑎+√𝑏 √𝑎+𝑏+√𝑎+√𝑏 −2 √𝑎×√𝑏 √𝑎+𝑏+√𝑎+√𝑏 Donc √𝑎 + 𝑏 − (√𝑎 + √𝑏) ≤ 0 donc √𝑎 + 𝑏 ≤ √𝑎 + √𝑏 De plus l’égalité n’a lieu que quand −2 √𝑎 × √𝑏 = 0 donc quand √𝑎 = 0 ou √𝑏 = 0 donc quand l’un des nombres est nul ! Application Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = √−3𝑥 + 5 1) Donner l’ensemble de définition de 𝑓 2) Etudier les variations de 𝑓 Correction 1) 𝑓 est définie SSI −3𝑥 + 5 ≥ 0 −3𝑥 ≥ −5 SSI 𝑆𝑆𝐼 5 𝑥 ≤ − −3 𝑆𝑆𝐼 5 L' ensemble de définition de 𝑓 est ] − ∞ ; 3 ] 2) Conjecture à l’aide de la calculatrice : 5 𝑓 semble décroissante sur ] − ∞ ; 3 ] Preuve : 5 3 Soit 𝑢 et 𝑣 dans ] − ∞ ; ] avec 𝑢 < 𝑣. Ainsi : 5 𝑢<𝑣≤3 En multipliant chaque membre par −3 (négatif donc l’ordre change) −3𝑢 > −3𝑣 ≥ −5 −3𝑢 + 5 > −3𝑣 + 5 ≥ 0 En ajoutant 5 à chaque membre 5 Comme 0 et − 3𝑢 + 5 et −3𝑣 + 5 sont dans ] − ∞ ; 3 ] Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[ (ordre conservé sur les images) √−3𝑢 + 5 > √−3𝑣 + 5 ≥ √0 5 donc 𝑓(𝑢) > 𝑓(𝑣) donc 𝑓 inverse l’ordre sur ] − ∞ ; 0] donc 𝑓 est décroissante sur ] − ∞ ; 3 ] 5 𝑥≤3