Configuration de Thalès

CHAPITRE
Configuration de
Thalès
Énigme du chapitre.
Tracer un segment [AB ] de 5 cm. En utilisant le théorème de Thalès, construire le point
C appartenant au segment [AB ] et tel que
5 AB .
AC =
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Une construction sans justification et sans appui sur le théorème de Thalès ne répondra pas
à l’énigme.
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Objectifs du chapitre.
— Connaître et utiliser la proportionnalité
des longueurs pour les côtés des deux
triangles déterminés par deux parallèles
coupant deux droites sécantes.
— Connaître et utiliser un énoncé réciproque.
— Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la
proportionnalité entre les longueurs de
la figure initiale et celles de la figure à
obtenir.
I/ Théorème de Thalès
Activité A. Une autre configuration de Thalès - TICE GeoGebra
Partie A : Construire
( ) ( )
1. Tracer deux droites OA et OB (avec
l’outil « Droite passant par deux points »
4. Nommer N le point d’intersection de
cette droite avec la droite OB (outil
( )
)
2. Tracer la droite AB , puis placer un
point M (avec l’outil « Nouveau point »
« Intersection entre deux objets »
( )
( )
[ )
) sur OA qui n’appartient pas à la
demi-droite OA .
3. Construire la droite parallèle à AB passant par M (avec l’outil « Parallèle »
)
M
B
O
( )
A
N
).
Partie B : Conjecturer
1. Dans la ligne « Saisie » du logiciel, taper la formule Distance[O,A]/Distance[O,M].
Le résultat s’affiche dans la fenêtre algébrique située à gauche. Que fait-on calculer au
logiciel.
2. De même, faire afficher les valeurs de
affichées ?
OB
OM
et
AB
MN
. Que constate-on pour les trois valeurs
3. Déplacer les points de la figure. Que constate-t-on ?
4. Quelle égalité de rapports de longueurs peut-on alors conjecturer ?
Partie C : Démontrer
1. Sur la figure, tracer A0 et
B 0 les symétriques respectifs des points A et B par rapport à O.
2. Démontrer que les droites (A0 B 0 ) et (MN ) sont parallèles.
OA0 OB 0 A0 B 0
3. Prouver que
= = .
OM ON MN
4. En déduire la conjecture faire en fin de Partie B.
Théorème (Théorème de Thalès)
Soit ABC un triangle, M 2 AB et N 2 AC .
Si les droites BC et MN sont parallèles alors on a :
( )
( ) ( )
( )
AM
AB
MN
= AN
=
:
AC BC
A
N
M
B
C
Remarque
Les rapports inverses sont eux aussi égaux :
AB
AM
AC BC
= AN
= MN
Exemples
A, M et B sont alignés
A, N et C sont alignés.
(MN )==(BC )
1. Données :
B
M
Donc : d’après le théorème de Thalès,
C
AM AN MN
= =
AB AC BC
2. Données : A, M et B sont alignés
A, N et C sont alignés.
(MN )==(BC )
Donc : d’après le théorème de Thalès,
AM
AB
MN
= AN
=
AC BC
N
A
D
B
C
A
N
M
D
Définition
Les figures pour lesquelles on peut appliquer le théorème de Thalès s’appellent des configurations
de Thalès.
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
II/ Réciproque du théorème de Thalès
Activité B. Réciproque du théorème de Thalès
1. Reproduire sur quadrillage la figure ci-dessous.
A
B
O
2. On souhaite placer un point
que
M sur la droite (OA) et un point N sur la droite (OB ) tels
OM
OA
1:
= ON
=
OB 3
Combien y-a-t-il de positions possibles pour chacun des points
pour chaque cas.
M et N ? Faire une figure
3. Recopier et compléter le tableau en ajoutant une ligne pour chaque figure.
Position relative de O, A et M
Position relative de O, B et N
A, O et M sont alignés dans cet ordre. B , O et N sont alignés dans cet ordre.
(MN ) et (AB) sont-elles parallèles ?
Oui
Théorème (Réciproque du théorème de Thalès)
Si les points A, M , B d’une part et les points A, N , C d’autre part sont alignés dans le même
AN
ordre, et si AM
, alors les droites BC et MN sont parallèles.
AB
AC
=
( ) ( )
Exemples
1. Données : A,
ordre.
M et B sont alignés dans cet
C
A, N et C sont alignés dans cet ordre.
AM
AB
=
AN
AC
M
A
N
B
Donc :, d’après la réciproque du théorème
de Thalès, les droites MN et BC sont
parallèles.
( ) ( )
C
M
A
2. Données : A,
ordre.
M et B sont alignés dans cet
C
N
A
A, N et C sont alignés dans cet ordre.
AM
AB
=
B
N
M
B
AN
AC
Donc :, d’après la réciproque du théorème
de Thalès, les droites MN et BC sont
parallèles.
( ) ( )
C
N
A
M
B
Faire les exercices 6 7 8 F 9 F
III/ Applications : agrandissement et réduction
Définition (Agrandissement)
Quand on multiplie par un nombre k strictement positif les longueurs des côtés d’une figure
pour obtenir les longueurs des côtés d’une figure F 0 , on dit que :
— F 0 est un agrandissement de F si k > ;
— F 0 est une réduction de F si k < .
Le nombre k est appelé le rapport d’agrandissement ou le rapport de réduction.
F
1
1
Exemple
ABCD est un agrandissement de A0 B 0 C 0 D0 de rapport .
A0 B 0 C 0 D0 est une réduction de ABCD de rapport ; .
2
05
C
B
C
0
B
D
0
E
0
0
D
A
A
Propriété
Un agrandissement (ou une réduction) conserve les mesures d’angles.
Exemple
[
On donne :
A0 B 0 C 0 D0 est une réduction de ABCD
ABC = 71˚.
\ = 71
D’après la propriété de conservation des angles par agrandissement : on a A0 B 0 C 0
˚.
Propriété
Un agrandissement (ou uen réduction) conserve le parallélisme.
Exemple
A0 B 0 C 0 D0 est une réduction de ABCD
(AB)==(CD).
On donne :
D’après la propriété de conservation des angles par agrandissement : on a
Faire les exercices 10 11 12
Vu au brevet :
Faire les exercices 13 F 14 F
(A0B0)==(C 0D0).