Nombres premiers dans N

Mme Morel-spécialité math
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Nombres premiers dans N
Les nombres premiers ont un rôle fondamental en arithmétique. L’étude des propriétés des nombres
entiers naturels impose souvent la décomposition en facteurs premiers.
Les nombres premiers ont aussi un rôle prépondérant en cryptographie. Autant la multiplication de deux
nombres entiers, même très grands, n’est pas compliquée (avec un ordinateur, le calcul est immédiat),
autant l’opération inverse, c’est-à-dire l’identification des facteurs dans un produit est très difficile, même
avec les ccalculateurs les plus rapides.
En 1977, Martin Gardner posa la question aux lecteurs de Pour la Science, dans sa rubrique Jeux
mathématiques, de la décomposition en facteurs premiers d’un très grand nombre (129 chiffres). Une
réponse ne fut donnée que 16 ans plus tard, grâce au travail collaboratif de quelques 600 ordinateurs...
La cryptographie à clé publique est basée sur ce principe : le cryptage est rapide, mais le décryptage est
quasi impossible dans la pratique (tout du moins dans un laps de temps court).
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Définition
D’après le paragraphe précédent, un entier naturel p > 2 admet au-moins quatre diviseurs : 1; -1; p et
−p.
Définition 1.0.1. On appelle nombre premier tout entier naturel p ayant exactement quatre diviseurs
: ±1, ±p.
Exemples : 2 est le plus petit nombre premier; c’est le seul qui soit pair; 1 n’est pas premier; 6 non
plus.
Définition 1.0.2. Un entier n > 1 non premier est appelé nombre composé.
Exemple : 6 est un nombre composé.
Théorème 1.1. Tout entier n composé admet un diviseur d tel que 2 6 d 6
0
0
√
n.
0
Démonstration : n étant composé, soient d et d tels que n = dd , où d et d sont des entiers
0
0
supérieurs strictement à 1. Quitte à échanger d et d , on peut √
supposer que d 6 d . On a alors :
0
d2 6 dd soit d2 6 n. Donc, puisque d est un entier naturel, d 6 n.
√
De plus, comme n > 1, le plus petit diviseur possible pour n est 2. Donc : 2 6 d 6 n.
Application : Un nombre n donné est-il premier?
√
La contraposée du théorème précédent s’énonce : si n n’admet pas de diviseur d tel que 2 6 d 6 n
alors n est premier.
√
Par exemple, prenons n = 23. Si 23
n’est
pas
premier
il
admet
un
diviseur
d
tel
que
2
6
d
6
23.
√
Comme d est un entier et que 4 < 23 < 5, on en déduit que 2 6 d 6 4. Donc d est égal à 2, 3 ou 4.
On ne peut avoir d = 2 ou d = 4 car 23 n’est pas pair. Il ne reste donc qu’à tester 3. Or 23 n’est pas
divisible par 3. Donc 23 est premier.
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Théorème fondamental de l’arithmétique
Théorème 2.1. Théorème fondamental de l’arithmétique
Tout entier strictement supérieur à 1 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
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Remarque : Produit est à comprendre au sens large, un produit pouvant n’avoir ici qu’un seul
facteur.
Démonstration 1 : Montrons ce résultat par une récurrence forte.
Initialisation : le résultat est vrai pour n = 2 puisque 2 est premier.
Hérédité : Soit n ∈ N. Supposons que le résultat soit vrai pour tous les entiers inférieurs ou égaux à n
et montrons qu’il est vrai pour l’entier n + 1.
• Si n + 1 est premier, alors il ne possède pas d’autres diviseurs positifs que 1 et lui-même. Il se
décompose donc en produit d’un seul nombre premier : lui-même.
0
0
• Si n + 1 n’est pas premier, alors il existe deux entiers naturels d et d tels que : n + 1 = dd ,
0
1 < d < n + 1 et 1 < d < n + 1.
0
0
On a donc : 1 < d 6 n et 1 < d 6 n. Donc d’après l’hypothèse de récurrence, d et d admettent
une décomposition en produit de facteurs premiers. Il en est donc de même pour leur produit, soit
n + 1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 2, elle est héréditaire, donc d’après l’axiome de la récurrence,
elle est vraie pour tout entier naturel n > 2.
On admet l’unicité.
Démonstration 2 : Montrons ce résultat par l’absurde. On suppose donc qu’il existe au-moins un
entier n ne vérifiant pas le théorème. D’après l’axiome du plus petit élément, on peut considérer le plus
petit entier n ne vérifiant pas ce théorème.
0
n n’est pas premier (sinon il vérifie le théorème). On peut donc écrire : n = dd avec 1 < d < n et
0
0
0
1 < d < n. n étant le plus petit entier ne vérifiant pas le théorème, d et d le vérifient. Donc d et d
0
sont produit de facteurs premiers. Donc leur produit dd = n l’est aussi. C’est en contardiction avec
l’hypothèse de départ. C’est donc impossible.
Théorème 2.2. Tout entier n > 2 admet un diviseur premier.
Démonstration :
• Si n est premier, c’est évident : le diviseur premier est n.
• Si n n’est pas premier, d’après le théorème précédent il s’écrit comme produit de facteurs premiers.
Il a donc au-moins un diviseur premier.
Théorème
√ 2.3. Tout entier naturel composé n > 2 admet au-moins un diviseur premier p tel que
2 6 p 6 n.
√
Démonstration : On a déjà montré que n admet un diviseur d tel que 2 6 d 6 n.
• Si d est premier, c’est fini.
• Si d n’est pas premier, on peut le décomposer en un produit de facteurs premiers. Tout diviseur
de d est un diviseur de n.
Soit p un diviseur premier de
√ d (p existe d’après le théorème fondamental de l’arithmétique). Alors
2 6 p 6 d, donc 2 6 p 6 n, d’après la propriété de d.
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Conséquence : Test de primalité Soit n un entier naturel tel que n > 2. D’après
√ le théorème
précédent, si n n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à n alors il est
premier.
Applications :
1. Recherche des nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 avec le crible d’Ératosthène.
2. Les nombres 3 527; 3529; 3 531; 3 535; 3 537; 3 539; 3 541 sont-ils premiers?
3. Soit f (n) = n2 + n + 41.
(a) Montrer que pour 1 6 n 6 20, f (n) est un nombre premier.
(b) Est-il possible que f (n) soit premier pour tout entier naturel n?
(c) Qu’en est-il pour les valeurs de n comprises entre 21 et 40?
Conséquence du théorème fondamental de l’arithmétique :
Théorème 2.4. Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration : On montre ce résultat par l’absurde. Supposons donc qu’il n’y ait que n nombres
premiers. On les appelle p1 , p2 , p3 , · · · , pn , avec p1 < p2 < p3 < · · · < pn .
Soit M = p1 × p2 × p3 × · · · × pn + 1.
M > pi pour tout i = 1..n, donc M n’est pas premier.
D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, M se décommpose en un produit de facteurs premiers. Par conséquent, il existe une valeur de i = 1..n telle pi divise M . Il existe donc un entier c tel
que M = cpi .
On a alors : cpi = p1 p2 p3 · · · pn + 1 soit pi (c − p1 p2 p3 · · · pn ) = 1, donc pi divise 1. Or, les seuls diviseurs
de 1 sont −1 et lui-même, et pi est premier. C’est donc impossible. Donc il y a une infinité de nombres
premiers.
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Formes et nombre des diviseurs d’un entier
Exemple : Trouver l’ensemble des diviseurs positifs de 200.
Pour cela, on utilise la décomposition en facteurs premiers de 200 : 200 = 23 × 52 .
L’ensemble des diviseurs positifs de 200 est donc :{1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 200}.
On peut alors vérifier ques les diviseurs de 200 sont les nombres s’écrivant 2β1 × 5β2 , avec 0 6 β1 6 3
et 0 6 β2 6 2.
Théorème 3.1. Soit n un entier dont la décomposition en facteurs premiers est
n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k
Alors les diviseurs (positifs) de n sont les entiers de la forme :
pβ1 1 · · · pβkk
avec 0 6 βi 6 αi pour i = 1..k.
Démonstration :
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• Soit d un entier de la forme pβ1 1 · · · pβkk . Pour tout i = 1..k, on pose γi = αi − βi . Par hypothèse,
pour tout i = 1..k, γi est un entier naturel. On a :
pα1 1 pα2 2 · · · pαk k = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβkk × pγ11 pγ22 · · · pγkk
c’est-à-dire n = d × pγ11 pγ22 · · · pγkk . d est donc un diviseur de n.
• Montrons alors que tout diviseur est de cette forme.
0
0
Soit d un diviseur positif de n. Il existe donc d ∈ N tel que n = dd . Le produit des décompositions
0
en facteurs premiers de d et d est une décomposition en facteurs premiers de n. C’est donc la
décompostion en facteurs premiers de n (unicité de la décomposition). Les seuls diviseurs premiers
0
intervenant dans les décompositions de d et d sont donc les pi et ils ne peuvent intervenir qu’avec
un exposant inférieur ou égal à αi . L’entier d est donc de la forme d = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβkk avec
0 6 βi 6 αi .
Corollaire :
Théorème 3.2. Soit n un entier dont la décomposition en facteurs premiers est
n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k
Alors n a (α1 + 1) × (α2 + 1) × · · · × (αk + 1) diviseurs positifs.
Démonstration : D’après le théorème précédent, il y a α1 + 1 choix possibles de puisances de p1 ,
α2 +1 choix pour la puissance de p2 · · · . Il y a donc : (α1 +1)×(α2 +1)×· · ·×(αk +1) diviseurs différents.
Exemple : Un entier n a 5 diviseurs positifs. Quel peut-il être?
On écrit : n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k la décomposition enfacteurs premiers de n. Alors (α1 + 1) × (α2 + 1) ×
· · · × (αk + 1) = 5. Donc tous les facteurs du produit sont égaux à 1 à part l’un d’entre eux qui vaut 5.
Donc tous les αi sauf un qui vaut 4 sont nuls. n est donc la puissane quatrième d’un nombre premier :
24 = 16, 34 = 81, 44 = 256 · · · .
Exos : cf exos internet?