Exercice n° 112 : Les nombres parfaits pairs 1° On a donc avec q

Exercice n° 112 : Les nombres parfaits pairs
1° On a donc
avec q premier et
a) La décomposition de N, donne comme diviseurs :
.
N a ainsi 2p diviseurs, ce que l’on retrouve si on applique la formule
aussi à une disposition spatiale (maillage)
…on pouvait penser
b) la somme S des diviseurs de N strictement inférieurs à N est donc, compte tenu que
:
Soit
ce qui prouve que N est parfait.
2° Réciproque : on se donne donc
et impair et N parfait.
Attention ici q n’a a priori aucune raison d’être premier : c’est seulement un nombre qui n’est plus divisible
par 2…il admet une décomposition en produit de nombres premiers strictement supérieurs à 2.
a) Soit un diviseur de q, on obtient alors
qui divisent N et par ailleurs si l’on fait cette
liste pour chaque diviseur de q, de 1 jusqu’à q, on obtient ainsi tous les diviseurs de N.
Appelons
les diviseurs de q, on obtient ainsi une écriture de
b) Comme
l’égalité précédente donne
soit
Ainsi , comme
apparait comme un diviseur de q. Mais est la somme des
diviseurs de q, inférieurs à q, il est donc « déjà compté »dans cette somme et comme il s’agit de nombres
tous supérieurs ou égaux à 1, cela veut dire que est l’unique diviseur de q , inférieur strictement à q :
deux conséquences
1°
2° q a exactement deux diviseurs 1 et q : il est donc premier.
La dernière relation trouvée s’écrit alors :
Conclusion : on vient d’établir que si N est parfait pair, il s’écrit nécessairement :
C’est très exactement la réciproque du 1°.
Avec les résultats du n° 109, on trouve les premiers nombres parfaits pairs :
;
b) si
, il existe un entier naturel
tel que
et on peut alors écrire