Cours Racine carrée

LA RACINE CARREE
I) Activité :
II) Définition :
1) Définition :
Soit a un nombre positif
Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre est appelé la racine carrée de a et il se note √a .
Le symbole √ se nomme le radical.
Exemples :
9 =3
car
32 = 9 et 3 ≥ 0
− 4 n’existe pas car il n’y a aucun nombre dont le carré est égal à – 4.
2) Conséquence :
Pour tout nombre positif a
√a = a
√a ≥ 0
et
Exemples :
( 5 )2 = 5
et
5≥0
3) Propriété :
Pour tout nombre positif a
√a = a
Exemples :
7 2 = 49 = 7
car 7 ≥ 0
(−7) 2 = 49 = 7 ≠ −7
car –7 ≤ 0
1
4) Carré parfait :
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est un
nombre entier positif.
Exemples :
64 = 8
64 est un carré parfait
3 n’est pas un nombre entier car 3 n’est pas un carré parfait.
Liste des premiers carrés parfaits :
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289
324, 361, 400 ………..
III) Equation = a :
1) Propriété :
Soit a un nombre donné
si a < 0 alors l’équation = a n’a pas de solution.
si a = 0 alors l’équation = 0 a une seule solution : 0
si a > 0 alors l’équation = a a deux solutions :
√a (positive) et −√a (négative)
Démonstration :
Soit l’équation x 2 = a
x2 − a = 0
si a > 0,
x2 −
(x +
(
)(
)
or x + a x − a = 0
( a )2 = 0
a )(x − a ) = 0
⇔
x+ a = 0
ou
x=− a
L’équation a deux solutions
2
a et − a .
x− a = 0
x= a
x2 = 0
x× x = 0
si a = 0,
or
x× x = 0
⇔
ou
x= 0
x= 0
L’équation a une seule solution 0 .
si a < 0 ,
x2 = a
Le carré d’un nombre est toujours positif donc x 2 ≥ 0
donc l’équation x 2 = a avec a < 0 n’a pas de solutions.
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
a) x 2 = 13
b) x 2 = −1
IV) Propriétés :
1) Propriété 1:
Pour tous nombres positifs a et b
√a × b = √a × √b
Démonstration :
Soit a et b deux nombres positifs
Considérons l’équation x 2 = a × b
(
a× b
)2 = ( a )2 × ( b )2 = a × b
donc
a × b est solution de
l’équation x 2 = a × b .
Or l’équation x 2 = a × b a deux solutions
− a × b (négative).
De plus a ≥ 0 et b ≥ 0 donc
a × b = a×b.
Donc
a × b (positive) et
a× b ≥0
Exemples :
2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6
48 = 16 × 3 = 16 × 3 = 4 3
3
2) Propriété 2:
Pour tous nombres positifs a et b, b étant non nul
√
= √
Démonstration :
Soit a et b deux nombres positifs, b étant non nul
a
Considérons l’équation x 2 =
b
2
 a

 =
 b
( a )2 = a
( b )2 b
Or l’équation x 2 =
−
donc
a
a
est solution de l’équation x 2 = .
b
b
a
a deux solutions
b
a
(positive) et
b
a
(négative).
b
De plus
a ≥ 0 et
b > 0 donc
a
≥ 0 d’ où
b
a
a
.
=
b
b
Exemples :
64
64 8
=
=
9
9 3
12
12
=
= 4=2
3
3
3) Remarques:
Les propriétés de calcul des racines carrées sont valables uniquement lors
d’une multiplication ou lors d’une division.
Penser à utiliser les égalités dans les deux sens.
4) Applications:
a) Ecrire les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont
des nombres entiers , b étant le plus petit possible.
1)
20
2)
54
3)
4) 5 3 − 12
32
b) Ecrire les nombres suivants sans radical au dénominateur.
1)
3
6
2)
7 5
3
3)
4
1
2