PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
I DYNAMIQUE APPLIQUE A UN MOUVEMENT DE TRANSLATION
1° Expérience
Un chariot est entraîné sur un rail selon un mouvement rectiligne uniformément accéléré par la chute
d'une masse m. Une horloge électronique permet de mesurer la durée du parcours AM = 0,5 m pour
différentes valeurs de la masse m.
2° Mesures
m : Masse suspendue entraînant le chariot
M : Masse totale du système (masse du chariot 0,3 kg + masse suspendue) : kg
F : Force motrice (poids de la masse suspendue) (N)
t : Durée du parcours AM (s)
2x
a : Accélération du mouvement : (m/s²)
t²
x : Parcours AM (m)
2° Tableau de mesures
m(kg)
0,05
0,1
0,15
0,2
M(kg)
F(N)
t(s)
0,84
0,63
0,55
0,5
a (m/s²)
M.a
3° Principe fondamental de la dynamique appliquée à un mouvement de translation
LP ROMPSAY LA ROCHELLE
P CORMERAIS
Théorème fondamental de la dynamique
II DYNAMIQUE APPLIQUE A UN MOUVEMENT DE ROTATION
1° Expérience
Une barre métallique et 2 petites masselottes sont entraînées dans un mouvement circulaire uniformément
accéléré par la chute d'une masse m.
Une horloge électronique permet de mesurer le temps que met l'ensemble barre + masselottes pour
effectuer 1 tour pour différentes valeurs de la masse m.
2° mesures
m : masse suspendue entraînant l'ensemble (kg)
D : diamètre de l'axe d'enroulement du fil : 0.03 m
ML²
J : moment d'inertie de l'ensemble : 2µl² + µR²+
(kg m²)
12
θ : angle effectué par l'ensemble : 2π rad
M : moment moteur du à la masse m : m.g.R
2.θ
θ": accélération angulaire du mouvement :
t²
m (kg)
0,05
0,1
0,15
0,2
t (s)
11,75
8,26
6,75
5,84
M (N.m)
θ″ (rad/s)
J. θ″
3° Principe fondamental de la dynamique appliquée à un mouvement de rotation
LP ROMPSAY LA ROCHELLE
P CORMERAIS
Théorème fondamental de la dynamique
III EXERCICES
1° Une voiture de 800 kg démarre sur une route horizontale. Le moteur exerce une force motrice de 400 N.
Calculer:
a) l'accélération
b) la vitesse au bout de 10 secondes
c) la distance parcourue
d) sachant que les forces de frottements sont parallèles et opposées au déplacement, d'intensité 50 N, calculer la
nouvelle accélération.
2° Une voiture de 1000 kg démarre et est animé d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré,
d'accélération a = 1,5 m/s². Calculer :
a) la force motrice
b) Elle monte une portion de route à 10 % calculer alors son accélération avec la même force motrice.
c) Quelle devrait être la force motrice pour qu'elle monte cette pente à vitesse constante ?
d) Mêmes questions que b et c mais avec des forces de frottements de 100 N.
3° Un ascenseur de masse totale 1800 kg s'élève d'une hauteur h entre le rez de chaussée et un étage élevé d'une
tour.
a) La montée comporte 3 phases. Durant 2,5 s, le mouvement est uniformément accéléré. Les 6 secondes suivantes,
le mouvement est uniforme sur une distance de 42 m. Enfin, le mouvement est uniformément retardé durant 4 s
jusqu'à l'arrêt.
Déterminer la hauteur h. On prendra g = 10 m/s²
b) Calculer l'intensité de la tension exercée par le câble au cours de chacune des phases.
c) Calculer la puissance développée par cette force sur la deuxième phase. En déduire le travail de la force.
4° Un solide (S) de masse M = 950 g est entraîné par une masse m’ de masse inconnue. On suppose que le solide
glisse sur le rail horizontal sans frottements.
v (mm/s)
poulie
Soufflerie
S
2,5
2
m’
On a relevé le graphe de v =f(t).
V
1
0,5
a) Justifier que le mouvement du solide est uniformément varié.
0
1
2
3
4
t (ms)
b) Calculer l'accélération du mouvement en m/s².
c) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au solide V : P’ est le poids de V et T la traction du câble.
Après projection sur un axe vertical, démontrer que : T = m’. (g -a).
d) Appliquer le théorème au solide S soumis à la même force (la tension du câble). P est le poids de S, R est la
réaction du banc à coussin d'air sur S et T la traction du câble sur A. Après projection sur un axe horizontal, donner
la relation liant T et m.
m’
e) Démontrer à partir des deux relations précédentes l'expression de a en fonction de g : a =
.g
M + m'
En appliquant le principe fondamental de la dynamique au solide (S), calculer la tension du fil appliquée.
d) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse d'entraînement m ; en déduire sa valeur (prendre
pour g = 9,81 m/s² accélération de la pesanteur).
e) Calculer en fonction de M, m et g l'accélération du solide (S). Le résultat de la question (1) est-il vérifié ?
LP ROMPSAY LA ROCHELLE
P CORMERAIS
Théorème fondamental de la dynamique
5° Un volant pesant 2000 N, dont toute la masse peut être considérée comme concentrée sur une circonférence de
rayon 15 cm , a été lancé à la fréquence de rotation de 10 tr/s, par un moteur qui a mis une minute pour lui faire
acquérir cette vitesse à partir de l'arrêt. Sachant que le mouvement est circulaire uniformément accéléré et que
g = 10 m/s², calculer :
a) l'accélération angulaire
b) le moment d'inertie J
c) le moment de la force motrice appliquée au système.
d) l'accélération angulaire si les forces de frottements avaient un moment 1 N.m ?
6° Le moteur électrique d'une perceuse a un couple de démarrage de 0,1 N.m. La fréquence de rotation en régime
permanent est de 3000 tr/min. Le moment d'inertie des parties tournantes est égal à 10-4 kg m².
a) Déterminer l'accélération angulaire
b) Combien de temps faut-il au forêt pour atteindre la vitesse de régime.
c) Combien de tours le forêt aura t-il effectué ?
7° La masse d'un volant est de 1960 kg et sa masse peut être considérée comme répartie sur une circonférence de
rayon 50 cm. Il tourne à 1200 tr/min. Calculer :
a) son moment d'inertie J
b) à 40 cm de l'axe, on applique une force de freinage, d'intensité 2000 N, tangente à la circonférence, centrée sur
l'axe. Après combien de temps le volant s'immobilise t-il ?
c) Après combien de tours le volant s'immobilise t-il ?
8° Un cylindre de rayon R = 1,273 m et de masse M = 100 kg tourne à la fréquence de 120 tr/min.
On commence à freiner ce cylindre à l'aide d'un patin frottant contre sa périphérie.
On admet que le patin exerce une force constante de valeur F dont la droite d'action est tangente à la surface du
cylindre.
a) Calculer la vitesse angulaire ω du cylindre.
b) Calculer le moment d'inertie J du cylindre ; préciser l'unité.
c) Exprimer l'accélération angulaire du cylindre en de fonction de F.
9° Le rotor d'un moteur est assimilé à un cylindre
dont on donne les caractéristiques ; ρ désigne la masse volumique
a) Calculer le moment d'inertie du cylindre
R= 120 mm
h = 140 mm
b) Le rotor tourne à la fréquence de 600 tr/min d'un mouvement uniforme.
Calculer sa vitesse angulaire.
ρ = 7000 kg/m3
c) On coupe l'alimentation du rotor qui n'est donc soumis qu'au couple de frottement d'une valeur de 4N.m.
• Calculer en appliquant le principe fondamental de la dynamique l'accélération angulaire.
• Calculer le temps mis par le rotor pour être à l'arrêt.
10° Une meule de moment d'inertie J = 40 kg m² tourne à la fréquence de 1200 tr/min.
Après le freinage, elle s'arrête après avoir fait 450 tours. Calculer la valeur du couple de freinage.
M (10-3 N.m)
11° On considère un cylindre de masse M = 500 g
muni d'une gorge périphérique sur laquelle on enroule un fil.
On accroche à l'extrémité une masse m et le système se met en
rotation.
8
On représente la somme algébrique des moments des forces et des
couples appliquées au cylindre en fonction de a.
6
a) Indiquer ce que représente le coefficient directeur de la
droite obtenue.
4
2
b) En déduire le rayon du cylindre.
0
LP ROMPSAY LA ROCHELLE
10
20
30
40
50 α (rad/s²)
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Théorème fondamental de la dynamique
10 Moto au démarrage
Une moto de 155 kg est arrêtée. Au démarrage, elle est propulsée par une force constante dont la composante
horizontale a une intensité de 60 daN.
a. Quelle est la nature du mouvement de la moto lors du démarrage ? Pourquoi ?
b. Calculer l'accélération de la moto.
c. Quelle distance aura t elle parcouru au bout de 4 secondes ? Quelle sera alors sa vitesse ?
11 Sciage dans une carrière
Un câble d'acier assure le sciage de la pierre; il est entraîné par un moteur solidaire d'un volant d'inertie
de rayon 1,5 m et de masse 140 kg (en forme de jante).
Lorsqu'il n'est plus solidaire de l'arbre moteur, ce volant est freiné par deux patins diamétralement opposés : ils
exercent sur la jante un couple de forces tangentes à la jante et de valeur F = F' = 20 daN.
a. Calculer le moment d'inertie du volant.
b. Déterminer le moment du couple de forces qui s'exercent sur la jante. Quel est son signe ? Pourquoi ?
c. Appliquer le principe de la dynamique de rotation et déterminer la valeur de l'accélération angulaire du volant.
Pourquoi Est-elle négative ?
12 Freinage d'un rotor
Un rotor de moteur a une masse volumique de 7 400 kg / m.
a) Calculer la masse du rotor au décagramme près.
b) Calculer son moment d'inertie J.
c) il tourne à la vitesse angulaire de 3 000 tr/ min. L’alimentation est coupée. Déterminer l'accélération angulaire du
rotor lors du freinage, sachant que le couple des forces de frottement a une valeur de - 5 N.m.
Les deux solides A et B sont en mouvement rectiligne uniformément accéléré d'accélération a . Appliquer le
principe fondamental de la dynamique au solide B : -P est le poids de B et i la traction du câble.
Après projection sur un axe vertical, démontrer que
T = m'. (g -a).
b. Appliquer le théorème au solide A soumis à la même force (la tension du câble). le, est le poids de A, R est la
réaction du banc à coussin d'air sur A et T la traction du câble sur A. Après projection sur un axe horizontal, donner
la relation liant T et m.
m’
c. Démontrer à partir des deux relations précédentes l'expression de a en fonction de g : a =
.g
m + m'
14 Démarrage d'un moteur
Un tachymètre mesure la fréquence de rotation du rotor d'un moteur lors de son démarrage.
Les résultats obtenus sont représentés dans un graphique (graphique simplifié).
a. Déterminer la vitesse angulaire maximale atteinte par le rotor.
b. Quelle est la durée de la phase d'accélération du rotor ? Déterminer graphiquement la valeur a de l'accélération.
c. Le moment du couple moteur des forces électromagnétiques appliquées sur le rotor est A = 44 N.m.
M Calculer le moment d'inertie du rotor.
d. On fixe sur l'arbre moteur un volant d'inertie en forme de jante, de masse 40 kg et de diamètre 80 cm.
M Déterminer le moment d'inertie de la « chaîne cinématique »ainsi constituée (les moments d'inertie
s'additionnent).
e. En déduire la nouvelle valeur de l'accélération angulaire du rotor au démarrage.
LP ROMPSAY LA ROCHELLE
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Théorème fondamental de la dynamique