Cours et activités

CHAPITRE
Racines carrées
Objectifs du chapitre.
Énigme du chapitre.
On remarque que :
s
r
13 +
r
q
3+
7+
7+
q
3+
q
3+
5
p
p
p
1=2
1=3
1=4
En vous inspirant de ceci, comment obtenir 15
grâce à des racines imbriquées ?
— Savoir que,
p si a désigne un nombre
positif, a est le nombre positif dont
lepcarré est p
a et utiliser les égalités :
( a )2 = a , a 2 = a .
— Sur des exemples numériques, où a et
b sont des
pa les
p nombres
p a utiliser
p ppositifs,
p
égalités ab = a b,
=
(b
b
b
non nul).
I/ Racine carrée d’un nombre positif
Activité A. Racine carrée d’un nombre positif
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
4
a
a2
2
1 0 1 2 3 4
2. Quels nombres a pour carré :
(a)
4
(b)
16
(c)
0
(d)
0;01
(e)
9
25
3. Un nombre strictement négatif peut-il être le carré d’un nombre ? Justifier.
4. Définition : La racine carrée d’un nombre a est le nombre positif dont le carré est égal
p
à a. Ce nombre est noté a.
Recopier et compléter (il peut y avoir deux possibilités) :
p
(p3)) = : : :
(c) 3 = : : :.
p
5. Comment peut-on vérifier que 13;69 = 3;7 ?
p
6. Peut-on affirmer que 5 = 2;236067977 comme l’affiche la calculatrice ?
7. Recopier et compléter par les signes « = » ou « » ?
p
p
(a) 7 : : : 2;645
(b) 6;110784 : : : 2;472
(a)
3 = : : :, donc p: : : = 3.
2
2
(b)
2
Définition
Soit a un nombre positif. Le nombre positif dont le carré est égal à
p
du nombre a. On note ce nombre a.
Remarque
Le symbole
p est appelé radical.
3 = 9 donc p9 q= 3.
= , donc =
Exemples
— est un nombre positif et 2 2
— 32 est un nombre positif et 23
p
p
—
;
.
3
1=1 0=0
9
4
9
4
3
2
.
Remarque
ATTENTION ! La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
Propriétés
Pour tout nombre
a positif,
p
a2 = a
et
(pa) = a:
2
a est appelé la racine carrée
Exemples
p
— p;
;
—
4 51 = 4;51 ;
( 0 473) = 0;273.
2
2
Remarque
La racine carrée d’un nombre peut ne posséder ni écriture décimale exacte, ni écriture fractionnaire.
Exemple
p
ne peut pas s’écrire sous la forme d’un nombre décimal ou p
d’une fraction.
On peut cependant donner une valeur arrondie de ce nombre
; (arrondi au centième).
7
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
7 2 65
II/ Racines carrés et opérations
1) Racines carrées et multiplication
Activité B. Produit de deux racines carrés
Partie A : Conjecture
On considère le triangle
P OM suivant :
P
6
M
H
O
9
4
1. Quelle est l’aire du triangle
2. Démontrer que
P OM ?
P OM est un triangle rectangle.
3. Calculer l’aire de ce triangle d’une deuxième manière.
5. Recopier et compléter le tableau suivant :
a
b
9 16
100 64
25 4
q
a
b
p
p
6. Emettre une conjecture.
Partie B : Démonstration
a et b sont deux nombres positifs.
1. Montrer que
2
a
b
=
2. Que dire du signe de
3. En déduire que
q
Remarque
Dans un produit, le signe
a
b
a
b
=
.
a
?
p
p .
b
a
b
peut parfois être sous-entendu.
a
b
p
117
p p52 sous la
117 52 d’une
p
4. En t’aidant des résultats trouvés dans les questions 1 et 3, écrire
p
forme c où c est un nombre entier. En déduire un moyen de calculer
autre manière.
Exemple
p
2 6 = 6 p2 = 6p2.
Propriété
p p pa b.
Pour tous nombres a et b positifs, a b
Autrement dit, le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit.
=
Exemple
p p
3 12 = p3 12 = p36 = 6
Faire les exercices 6 2) Racines carrées et division
Activité C. Quotient de deux racines carrées
Partie A : Conjecture
On considère la figure suivante constituée des triangles
B
CAB et CA0 B 0 .
A
C
A
1. Calculer la valeur de
AB
A0 B 0
0
B
0
.
2. En utilisant la définition d’une racine carrée, écrire le résultat précédent sous la forme
où a et b sont des entiers positifs avec b 6
.
0
0
3. Calculer AB et A B .
p32
p72 .
4. Comparer les deux écritures de AAB
0 B 0 et trouver un moyen pour simplifier
5. Recopier et compléter le tableau suivant :
=0
a
b
16 4
100 64
81 9
p
ab
pa pb
6. Emettre une conjecture.
Partie B : Démonstration
a et b sont deux nombres positifs.
(p p ) =
a b 2 a b.
1. Montrer que
p p
2. Que dire du signe de a b ?
p
pa pb .
3. En déduire que a b
=
Propriété
q
p
a
Pour tous nombres a et b positifs, avec b 6
, pba
.
b
Autrement dit, le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient.
=0
Exemple
s
p
p
p18 = 18
=
2 9 = 3.
2
Faire les exercices 7 =
q
a
b
3) Racines carrées et addition
Activité D. Racine carrée et addition
a = 9 et b = 16.
p p
1. Calculer a + b.
p
2. Calculer a + b.
Soit
3. Les résultats des question 1. et 2. sont-ils égaux ?
4. Peut-on conjecturer une propriété similiaire à celles des activités B et C ?
Remarque
Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées.
Exemple
p
— p
—
— Ainsi
36 + p64 =p6 + 8 ;
36 +p64 = p100 =p10 ;
36 + 64 6= 36 + 64.
Faire les exercices 8 9 10 F
Problèmes :
Faire les exercices 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F
Vu au brevet :
Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F