Troisième feuille d’exercices. bXc Sur le thème des nombres complexes, des fonctions trigonométriques, et des fonctions hyperboliques. Exercice 1. Soit z = a +i b un nombre complexe non nul. Calculer son inverse en fonction de a et de b. Exercice 2. Soit U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Soit z ∈ U : est-il a ? Indication : prendre toujours possible de trouver un nombre réel a ∈ R tel que z = 1+i 1−i a a = tan(θ/2). Exercice 3. Soient x, y, z trois nombres complexes de module 1 tels que x + y + z = 1. 1. Rappeler la définition de j et ses propriétés. 2. Montrer que l’on a nécessairement x = j y = j 2 z ou bien x = j 2 y = j z. Exercice 4. 1. Soit z un nombre complexe non nul. montrer que z admet deux racines carrés. 2. Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré 2 : P (X ) = a X 2 +bX +c, où a 6= 2. Montrer que P admet deux racines et exprimez-les en fonction de a, b, c. 3. Montrer que si z 1 et z 2 sont les deux racines d’un polynôme à coefficients complexe de degré 2, alors z 1 z 2 = c/a et z 1 + z 2 = −b/a. 4. Soient p et s deux nombres complexes. Montrer que les seuls nombres complexes z 1 et z 2 qui vérifient s = z 1 + z 2 et p = z 1 z 2 sont les racines du trinôme z 2 − sz + p. 5. Résoudre dans C l’équation z 2 − (1 + i )z + 2 + 2i = 0. ´³ ´ ³ −b−δ Réponse : P (z) = a z − −b+δ z − où δ2 = ∆. 2a 2a Solution de l’équation : z 1 = 1 − i et z 2 = 2i . Exercice 5. Montrer que l’ensemble des points d’une droite du plan peut toujours s’écrire comme l’ensemble des solutions d’une équation de la forme az + az = b, avec a ∈ C \ {0} et b ∈ R. 1 Q Q Troisième feuille. Exercice 6. Montrer la formule suivante : tan(a + b) = t an(a) + tan(b) 1 − tan(a) tan(b) À l’aide de cette formule, simplifier l’expression suivante : arctan(a) + arctan(b) Exercice 7. Montrer la formule suivante : sin(p) + sin(q) = 2 sin ³p +q ´ 2 sin ³p −q ´ 2 Trouver les solutions de l’équation suivante : sin(7θ) + sin(θ) = sin(4θ) Exercice 8. Soient a, b et c trois nombres complexes distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. a, b, c sont alignés. 2. le rapport c−a b−a est un nombre réel. 3. ∃k ∈ Z tel que θ1 = θ2 + kπ, où θ1 est un argument de c − a et θ2 est un argument de b − a. Utiliser cette propriété pour trouver tous les nombres complexes z tels que z, z 2 et z 4 sont alignés. Exercice 9. Calculer la quantité suivante : Ã ! n n X cos(ni ) i =0 i Exercice 10. Soient a et b deux réels. Soit z = a + i b ; on note r le module de z et θ son argument (θ ∈ [0, 2π]). Montrer que pour tout réel x, on a l’égalité suivante : a cos(x) + b sin(x) = r cos(x − θ) Exercice 11. En utilisant l’exercice précédent, trouver tous les x qui vérifient l’égalité : p 3 cos(x) + sin(x) = 1 Réponse : x = π2 + 2kπ ou x = − π6 + 2kπ. Exercice 12. On veut montrer que cos(nx) s’écrit comme un polynôme en ¡ cos(x),¢ c’està-dire qu’il existe un polynôme à coefficients réels P tel que cos(nx) = P cos(x) . 1. Questions pouvant être utiles pour la suite. (a) Quelle était la nationalité d’Abraham de Moivre ? (b) À quelle époque a vécu Isaac Newton ? 2. Développer cos(nx). 2 Q Q Troisième feuille. 3. En utilisant la question précédente et le fait que sin(x)2 + cos(x)¡2 = 1, montrer ¢ qu’il existe un polynôme P à coefficients réels tel que cos(nx) = P cos(x) . 4. Montrer que ce polynôme est de degré n et calculez son coefficient dominant en utilisant une astuce bien connue. 5. (très difficile) Utiliser les résultats précédents pour trouver tous les r ∈ Q tels que cos(r π) ∈ Q. Le polynôme construit à l’exercice précédent s’appelle le n-ème polynôme de Tchebychev. Exercice 13 (Polynômes de Tchebyshev). Soit t ∈ R et n ∈ N. On définit deux nombres complexes D n (t ) et F n (t ) par les formules suivantes : D n (t ) = n X e i kt F n (t ) = et k=−n p 1 X D k (t ) n + 1 k=0 1. Montrer que : D n (t ) = e −i nt 2n X e i pt p=0 2. Utilisez la question précédente pour montrer que : ¢ ¢ ¡¡ sin 1 + 12 x ¡ ¢ D n (t ) = sin x2 (indication : série géométrique et factorisation habile) 3. En utilisant la question précédente, en multipliant dénominateur et numérateur par sin(x/2), et en utilisant à bon escient votre savoir trigonométrique, montrer que : Ã ¡¡ ¢ ¢ !2 sin n+1 x 2 ¡x¢ F n (t ) = sin 2 La fonction D n est appelée noyau de Dirichlet ; la fonction F n est appelée noyau de Féjer. On peut notamment les utiliser pour montrer la célèbre formule suivante : 1 π2 = 2 6 n=1 n +∞ X Exercice 14. On définit les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique comme suit : cosh(x) = e x + e −x 2 sinh(x) = e x − e −x 2 tanh(x) = sinh(x) cosh(x) 1. Calculez les dérivées de ces trois fonctions. 2. Étudiez le sens de variation des deux premières et tracez grossièrement leur graphe. 3. montrer que 1 = cosh(x)2 − sinh(x)2 . Exercice 15. On pose H = {(x, y) ∈ R × R : x ≥ 0, y ≥ 0, x y = 1}. 3 Q Troisième feuille. Q 1. Tracez H . 2. Montrer que H = {(e t , e −t ) : t ∈ R+ }. On dit que la fonction η : R+ → R2 définie par η(t ) = (e t , e −t ) est une paramétrisation de H . ¡ x+y x−y ¢ 3. Soit Φ : R2 → R2 définie par Φ(x, y) = 2 , 2 . On pose K = {(X , Y ) ∈ R2 : X > 0, X 2 − Y 2 = 1}. Montrer que Φ(H ) = K . 4. Tracez K et déterminez ses deux asymptotes. 5. Montrer que la fonction χ : R+ → R2 définie par ξ(t ) = (cosh(t ), sinh(t )) est une paramétrisation de K . Ainsi, les fonctions hyperboliques jouent pour K le même rôle que jouent les fonctions cos et sin pour le cercle unité. Exercice 16. Montrer que la fonction tanh réalise une bijection de R dans ] − 1, 1[. On note argth sa bijection réciproque. Montrer que ∀x ∈]−1, 1[, on a l’expression suivante : µ ¶ 1 1+x argth(x) = ln 2 1−x Montrer enfin que : ¶ 1 1 + 3 tanh(x) = x + ln(2) argth 3 + tanh(x) 2 Exercice 17 (L’inégalité arithmético-géométrique : ENS, 2008). Soient n > 1 un entier naturel et a 1 , ..., a n des nombres réels positifs. L’inégalité arithmético-géométrique se formule de la façon suivante : ¡ ¢ 1 a 1 + ... + a n (1) a 1 × ... × a n n ≤ n L’objectif du problème est de prouver cette inégalité, et de la généraliser aux nombres complexes. µ 1. Dans cette question, on montre l’inégalité 1. (a) Montrer l’inégalité lorsque n = 2. (b) Montrer l’inégalité lorsque n = 2k , où k ≥ 1. (c) En déduire le cas général. 2. On propose maintenant l’extension suivante au cas complexe. Soient n ≥ 1 un entier naturel et z 1 , ..., z n des nombres complexes non nuls. On les écrira sous forme polaire z i = r j e i θi , avec r i > 0 et l’on supposera qu’il existe une constante φ ∈ [0, π2 [ telle que θi ∈ [−φ, φ], ∀i ≤ n. On désire montrer l’inégalité suivante : ¯ z + ... + z ¯ 1 ¯ 1 n¯ (2) cos(φ) |z 1 × ... × z n | n ≤ ¯ ¯ n (a) Donner un exemple de tels points z 1 , ..., z n en les représentant dans un repère. (b) Montrer que, pour tout nombre complexe z = a + i b, on a les inégalités a ≤ |z| et b ≤ |z|. (c) Prouver l’extension. Indication pour la question 1-c : en posant k la plus petite valeur entière telle que n ≤ 2k , il faut se ramener à l’inégalité prouvée à la question précédente en rajoutant des termes qui ne doivent pas modifier l’inégalité. 4