Corrigé de la série 2

Cours d’Algèbre
Prof. E. Bayer Fluckiger
Semestre d’automne 2012
1 octobre 2012
Corrigé de la série 2
Exercice 1.
(a) On a 28 = 24 · 7 et 55 = 5 · 11. Comme 28 et 55 sont premiers entre eux,
le plus petit commun multiple de 28 et 55 est 28 · 55 = 1540.
(b) On a 36 = 22 · 32 et 81 = 34 . Donc le plus petit commun multiple de 36
et 81 est 22 · 34 = 324.
Exercice 2.
(a) On a 245 = 5 · 72 . Tout diviseur de 245 est de la forme : 5a1 · 7a2 où
0 ≤ a1 ≤ 1 et 0 ≤ a2 ≤ 2. Donc les diviseurs de 245 sont :
50 · 70 = 1,
50 · 71 = 7,
50 · 72 = 49,
51 · 70 = 5,
51 · 71 = 35,
51 · 72 = 245.
On a 360 = 23 · 32 · 5. Tout diviseur de 360 est de la forme : 2a1 · 3a2 · 5a3 où
0 ≤ a1 ≤ 3 et 0 ≤ a2 ≤ 2 et 0 ≤ a3 ≤ 1. Donc les diviseurs de 360 sont :
20 · 30 · 50 = 1,
21 · 30 · 50 = 2,
20 · 30 · 51 = 5,
21 · 30 · 51 = 10,
20 · 31 · 50 = 3,
21 · 31 · 50 = 6,
20 · 31 · 51 = 15,
21 · 31 · 51 = 30,
20 · 32 · 50 = 9,
21 · 32 · 50 = 18,
20 · 32 · 51 = 45,
21 · 32 · 51 = 90,
2
22 · 30 · 50 = 4,
23 · 30 · 50 = 8,
22 · 30 · 51 = 20,
23 · 30 · 51 = 40,
22 · 31 · 50 = 12,
23 · 31 · 50 = 24,
22 · 31 · 51 = 60,
23 · 31 · 51 = 120,
22 · 32 · 50 = 36,
23 · 32 · 50 = 72,
22 · 32 · 51 = 180,
23 · 32 · 51 = 360.
(b) En sachant que 94 539 375 000 = 23 ·32 ·57 ·75 , on conclut que tout diviseur
de 94 539 375 000 est de la forme : 2a1 · 3a2 · 5a3 · 7a4 où
0 ≤ a1
0 ≤ a2
0 ≤ a3
0 ≤ a4
≤ 3,
≤ 2,
≤ 7,
≤ 5.
Donc 94 539 375 000 a 4 · 3 · 8 · 6 = 576 diviseurs.
Exercice 3.
(a) Supposons que n est un carré parfait. Donc il existe un entier naturel m
tel que n = m2 . On sait que m s’écrit comme un produit de nombres
premiers. Ainsi
m = q1f1 q2f2 . . . qlfl
où les qi sont des nombres premiers distincts et les fi sont des nombres
naturels. Puisque n = m2 , on a
pe11 pe22 . . . pekk = q12f1 q22f2 . . . ql2fl .
Comme la factorisation en produit de nombres premiers est unique à
l’ordre près, on en déduit que ei est pair pour tout 1 ≤ i ≤ k.
Réciproquement, si ei est pair pour tout 1 ≤ i ≤ k, alors ei est de la
forme 2fi avec fi ∈ N pour tout i. On pose
m = pf11 pf22 . . . pfkk .
On a alors
2fk
1 2f2
= pe11 pe22 . . . pekk = n.
m2 = p2f
1 p2 . . . pk
Donc n est un carré parfait.
3
(b) Tout diviseur de 94 539 375 000 qui est un carré parfait est de la forme :
22a1 · 32a2 · 52a3 · 72a4 où
0 ≤ 2a1
0 ≤ 2a2
0 ≤ 2a3
0 ≤ 2a4
≤ 3,
≤ 2,
≤ 7,
≤ 5.
Donc il y a
2
2
4
3
choix
choix
choix
choix
possibles
possibles
possibles
possibles
pour
pour
pour
pour
a1 ,
a2 ,
a3 ,
a4 .
Par conséquent, 94 539 375 000 a 2 · 2 · 4 · 3 = 48 diviseurs qui sont des
carrés parfaits.
Exercice 4. Soit n un nombre impair. n est donc de la forme 2k + 1 avec k ∈ Z.
On a
n2 − 1 = (2k + 1)2 − 1 = (4k 2 + 4k + 1) − 1 = 4k(k + 1).
Comme k(k + 1) ∈ Z, on en déduit que n2 − 1 est divisible par 4.