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Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Section de mathématiques
Prof. E. Bayer Fluckiger
Introduction à la théorie algébrique des nombres
Cours de 2ème cycle
semestre d’été 2003
Série 2
19.3.03
Exercice 1 (Fermat pour n = 2)
Soit x, y, z ∈ Z une solution de l’équation
x2 + y 2 = z 2
(1)
avec x, y, z strictement positifs et (x, y) = 1.
(a) Montrer que x ou y est pair.
[Regarder des congruences mod 4].
Supposons que x soit pair. On va montrer que
x = 2ab ,
y = a2 − b 2 ,
z = a2 + b 2
(2)
pour
a, b ∈ Z ,
a 6≡ b
(mod 2) ,
(a, b) = 1 ,
a>b>0.
(3)
De plus, il y a une bijection entre les différentes valeurs de a, b et les différentes valeurs de x, y, z.
(b) Montrer que 21 (z − y) et 12 (z + y) sont entiers et premiers entre eux.
(c) Déduire que 21 (z + y) = a2 et 12 (z − y) = b2 pour a, b ∈ Z et vérifier les équations dans (2).
Déduire que a, b satisfont les conditions (3).
(d) Soient a, b ∈ Z vérifiant les conditions (3). Montrer que x = 2ab, y = a2 − b2 , z = a2 + b2
sont strictement positifs, satisfont (1) et (x, y) = 1.
(e) Vérifier que les valeurs de a, b sont déterminées uniquement par x, y donnés.
Exercice 2 (Corps finis)
Soit p un nombre premier et q = pn pour n ∈ N. Soit Fp une clôture algébrique de Fp , c’est-à-dire,
une extension de Fp où tout polynôme avec des coefficients dans Fp et degré strictement positif
admet une racine. On va montrer qu’il existe un sous-corps unique Fq de Fp avec q éléments.
Il est l’ensemble des racines du polynôme f (X) = X q − X. De plus, tous les corps finis avec q
éléments sont isomorphes à Fq .
(a) Montrer que les racines de f (X) dans Fp forment un sous-corps Fq de Fp .
[Utiliser Exercice 3(a) de la Série 1].
(b) Montrer que toutes les racines de f (X) sont simples [regarder f 0 ] et en déduire que |Fq | = q.
(c) Soit K un sous-corps de Fp avec q éléments. Montrer que K ⊆ Fq [regarder K ∗ ] et conclure
que K = Fq .
(d) Soit K un corps fini. Montrer que K contient un sous-corps Kp , pour p premier, qui est
isomorphe à Fp . [Utiliser Exercice 1 de la Série 1].
(e) Montrer que K est un Kp -espace vectoriel sur Kp de dimension n ≥ 1 et en déduire que
|K| = pn .
(f) On admet que toutes les clôtures algébriques de Fp sont isomorphes. Déduire que K est
isomorphe à Fq , pour q = pn = |K|.
Exercice 3 (Le corps F4 )
Soit F4 le corps fini sur F2 avec 4 éléments.
(a) Pour quel polynôme irréductible f (X) ∈ F2 [X] a-t-on F4 = F2 [X]/(f ) ?
[Regarder les facteurs de X 4 − X sur F2 ].
(b) En déduire une expression des éléments de F4 .