Série 2

Introduction à la théorie des nombres.
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 6
27 février 2012
Série 2
Exercice 1.
26
(1) Calculer les symboles de Legendre 19
et
(2) (a) Montrer que l’entier
1093
est premier.
43
31
(b) Calculer 1093 et 1093 .
41
19
.
Exercice 2. (corps finis)
(1) Rappeler pourquoi Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
(2) Si p est un nombre premier, on note Fp le corps Z/pZ.
(a) Soit K un corps fini. Montrer que :
(i) la caractéristique de K est un nombre premier ;
(ii) le corps K contient Fp .
(b) En déduire que tout corps fini est de cardinal pn , pour un certain
nombre premier p et un certain entier positif n.
(3) Réciproquement, soit p un nombre premier et soit q = pn une puissance
de p. On note L le corps de décomposition du polynôme X q − X ∈ Fp [X].
(a) Soit M l’ensemble des racines du polynôme X q − X dans L. Montrer
que M est un corps qui contient Fp , et donc M = L.
(b) Montrer que le corps M contient exactement q éléments.
(c) Montrer que tout corps fini à q éléments est isomorphe à M .
Notation.
Soit q = pn une puissance d’un nombre premier p avec n ≥ 1 un entier. On
note Fq le corps fini à q éléments, unique à isomorphisme près.
Exercice 3.
Soient p un nombre premier, et K un corps fini de caractéristique p.
(1) Pour tous a, b ∈ K, montrer que (a + b)p = ap + bp .
(2) En déduire que l’application F : x 7−→ xp est un automorphisme du corps
K dont les éléments fixes sont précisément les éléments du sous-corps Fp .
L’application F est appelée automorphisme de Frobenius.