Théorie des Nombres - TD8 Entiers algébriques - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie
Année 2011-2012
Master de mathématiques 1
Module MM020
Théorie des Nombres - TD8
Entiers algébriques, anneaux d’entiers
Exercice 1 :
a) Parmi ces nombres algébriques, lesquels sont des entiers algébriques ?
√
√ √
√
√
√
√ √
3+ 5
3 + 7 1 + 3 10 + 3 100 1 + 19 1 + i
3+2 6
√ ,
,
,
,
, √ .
2
2
3
2
1− 6
2
b) Si a, b ∈ Z\{0; 1} sont des entiers distincts
sans facteur carré, et si n ∈ N∗ , trouver une condition
√
√
nécessaire et suffisante pour que
a+ b
n
soit un entier algébrique.
Exercice 2 : Soit une unité d’un corps quadratique. Montrer que est de norme 1 si et seulement
si il existe un entier γ de ce corps quadratique tel que = γγ0 , où γ 0 est le conjugué de γ.
Exercice 3 : Soit z ∈ C∗ un entier algébrique. On note f ∈ Q[X] son polynôme minimal.
Montrer que z1 est un entier algébrique si et seulement si f (0) = ±1. Montrer également que cela
équivaut à z1 ∈ Z[z].
Exercice 4 : Soit α un entier algébrique.
a) On suppose que tous les conjugués de α sont de module strictement inférieur à 1. Montrer que
α = 0.
b) On suppose maintenant que les conjugués de α sont de module inférieur ou égal à 1. Montrer
que α est une racine de l’unité.
[Indication : on pourra majorer la valeur absolue des coefficients du polynôme minimal de αr ,
pour tout r ≥ 1.]
Exercice 5 : Soit P ∈ Z[X] un polynôme irréductible unitaire de degré n. Soit θ une racine de P ,
K := Q(θ) et DK le discriminant de K.
a) Montrer que le discriminant de (1, θ, . . . , θn−1 ) est égal au discriminant D(P ) de P . Exprimer
ce nombre en fonction de la norme NK/Q (P 0 (θ)).
b) Si f désigne l’indice de Z[θ] dans ZK , montrer que D(P ) = f 2 DK .
Exercice 6 : Montrer que le discriminant du polynôme P (X) = X n + aX + b, avec a, b ∈ Q, vaut
n(n−1)
D(P ) = (−1) 2 (nn bn−1 + (1 − n)n−1 an ). Vérifier que l’on retrouve les formules usuelles pour n = 2
et n = 3.
n(n−1) Q
0
[Indication : on pourra écrire que D(P ) = (−1) 2
i P (xi ), où les xi sont les racines de P , puis
−1
utiliser les fonctions symétriques élémentaires en les xi ].
Exercice 7 : Calculer l’anneau des entiers et le discriminant des corps de nombres suivants :
√
a) Q( 3 5).
√
b) Q( 3 175).
√
c) Q(i, 2).
√ √
Exercice 8 : Soient m, n ∈ Z \ {0; 1} distincts sans facteur carré. On note K := Q( m, n) et
mn
k := pgcd(m,n)
2 . L’objectif de cet exercice est de calculer ZK .
1
√ √ √
a) Montrer que (1, m, n, k) est une Q-base de K.
b) Soit α ∈ K. Montrer que α ∈ ZK si et seulement si TrK/Q(√m) (α) et NK/Q(√m) (α) sont des
√
entiers algébriques dans Q( m).
c) On suppose que
m ≡ 3 [4] et n ≡ 2 [4]. Montrer que tout élément α ∈ ZK s’écrit α =
√
√
√
a+b m+c n+d k
2
avec a, b, c, d ∈ Z. Puis montrer que a et b sont pairs, et que c ≡ d [2]. En
déduire qu’une Z-base de ZK est donnée par
√ !
√
√ √
n+ k
1, m, n,
.
2
d) On suppose que
m ≡ 1 [4] et n ≡ 2 ou 3 [4]. Montrer que tout élément α ∈ ZK s’écrit α =
√
√
√
a+b m+c n+d k
avec a, b, c, d
2
Z-base de ZK est donnée par
∈ Z. Puis montrer que a ≡ b [2] et c ≡ d [2]. En déduire qu’une
√ !
√
√
n+ k
1+ m √
, n,
.
1,
2
2
√
e) On suppose que m ≡ n ≡ 1 [4]. Montrer que tout élément α ∈ ZK s’écrit α = a+b
avec a, b, c, d ∈ Z de même parité. En déduire qu’une Z-base de ZK est donnée par
√ !
√
√
√
1 + m 1 + n (1 + n)(1 + k)
1,
.
,
,
2
2
4
√
√
m+c n+d k
4
f) Conclure en récapitulant dans tous les cas possibles quel est l’anneau ZK .
Exercice 9 : Soient m, n√∈ Z \ {0; 1} distincts
sans facteur carré, tels que m ≡ n ≡ 1 [8]. On note
√
√ √
1+ m
1+ n
K := Q( m, n), α := 2 et β := 2 .
a) Montrer que ZK = Z[α, β].
b) Montrer que l’anneau ZK /2ZK est isomorphe à l’anneau A := F2 [X, Y ]/(X 2 − X, Y 2 − Y ).
c) Montrer qu’il existe au moins quatre morphismes d’anneaux distincts A → Z/2.
d) Montrer que pour tout polynôme P ∈ F2 [X], A n’est pas isomorphe à F2 [X]/(P ).
e) Montrer qu’il n’existe pas d’entier x ∈ ZK tel que ZK = Z[x].
Exercice 10 : Soit K/Q une extension finie de degré n, soit u ∈ ZK tel que K = Q(u). Soit p un
nombre premier tel que le polynôme minimal de u sur Q soit d’Eisenstein en p. L’objectif de l’exercice
est de montrer que p ne divise pas l’indice de Z[u] dans ZK .
a) Montrer que
un
p
∈ ZK et que p2 ne divise pas N (u).
b) Supposons que p|[ZK : Z[u]].
i) Montrer qu’il existe x ∈ ZK \ Z[u] tel que px ∈ Z[u]. En déduire qu’il existe b0 , . . . , bn−1 ∈ Z
n−1
non tous divisibles par p tels que x = b0 +···+bpn−1 u .
ii) Notons r le plus petit entier tel que br n’est pas divisible par p. Montrer que y :=
est dans ZK .
iii) Montrer que z :=
br un−1
p
br ur +···+bn−1 un−1
p
∈ ZK .
iv) Obtenir une contradiction en calculant la norme de z
√
√
c) Si q est une puissance de p et K := Q( q p), montrer que ZK = Z[ q p].
Exercice 11 : Soit d ∈ Z, d > 1 sans facteur cubique. Notons θ :=
déterminer l’anneau des entiers et le discriminant de K sur Q.
2
√
3
d et K := Q(θ). On cherche à
a) Montrer que Z[θ] est de discriminant −27d2 .
b) On écrit d = ab2 , avec a, b ∈ N sans facteur carré. On pose θ0 :=
et calculer discZ (1, θ0 , θ02 ).
√
3
a2 b. Montrer que K = Q(θ0 )
c) Montrer que (1, θ, θ0 ) est une Q-base de K et calculer son discriminant.
d) On note f , f 0 et f 00 les indices respectifs de Z[θ], Z[θ0 ] et Z[θ, θ0 ] dans ZK .
i) Montrer que (a, f ) = 1.
[Indication : on pourra utiliser l’exercice 10.]
ii) En déduire que si 3|a, alors DK est divisible par 27a2 , et que sinon, DK est divisible par
a2 .
iii) Montrer que (b, f 0 ) = 1.
iv) En déduire que si 3|b, alors DK est divisible par 27b2 , et que sinon, DK est divisible par b2 .
v) Montrer que a2 b2 |DK |27a2 b2 et que DK < 0.
e) Montrer que si 3|d, alors DK = −27a2 b2 et (1, θ, θ0 ) est une base de ZK .
f) Montrer le même résultat si d 6≡ ±1 [9].
[Indication : on pourra montrer que le polynôme minimal de θ − d est d’Eisenstein en 3.]
g) On suppose d ≡ 1 [9]. On pose α :=
1+θ+θ2
.
3
i) Montrer que α ∈ ZK et calculer son polynôme minimal.
ii) En déduire que 3|f 00 , puis que DK = −3a2 b2 .
iii) Montrer que (α, θ, θ0 ) est une Z-base de ZK .
h) Si d ≡ −1 [9]. On pose α0 :=
1−θ+θ2
.
3
Montrer que (α0 , θ, θ0 ) est une Z-base de ZK .
i) Conclure en décrivant tous les cas possibles.
Exercice 12 :
a) Montrer qu’un anneau factoriel est intégralement clos.
b) Soit A un anneau intégralement clos et K son corps des fractions. Soit P ∈ A[X] unitaire.
Supposons que P = QR dans K[X], avec Q, R unitaires. Montrer que Q, R ∈ A[X].
[Indication : on pourra considérer les racines de Q et R dans une clôture algébrique de K.]
c) Soit A un anneau intégralement clos de corps des fractions K. On souhaite montrer que A[X1 , . . . , Xn ]
est intégralement clos.
i) Vérifier que K(X) est le corps des fractions de A[X].
Pour la suite, on fixe f ∈ K(X) entier sur A[X].
ii) Montrer que f ∈ K[X].
iii) Soit P (Y ) = Y n + pn−1 (X)Y n−1 + · · · + p0 (X) ∈ A[X][Y ] un polynôme unitaire annulant
f . Montrer que pour r ∈ N, le polynôme P1 (Y ) := P (Y + X r ) est dans A[X][Y ], unitaire
en Y , et annule f1 := f − X r .
iv) Montrer que pour r suffisamment grand, le coefficient constant (en Y ) de P1 (Y ) est unitaire
en X et qu’il est égal au produit de −f1 par un polynôme de K[X].
v) En déduire que −f1 ∈ A[X], puis que f ∈ A[X]. En déduire que A[X] est intégralement
clos.
vi) Montrer que A[X1 , . . . , Xn ] est intégralement clos.
Exercice 13 : Soit p un nombre premier impair et K := Q(ζp ), où ζp désigne une racine primitive
p-ième de l’unité.
a) Calculer la trace d’un élément de K.
3
b) Montrer que la norme de 1 − ζp est égale à p.
c) Soit α = a0 + a1 ζp + · · · + ap−2 ζpp−2 ∈ ZK (ai ∈ Q).
i) En étudiant αζp−i − αζp , montrer que pour tout i, bi := pai est un entier relatif.
ii) Posons λ := 1 − ζp . Montrer que pα s’écrit pα = c0 + c1 λ + · · · + cp−2 λp−2 avec ci ∈ pZ.
[Indication : on pourra montrer le résultat par récurrence sur i, en montrant d’abord que
p ∈ λp−1 ZK .]
iii) Montrer que pour tout i, ai ∈ Z. En déduire que ZK = Z[ζp ].
iv) Montrer que disc(K) = (−1)
p−1
2
pp−2 .
4