opérations sur les nombres relatifs

C HAPITRE I
O PÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
∗
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
N1
Calculer une somme et une différence de nombres relatifs ∗
N2
Calculer un produit de nombres relatifs ∗
N3
Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres relatifs ∗
N4
Ecrire des programmes de calcul portant sur des nombres relatifs
N5
Savoir organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec
les nombres relatifs
N6
Savoir organiser et effectuer à la calculatrice une succession de calculs avec les nombres relatifs
Evaluations
: cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.
Légende du tableau de compétences :
4ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 1
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Compétence N1 : Somme et différence de nombres relatifs.
Additionner des nombres relatifs
• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
– on conserve le signe commun aux deux termes de la somme,
– on additionne les distances à zéro.
• Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
– on conserve le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro,
– on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Exemples :
Ï (−5) + (−11) = −16
Ces deux nombres sont négatifs, donc la somme sera un nombre négatif. La somme de leurs distance à
zéro est égale à 5 + 11 = 16. La somme de ces deux nombres est donc bien −16.
Ï (−3) + (+4, 9) = +1, 9
Ces deux nombres sont de signes contraires, mais (+4, 9) a la plus grande distance à zéro : la somme sera
donc positive. De plus la différence des distances à zéro est égale à 4, 9 − 3 = 1, 9. La somme de ces deux
nombres est donc bien +1, 9.
Opposé d’un nombre relatif
• Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsque leur somme est égale à zéro.
• Pour déterminer l’opposé d’un nombre relatif, il suffit d’en changer le signe.
Exemples :
(−2, 8) + (+2, 8) = 0 : les nombres −2, 8 et +2, 8 sont opposés, ou encore −2, 8 est l’opposé de +2, 8.
Soustraire un nombre relatif
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.
Exemples :
Ï (+7, 5) − (−2, 3) = (+7, 5) + (+2, 3) = +9, 8
car soustraire −2, 3 revient à ajouter l’opposé de (−2, 3), c’est-à-dire à ajouter (+2, 3).
Ï Pour calculer une somme, on peut regrouper les termes négatifs d’un côté, positifs de l’autre :
(+2) + (−7) + (−3) + (+5) = (+2) + (+5) + (−3) + (−7) = (+7) + (−10) = −3
Ï Pour calculer une succession d’additions et de soustractions (ce que l’on appelle une somme algébrique), on commence par la transformer de telle sorte qu’il n’y ait que des additions :
(+2) − (+12) + (−3) − (−9) = (+2) + (−12) + (−3) + (+9) = (+2) + (+9) + (−12) + (−3) = (+11) + (−15) = −14
Ï On peut simplifier une somme algébrique, en supprimant les parenthèses autour des nombres relatifs, et en supprimant le signe "+" des nombres positifs :
(−3) + (+7) + (−11) + (−5) = −3 + 7 − 11 − 5 = −3 − 11 − 5 + 7 = −19 + 7 = −12
(−5) − (−16) + (−14) − (+9) + (+13) = (−5) + (+16) + (−14) + (−9) + (+13)
= −5 + 16 − 14 − 9 + 13 = −5 − 14 − 9 + 16 + 13 = −28 + 29 = 1
4ème
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Compétence N2 : Produit de nombres relatifs.
Règle des signes dans un produit de deux nombres relatifs
– Le produit d’un nombre relatif par un nombre relatif de même signe est positif,
– Le produit d’un nombre relatif par un nombre relatif de signe contraire est négatif.
Règle des signes dans un produit de plusieurs nombres relatifs
On commence par calculer le nombre de facteurs négatifs.
– Si ce nombre est pair, alors le produit de ces nombres est positif.
– Si ce nombre est impair, alors le produit de ces nombres est négatif.
Multiplier des nombres relatifs
Pour multiplier des nombres relatifs :
– on applique la règle des signes pour déterminer le signe du produit,
– on multiplie entre elles les distances à zéro.
Exemples :
Ï (−6) × (−7) = +42
Ï (+15) × (−10) = 15 × (−10) = −150
Ï (−13) × (+3) = (−13) × 3 = −39
Ï (−1) × (+5) × (+2) × (−3) est un nombre positif, car il y a deux facteurs négatifs.
De plus, on a (−1) × (+5) × (+2) × (−3) = (−1) × 5 × 2 × (−3) = +(1 × 5 × 2 × 3) = +30
Ï (−2) × (+5) × (−3) × (−1) × (+7) est un nombre négatif, car il y a trois facteurs négatifs.
De plus, on a (−2) × (+5) × (−3) × (−1) × (+7) = (−2) × 5 × (−3) × (−1) × 7 = −(2 × 5 × 3 × 1 × 7) = −210
Propriétés de la multiplication des nombres relatifs
– Pour tout nombre relatif x, on a
x ×1 = x
– Pour tout nombre relatif x, on a
x ×0 = 0
– Pour tout nombre relatif x, on a
x × (−1) = −x
Autrement dit, le produit d’un nombre relatif par (−1) est l’opposé de ce nombre.
– Un produit ne change pas lorsque l’on modifie l’ordre de ses facteurs. On dit que la multiplication est
commutative. Autrement dit, on a
a × b = b × a.
– La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
Autrement dit, on a
k × (a + b) = ka + kb
k × (a − b) = ka − kb
Pour faciliter un calcul, on peut :
Ï utiliser la commutativité : 4 × 9 × (−25) = 4 × (−25) × 9 = (−100) × 9 = −900
Ï utiliser la distributivité :
en développant : (−9) × 19 = (−9) × (20 − 1) = (−9) × 20 − (−9) × 1 = (−180) − (−9) = −180 + 9 = −171
en factorisant : (−8) × 7, 5 + (−8) × (−2, 5) = (−8) × [7, 5 + (−2, 5)] = (−8) × 5 = −40
4ème
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Compétence N3 : Diviser par un nombre relatif non nul
Quotient de deux nombres relatifs
Le quotient d’un nombre relatif a par un nombre relatif non nul b, noté a ÷ b ou
a
, est le nombre par
b
lequel on doit multiplier b pour trouver a.
Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous b×? = a.
Règle des signes dans un quotient de deux nombres relatifs
– Le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est positif,
– Le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est négatif.
Diviser des nombres relatifs
Pour effectuer le quotient de deux nombres relatifs
– on applique la règle des signes pour déterminer le signe du quotient,
– on effectue le quotient les distances à zéro.
Exemples :
Ï (−4) ÷ 5 =
−4
4
= − = −0, 8
5
5
Ï (−120) ÷ (−15) =
−120 120
=
=8
−15
15
Ï
7
7
= − = −0, 5
−14
14
Valeur approchée d’un quotient
Mais attention ! ; on veut, par exemple, calculer le
quotient de 15 par −7.
Ce quotient est négatif, et pour trouver sa distance
à zéro on doit calculer le quotient 15 ÷ 7. Or on a,
ci-contre :
On ne peut pas écrire ce quotient sous la forme d’un
nombre décimal, car la division ne s’arrête pas. On
ne peut donner que des valeurs approchées et des
encadrements de ce quotient.
1 5
1 0
3 0
2 0
6 0
4 0
5 0
1 0
3
7
2,1 4 2 8 5 7 1 . . .
Si on veut placer ce quotient sur la droite graduée :
0
1
15
−7
On peut dire, par exemple, que :
• −2, 2 est une valeur approchée au dixième par défaut de 15 ÷ (−7),
• −2, 1 est une valeur approchée au dixième par excès de 15 ÷ (−7),
• −2, 1 est un arrondi au dixième de 15 ÷ (−7) (c’est la valeur approchée au dixième la plus proche),
15
< −2, 1 est un encadrement au dixième de 15 ÷ (−7).
• −2, 2 <
−7
4ème
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