DÉRIVABILITÉ Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 1 1 DÉFINITIONS 2 DE LA DÉRIVABILITÉ Étudier la dérivabilité sur R de : (x − 1)2 si x ¶ 1 1) x 7−→ (x − 1)3 si x > 1. x2 + x + 1 si x ¾ 1 2) x 7−→ 3 a x + bx + 2 si x < 1 p si x ¾ 0 ch x p 3) x 7−→ cos −x si x < 0. |x| . 4) x 7−→ 1 + x 2 − 1 8 (a, b ∈ R). 9 CALCULS DE DÉRIVÉES SUCCESSIVES Calculer les dérivées successives de : 1) x 7−→ x α (α ∈ R). 2) x 7−→ a x (a > 0). 1 (a ∈ R). 3) sin et cos. 4) x 7−→ x+a 1+ x 5) x 7−→ . 6) x 7−→ ln(3 − 2x). 1− x ————————————– 1) 3) ————————————– 2 Montrer que la dérivée d’une fonction dérivable paire (resp. impaire, resp. périodique) est impaire (resp. paire, resp. périodique). p 10 ————————————– 3 Soient a ∈ R et f : R −→ R dérivable en a. Que f (a + h) − f a + h2 vaut : lim ? h→0 h ————————————– ————————————– 11 ————————————– Soit f ∈ D [a, b], R telle que : f (a) = f (b) 5 et f ′ (a) > 0. Montrer qu’alors f ′ prend au moins une valeur strictement négative sur [a, b]. 12 ————————————– Soient I un intervalle, f ∈ D(I , R) et a ∈ I . On suppose que : f ′ (a) 6= 0 et que f ′ est continue en a. Montrer que f est injective au voisinage de a. 1 définie sur R. 1 + x2 Montrer qu’il existe, pour tout n ∈ N, une fonction polynomiale Pn telle que pour tout x ∈ R : Pn (x) f (n) (x) = n+1 . Degré de Pn ? 1 + x2 2 2) On note f la fonction x 7−→ e x définie sur R. Montrer qu’il existe, pour tout n ∈ N, une fonction polynomiale Pn telle que pour tout x ∈ R : 2 f (n) (x) = Pn (x)e x . Degré de Pn ? 1) On note f la fonction x 7−→ ————————————– p 2 On note f la fonction x 7−→ x + 1. 1) Simplifier : x 2 +1 f ′′ (x)+x f ′ (x)− f (x) pour tout x ∈ R. 2) Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R : x 2 +1 f (n+2) (x)+(2n+1)x f (n+1) (x)+ n2 −1 f (n) (x) = 0. 3) En déduire une expression explicite de f (n) (0) en fonction de n pour tout n ∈ N. ————————————– 7 On note f la fonction x 7−→ e x 3 sin x sur R. 1) Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R : p nπ . f (n) (x) = 2n e x 3 sin x + 6 2) Retrouver 1) grâce à l’exponentielle complexe. Soient I un intervalle, f : I −→ R, m : I −→ R et 4 M : I −→ R trois fonctions et a ∈ I . On suppose que : — m(x) ¶ f (x) ¶ M (x) au voisinage de a, — m(a) = f (a) = M (a), — m et M sont dérivables en a et : m′ (a) = M ′ (a). Montrer que f est dérivable en a et interpréter graphiquement. 6 Calculer les dérivées successives de : x 7−→ xe x . 2) x 7−→ e2x sin x. 1 x 7−→ x 2 sin x. 4) x 7−→ 2 . x −1 ————————————– ————————————– 1) Soit f ∈ C 1 (R, R). On suppose que pour tout x x ∈ R : f ◦ f (x) = + 1. 4 a) Montrer que pour tout x ∈ R : x f ′ (x) = f ′ +1 . 4 13 x 7−→ x n−1 Pour tout n ∈ N∗ , calculer la dérivée nème de ln(1 + x) sur ] − 1, +∞[. ————————————– 1 Soit n ∈ N. On note f n la fonction x 7−→ x n e x 14 ∗ sur R+ . Montrer que pour tout x ∈ R∗+ : b) En déduire que pour tous x ∈ R et n ∈ N∗ : n−1 X 1 x ′ ′ + . f (x) = f 4n k=0 4k (−1)n+1 1 ex . x n+2 ————————————– f n(n+1) (x) = c) En déduire que f ′ est constante sur R. 2) Déterminer toutes les fonctions f ∈ C 1 (R, R) x telles que pour tout x ∈ R : f ◦ f (x) = + 1. 4 15 ————————————– Montrer que pour tous n ∈ N∗ et x ∈ R : (n − 1)! nπ Arctan(n) (x) = n sin n Arctan x + 2 . 1 + x2 2 ————————————– 1 DÉRIVABILITÉ Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 3 16 ROLLE ET ACCROISSEMENTS FINIS Montrer que : 1) pour tout x ¾ 0 : 2) pour tout x ∈ R : b) Soit P ∈ R[X ] scindé sur R. Montrer que pour tout λ > 0, P 2 + λ est à racines simples. ————————————– x ¶ e x − 1 ¶ xe x . 0 ¶ ch x − 1 ¶ xsh x. 24 ————————————– 17 Montrer que pour tous x, y ∈ R : Arctan x − Arctan y ¶ |x − y|. 25 ————————————– 18 +∞ ————————————– 26 ————————————– Soit f ∈ C 2 [a, b], R . On fait l’hypothèse que : 19 f (a) = f ′ (a) et f (b) = f ′ (b). Montrer, en étu diant la fonction x 7−→ e x f ′ (x) − f (x) , que pour un certain c ∈ ]a, b[ : f ′′ (c) = f (c). — somme ————————————– ————————————– Soit f ∈ D [0, 1], R . On suppose que : 27 Montrer que la tangente de f en un certain point de ]0, 1[ passe par l’origine. On pourra étudier la fonction f (x) x 7−→ . x ————————————– Soient n ¾ 2 entier et p, q ∈ R. 1) Montrer que le polynôme X n + pX + q possède au plus trois racines réelles. 2) Montrer que si n est pair, X n + pX + q possède même au plus deux racines réelles. ————————————– n Soit n ∈ N∗ . On note P le polynôme X 2 − 1 . 1) Montrer que pour tout k ∈ ¹0, n − 1º : 28 P (k) (−1) = P (k) (1) = 0. 2) En déduire que P (n) est scindé sur R. ————————————– 23 P(x) ¾ 0 finie. 1) Montrer que Q possède un minimum sur R. 2) Que vaut Q − Q′ ? En déduire que : Q(x) ¾ 0 pour tout x ∈ R. f (0) = f (1) = f (0) = 0. 22 Soit P ∈ R[X ]. On suppose que : +∞ X pour tout x ∈ R. On pose : Q = P (k) k=0 ′ 21 Soit f : R+ −→ R une fonction continue sur R+ et dérivable sur R∗+ pour laquelle : lim f = f (0). Montrer que f ′ s’annule sur R∗+ . Ce résultat est bien sûr une extension du théorème de Rolle. 1) Soit f ∈ C 1 [a, b], R . Montrer que f est lipschitzienne sur [a, b]. 2) Soit f ∈ C 1 (R, R) périodique. Montrer que f est lipschitzienne sur R. 20 Soit f ∈ C (R+ , R) dérivable sur R∗+ , nulle en 0 et de dérivée croissante sur R∗+ . Montrer que la fonction f (x) est croissante sur R∗+ . x 7−→ x ————————————– Soit P ∈ R[X ]. On suppose : ∂ ◦ P ¾ 2 et P scindé sur R à racines simples. Montrer que P ′ est aussi scindé sur R à racines simples. Même question, mais sans la précib) sion « à racines simples ». 1) a) 1) Soient f : [0, a] −→ R et g : [0, a] −→ R deux fonctions continues sur [0, a], dérivables sur ]0, a] et telles que : f (0) = g(0) = 0. On suppose en outre que g et g ′ ne s’annulent pas sur ]0, a]. a) Pour tout x ∈ ]0, a], appliquer le théorème de Rolle à la fonction t 7−→ f (x)g(t)− f (t)g(x). f ′ (x) existe, alors : b) En déduire que si : lim ′ x→0 g (x) f (x) existe aussi et ces deux limites lim x→0 g(x) sont égales (règle de L’Hôpital). x2 ex − 1 − x − 2 2) Calculer : lim . x→0 sin x − x ————————————– Soient I un intervalle et f ∈ D(I , R). On souhaite montrer qu’alors f ′ (I ) est un intervalle (théorème de Darboux). Soient a, b ∈ I avec : a ¶ b et y ∈ R compris strictement entre f ′ (a) et f ′ (b). 1) Montrer que la fonction x 7−→ f (x) − x y n’est pas monotone sur [a, b]. 2) Montrer que la fonction x 7−→ f (x) − x y n’est pas injective sur [a, b]. 3) Conclure. ————————————– Soit f ∈ D [0, 1], R . On fait l’hypothèse 29 que : f (0) = 0 et f (1) = 1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , il existe des réels x 1 , . . . , x n ∈ ]0, 1[ disn X tincts pour lesquels : f ′ (x k ) = n. On pourra 2) a) Soit P ∈ R[X ] scindé sur R à racines simples. Montrer que P ne peut posséder deux coefficients consécutifs nuls. k=1 2 k s’intéresser aux réels , k décrivant ¹0, nº. n DÉRIVABILITÉ Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 1) Soit f ∈ C 3 [a, b], R avec : a < b. a) Déterminer un réel A pour lequel la fonction : (x − a)3 ϕ x − a ′ ′ f (a) + f (x) − A x 7−→ f (x)− f (a) + 2 12 ————————————– 30 Soit P ∈ R[X ] non constant. On suppose l’ensemble : X = x ∈ R/ P(x) = sin x infini. 1) Montrer que X est borné. 2) Montrer que les dérivées successives de P − sin s’annulent chacune une infinité de fois. 3) Quelle contradiction ? s’annule en b. b) Montrer, en étudiant les zéros de ϕ et de ses dérivées, que pour un certain c ∈ ]a, b[ : ————————————– (b − a)3 b − a ′ f (a)+ f ′ (b) − f (3) (c). 2 12 2) Soient f ∈ C 2 [a, b], R et n ∈ N∗ . Pour tout b−a k ∈ ¹0, nº, on pose : x k = a + k . n a) Montrer que pour tout k ∈ ¹0, n − 1º, pour un certain ck ∈ ]x k , x k+1 [ : f (b) = f (a)+ 31 1) Soient I un intervalle, f ∈ C n+1 (I , R) et a ∈ I . Soit en outre x ∈ I fixé distinct de a. a) Déterminer un réel A pour lequel la fonction : n X ϕ f (k) (t) A (x−t)k − (x−t)n+1 t 7−→ f (x)− k! (n + 1)! k=0 Z s’annule en a. b) Simplifier ϕ ′ . c) En déduire que pour un certain c ∈ I : f (x) = n X k=0 [a,b] ¶ cos x = lim n→+∞ n X k=0 (−1)k 34 Soit f ∈ C 2 (R∗+ , R). On suppose que la fonction x 7−→ x 2 f ′′ (x) est bornée et que : lim f (x) = 0. x→0 1) Montrer que pour tous x ∈ R∗+ et a ∈ ]0, 1[, il existe un réel ξ ∈ ]a x, x[ pour lequel : x 2k . (2k)! f (a x) = f (x)−(1−a)x f ′ (x)+ ————————————– Soit f ∈ C n [a, b], R . On suppose que f 32 s’annule en au moins n points distincts a1 , . . . an avec : a1 < . . . < a n . 1) Soit x ∈ [a, b] fixé, distinct de a1 , . . . , an . a) Déterminer un réel A pour lequel la fonction 2) En déduire que : (1 − a)2 2 ′′ x f (ξ). 2 lim x f ′ (x) = 0. x→0 ————————————– 4 ϕ t 7−→ f (t)−A(t−a1 ) . . . (t−an ) s’annule en x. b) Montrer, en étudiant les zéros de ϕ et de ses dérivées, que pour un certain c ∈ ]a, b[ : SUITES RÉCURRENTES ET ACCROISSEMENTS FINIS 35 f (n) (c) . f (x) = (x − a1 ) . . . (x − an ) n! ex sur R+ . x +2 a) Montrer que ]0, 1[ est stable par f . b) Montrer qu’il existe un et un seul α ∈ ]0, 1[ eα pour lequel : = α. α+2 2) Soit u0 ∈ ]0, 1[. On note (un )n∈N la suite eun . définie pour tout n ∈ N par : un+1 = un + 2 a) Montrer que pour tout n ∈ N : n 2e , |un − α| ¶ 9 1) Ce résultat est bien sûr encore vrai si x est l’un des réels a 1 , . .. , an . 2) Pourquoi f (n) est-elle majorée sur [a, b] ? Mon(n) , alors trer que si on pose : M = sup f [a,b] pour tout x ∈ [a, b] : (b − a)3 M. 12n2 ————————————– Ce résultat s’appelle l’inégalité de Taylor-Lagrange. Montrer que pour tout x ∈ R : et (b − a)3 b − a f (x k )+ f (x k+1 ) − f ′′ (ck ) 2n 12n3 Z n−1 b X f (a) + f (b) b − a b − a − f (x k ) f (x) dx − a n 2 n k=1 I n X xk n→+∞ k! k=0 xk f (k) (a) f (n+1) (c) (x−a)k + (x−a)n+1 . k! (n + 1)! n X f (k) (a) |x − a|n+1 (x − a)k ¶ M. f (x) − k! (n + 1)! k=0 e x = lim f (t) dt = et interpréter géométriquement. b) Pourquoi | f ′′ | est-elle majorée sur [a, b] ? Montrer que si on pose : M = sup | f ′′ | : Ce résultat est bien sûr encore vrai si x = a. f (n+1) bornée sur I et on pose : d) On suppose (n+1) . Montrer que pour tout x ∈ I : M = sup f 2) x k+1 n Y f (x) ¶ M |x − ak |. n! k=1 ————————————– On note f la fonction x 7−→ puis que la suite (un )n∈N converge vers α. 33 3 DÉRIVABILITÉ Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI b) Déterminer un rang n pour lequel un est une approximation de α à 10−5 près. ————————————– 36 Soit u0 ∈ [0, 1]. On note (un )n∈N la suite telle eun que pour tout n ∈ N : un+1 = u . e n +1 1) Montrer que (un )n∈N est à valeurs dans [0, 1]. 2) Montrer qu’il existe un et un seul α ∈ R pour eα lequel : = α, et que α ∈ [0, 1]. eα + 1 3) a) Montrer que pour tout n ∈ N : n 1 , |un − α| ¶ 4 puis que la suite (un )n∈N converge vers α. b) Déterminer un rang n pour lequel un est une approximation de α à 10−5 près. ————————————– 5 LIMITE DE LA DÉRIVÉE ET PROLONGEMENT DE CLASSE 37 Ck Montrer que la fonction x 7−→ x 2 ln x, définie sur est prolongeable en une fonction de classe C 1 sur R+ tout entier. R∗+ , ————————————– 38 quelle valeur maximale de k la fonction Pour x 3 ln |x| si x 6= 0 x 7−→ est-elle de classe C k sur 0 si x = 0 R tout entier ? ————————————– 39 Soit f ∈ C 2 (R+ , R). On fait l’hypothèse que : f (0) = 0. Montrer qu’il existe une fonction g ∈ C 1 (R+ , R) pour laquelle pour tout x ∈ R+ : f (x) = g x 2 . ′ ————————————– 4