T.D. - Alain Camanes

Calculs de primitives
Stanislas
T.D. 4
MPSI 1
2015/2016
Dans chacun des exercices, vous déterminerez une primitive des fonctions proposées en précisant
leur ensemble de dénition. Les primitives classiques doivent pouvoir être retrouvées rapidement.
Partie I : Primitives classiques
Fonction
Primitive
R si α ∈ N,
Intervalle de validité
ou R∗− si α ∈ Z− \{−1}, R?+ si α ∈ R\Z
R∗− ou R∗+
R?+ ou R?−
x , α 6= −1
xα+1
α+1
1
x
ln |x|
ln |x|
x ln |x| − x
a , a > 0, a 6= 1
ax
ln a
R
sin x
− cos x
R
cos x
sin x
α
x
R∗+
R
π
2
+ kπ[, k ∈ Z
tan x
− ln | cos x|
sinh x
cosh x
R
cosh x
sinh x
R
tanh x
ln cosh x
2
]−
π
2
+ kπ,
R
]−
π
2
π
2
tan x
tan x − x
1
cosh2 x
1
sinh2 x
1
cos2 x
1
sin2 x
1
sin x
1
cos x
2
tanh x
R
− coth x
R∗
]−
tan x
− cotan x
ln | tan
ln | tan( x2
+ kπ[, k ∈ Z
+ kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
]kπ, π + kπ[, k ∈ Z
x
2|
+
π
2
+ kπ,
]kπ, π + kπ[, k ∈ Z
π
4 )|
]−
π
2
+ kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
tanh x
x − tanh x
R
1
x2 +1
√ 1
1−x2
arctan x
R
arcsin x
] − 1, 1[
Exercice 1. (Fonctions usuelles) Soit a un réel strictement positif.
1. f1 (x) =
x3 +5x2 −4
.
x2
4. f4 (x) =
2. f2 (x) = cotan(x).
5. f5 (x) =
3. f3 (x) = coth(x).
6. f6 (x) =
1
.
a2 +x2
1
.
a2 −x2
√ 1
.
a2 −x2
7. f7 (x) =
8. f8 (x) =
1
.
9+x2
√ 1
.
25−16x2
Partie II : Techniques élémentaires
Exercice 2. (u0 · f 0 (u))
1. f1 (x) =
8x2
.
(x3 +2)3
√
2. f2 (x) = x 1 − 2x2 .
3. f3 (x) = (ex + 1)3 ex .
Stanislas
4. f4 (x) =
sin(x)
.
3+sin2 (x)
6. f6 (x) =
5. f5 (x) =
√x
.
1−x6
7. f7 (x) =
2
x
.
x4 +3
1
.
x2 +10x+30
A. Camanes
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Exercice 3. (Changements de variable)
1. f1 (x) =
1
ex +1
.
2. f2 (x) =
√
e x − 1.
3. f3 (x) =
1
3
x 2 +1
.
Exercice 4. (Intégrations par parties)
1. f1 (x) = arcsin(x).
2. f2 (x) = x2 ln(x).
√
3. f3 (x) = x 1 + x.
4. f4 (x) = x tan2 (x).
5. f5 (x) = ln(x2 + 2).
√
6. f6 (x) = 1 + x ln(x).
7. f7 (x) = x arctan2 (x).
8. f8 (x) = earccos(x) .
Partie III : Fractions rationnelles
Pour calculer la primitive d'une fraction rationnelle, on calcule sa décomposition en éléments
simples.
Z
dx
.
n
Z (x − a)
dx
∗ Si n = 1, alors
= ln |x − a|.
x
−a
Z
1
dx
=
.
∗ Si n > 2, alors
n
n−1
(1 − n)(x
Z (x − a)
Z − a)
Z
ax + b
a
2x + p
ap Primitives de la forme
dx
=
dx
+
b
−
x2 + px + q
2
x2 + px + q
2
Primitives de la forme
∗ Si 4q − p2 > 0, on utilise la fonction arctangente.
∗ Si 4q − p2 < 0, on utilise la fonction logarithme.
dx
2
x + p2 +
4q−p2
4
.
Exercice 5. (Fractions rationnelles)
1. f1 (x) =
2. f2 (x) =
3. f3 (x) =
x+2
x+1 .
x2 +2x
.
(x+1)2
1
.
x2 −9
4. f4 (x) =
5. f5 (x) =
6. f6 (x) =
1
.
x3 +1
x2 −3x−1
.
x3 +x2 −2x
3
2x
.
(x2 +1)2
7. f7 (x) =
8. f8 (x) =
2x−7
.
x2 +9
x+1
.
x2 −4x+8
Partie IV : Polynômes, Exponentielles et Trigonométrie
Z
Pour calculer une primitive de la forme P (x)eαx cos(ωx) dx, on utilise l'écriture complexe de
la fonction cosinus puis on cherche une solution
Z sous la forme polynôme / exponentielle. Ceci
revient à chercher des primitives de la forme P (x)eax dx avec a ∈ C.
∗ Si a = 0, on intègre un polynôme.
∗ Si a 6= 0, on cherche une primitive sous la forme Q(x)eax , où Q est un polynôme de même
degré que P . Ainsi, par dérivation on obtient la relation aQ(x) + Q0 (x) = P (x).
Exercice 6. Soit n ∈ N.
1. f1 (x) = x cos x.
2. f2 (x) = x2 e−3x .
3. f3 (x) = sinh x cos x.
4. f4 (x) = xn ex .
Partie V : Fonctions rationnelles en cosinus et sinus
Fonctions polynomiales des fonctions trigonométriques. On utilise les formules de linéarisation.
Exercice 7. (Fonctions trigonométriques) Soient a, b tels que ab 6= 0 et a2 6= b2 .
1. f1 (x) = sin(x) sin(3x).
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2. f2 (x) = sin3 (x).
3. f3 (x) = cos(ax) cos(bx).
A. Camanes
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Z
Règles de Bioche :
F (cos x, sin x) dx.
On se ramène au calcul d'une primitive de fraction rationnelle.
(i). On pose ω(x) = F (cos x, sin x) dx.
∗ Si ω(−x) = ω(x), alors on eectue le changement de variable t = cos x.
∗ Si ω(π − x) = ω(x), alors on eectue le changement de variable t = sin x.
∗ Si ω(π + x) = ω(x), alors on eectue le changement de variable t = tan x.
(ii). En dernier recours, on eectue le changement de variable t = tan x2 .
Exercice 8. (Règles de Bioche)
1. f1 (x) =
2. f2 (x) =
1
cos x+2 .
sin3 x
2+cos x .
3. f3 (x) =
4. f4 (x) =
tan x
.
1+sin2 x
4 sin x
(1+cos x)(3+cos 2x) .
Partie VI : Fractions rationnelles et Exponentielle
Eectuer le changement de variable t = ex . En présence de fonctions cosh ou sinh qui interviennent, on peut les remplacer par leur forme exponentielle.
Exercice 9.
1. f1 (x) =
1
1+sinh x+2 cosh x .
2. f2 (x) =
1
sinh x .
Partie VII : Fractions rationnelles et Racines
!
r
n ax + b
Primitives de la forme F x,
dx.
cx + d
q
Eectuer le changement de variable t = n ax+b
cx+d .
Z
Exercice 10.
q
1. f1 (x) = 1+x
1−x .
2. f2 (x) =
Z
Partie VIII : Primitives de la forme
√
√
4
x+1
√1+x− √
.
1+x+ 4 x+1
p
F x, ax2 + bx + c dx
2
b
On écrit le trinôme sous forme canonique a x + 2ab + c − 4a
.
2
b
2
2
∗ Si a = α et c − 4a = β , alors on eectue le changement de variable x = αβ sinh t − ab ,
pour pouvoir utiliser la relation 1 + sinh2 = cosh2 .
b2
∗ Si a = α2 et c − 4a
= −β 2 , alors on eectue le changement de variable x = αβ cosh t − ab ,
pour pouvoir utiliser la relation sinh2 = cosh2 −1.
b2
∗ Si a = −α2 et c − 4a
= β 2 , alors on eectue le changement de variable x = αβ sin t − ab ,
pour pouvoir utiliser la relation sin2 = 1 − cos2 .
Les deux premières méthodes nécessitent la connaissance des fonctions argsh et argch.
Exercice 11.
√
1. f1 (x) = x2 − 1.
√
2. f2 (x) = x2 1 − x2 .
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3. f3 (x) =
4. f4 (x) =
2
√
2x2 − 3x + 5.
√ x
.
2x−x2
A. Camanes
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Partie IX : Divers
Exercice 12. (-)
Z
1p
1−
1. I1 =
0
Z
2
2. I2 =
Z1 e
3. I3 =
1
Stanislas
x2
dx.
ln t
√ dt.
t
du
.
u + u(ln u)2
Z e
dt
7.
I
=
xn ln x dx.
7
4. I4 =
.
t
e +1
1
Z 1/2
Z 02
ln(1 + x) − ln x
arcsin t dt.
5. I5 =
dx. 8. I8 =
x2
0
1
Z eπ
Z 1
9. I9 =
sin(ln t) dt.
ln(1 + t2 ) dt.
6. I =
Z
6
0
1
1
A. Camanes