probabilites

PROBABILITES
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I- VOCABULAIRE DES ENSEMBLES
1- Intersection
E
E
A
A
B
B
A  B  x  E / x  A et x  B
A  B   . On dit que A et B sont disjoints.
Exemple : A  1 ; 2 ; B  4 ; 5 ; C  1 ; 2 ; 3 et D  2 ; 3 ; 4 ; 5
A et B sont disjoints. C  D  2 ; 3
2- Réunion
A  B  x  E / x  A ou x  B
E
A
B
Exemple :
A  B  1 ; 2 ; 4 ; 5
C  D  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
3- Complémentaire d'un ensemble dans un autre ensemble :
Complémentaire de A dans E noté A :
C'est l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.
Exemple : E  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
Remarques : A  A
AA  E
E
A
A  3 ; 4 ; 5 ; 6
AA 
4- a) L'événement contraire d'une réunion est l'événement intersection des contraires.
autrement écrit
Non(A ou B) = Non(A) et Non(B).
b) L'événement contraire d'une intersection est l'événement réunion des contraires.
autrement écrit
Non(A et B) = Non(A) ou Non(B).
II- EXPERIENCE ALEATOIRE
Lancer un dé est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat parmi les six éventualités
possibles.
C'est une expérience aléatoire comportant six issues.
L'ensemble de toutes les issues est appelé univers des possibles, on le note  .
On appelle événement toute partie de  .
 est l'événement impossible.
 est l'événement certain.
Exemple :
  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
A est l'événement "Obtenir un numéro pair".
Alors A  2 ; 4 ; 6
Lorsque deux événements ont une intersection vide ( A  B   ) on dit que ces événements
sont disjoints ou incompatibles.
L'événement contraire d'un événement A (noté A ) est l'ensemble de toutes les éventualités
qui ne sont pas dans A. C'est la partie complémentaire de A dans  .
III- LOI DE PROBABILITE
Exemple : On lance un dé, et on note le numéro obtenu sur la face supérieure.
Valeur  i
1
2
3
4
5
6
Fréquence f i
Même pour un grand nombre de tirages la répartition des fréquences n'est pas stable. C'est ce
qu'on appelle la fluctuation d'échantillonnage.
Si on fait deux séries de 1 000 lancers avec le même dé, on n'obtiendra pas exactement les
mêmes résultats.
Pour modéliser une expérience aléatoire, on utilisera une loi de probabilité.
Définition :
  1 ; 2 ; ... ; n 
Définir une loi de probabilité sur  c'est associer à chaque résultat  i un nombre pi positif
ou nul de telle façon que p1  p2  ...  pn  1 .
Exemple :
Valeur  i
Probabilité pi
1
1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité.
IV- PROBABILITE D'UN EVENEMENT
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de toutes les issues appartenant à
A.
Exemple :
A = "Obtenir un numéro pair".
Alors A  2 ; 4 ; 6
Alors pA  p2  p4  p6
Lorsque toutes les issues sont équiprobables, on a :
nombre d' éléments de A
nombre de cas favorables
pA  
cad pA  
nombre d' éléments de 
nombre de cas possibles
p   0 ; p  1
Pour tout événement A, 0  pA  1
V- THEOREMES
pA  B  pA  pB  pA  B
En particulier, si A  B   on obtient : pA  B  pA  pB
 
p A  1  pA 
Exemple :
A  2 ; 4 ; 6 et B  1 ; 2 ; 3 ; 4
3 1
4 2
alors pA    et pB  
6 3
6 2
A  B  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 alors pA  B 
A  B  2 ; 4 alors pA  B 
pA  pB  pA  B  ...
2 1

6 3
5
6
VI- VARIABLES ALEATOIRES
1- Exemple :
On tire au hasard une carte d'un jeu de 52.
 est alors l'ensemble des tirages possibles. card   52
On définit une loi de probabilité sur  en associant à chaque issue la probabilité
1
.
52
A chaque tirage on associe un gain ou une perte de la façon suivante :
- si on tire un as, on gagne 5 euros.
- si on tire R, D ou V, on gagne 1 euro.
- Dans tous les autres cas, on perd 1 euro.
On note X le gain associé à chaque tirage.
X peut prendre les valeurs 5, 1 ou -1.
On note : X  1 ; 1 ; 5
X  5 est l'événement : "le tirage procure un gain de 5 euros".
C'est également l'événement "tirer un as".
Alors :
pX  5 
4
1

52 13
pX  1 
et pX  -1 
12 3

52 13
9
13
On dit que X est une variable aléatoire, et on appelle loi de probabilité de X la donnée des
probabilités des événements X  -1 , X  1 et X  5 .
xi
PX  xi 
-1
9
13
1
3
13
5
1
13
On peut alors calculer la moyenne de gain, appelée espérance mathématique de X, et notée
EX .
9
3
1
1
EX   1  1  5    .
13
13
13
13
1
Cela signifie que le jeu procure, en moyenne, une perte de
euro à chaque tirage.
13
2- Définition
 est l'ensemble des résultats d'une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire X sur  en associant à chaque issue  i un nombre réel xi .
On appelle loi de probabilité de X la donnée des probabilités des événements X  xi  .
3- On appelle espérance mathématique de X le réel :
n
EX   x1  pX  x1   ...  xn  pX  xn    xi  pX  xi 
i 1
On appelle variance de X le nombre réel positif :
2
2
VX  x1  EX  pX  x1   ...  xn  EX  pX  xn 
n
  xi  EX   pX  xi 
2
i 1
n
  pi xi  EX 
i 1
On a l'égalité :
n
VX    pi xi  EX 
2
2
i 1
On appelle écart type le réel :   VX 