Corrigé

Trigonométrie, théorème du sinus et cosinus - série n°4 Corrigé
Le théorème du sinus dit que :
Le théorème du cosinus dit que :
On sait aussi que :
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AB
AC
BC
=
=
sin(γ ) sin( β ) sin(α )
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos(γ ) et
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos( β ) et
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos(α )
α + β + γ = 180°
1) Le théorème du cosinus permet de calculer la valeur de x :
x 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos(γ ) = 242 + 362 − 2 ⋅ 24 ⋅ 36 ⋅ cos(44°) ≈ 628,98
Donc x ≈ 25,08.
Le théorème du sinus permet de calculer les angles α et β.
x
AC
24
24 ⋅ sin(44°)
=
=
⇔ sin( β ) =
≈ 0, 6647
sin(44°) sin( β ) sin( β )
x
Puisque 24 n'est pas le plus long côté, 0° < β < 90° , donc β ≈ arcsin(0, 6647) ≈ 41, 66°
x
BC
36
36 ⋅ sin(44°)
=
=
⇔ sin(α ) =
≈ 0,9971
sin(44°) sin(α ) sin(α )
x
Puisque 362 > 242 + 25,082, 90° < β < 180° , donc α ≈ 180° − arcsin(0,9971) ≈ 94,36°
Il est bon de vérifier que α + β + γ = 180°.
On aurait pu utiliser le théorème du cosinus pour calculer les angles α et β. Exemple :
 AB 2 + AC 2 − BC 2 
α = arccos 
 ≈ arccos(−0, 07559) ≈ 94,33°
2 ⋅ AB ⋅ AC


L'aire = 0,5⋅base ⋅ hauteur = 0,5 ⋅ 36 ⋅ hauteur = 0,5 ⋅ 36 ⋅ 24 ⋅ sin(44°) ≈ 0,5 ⋅ 36 ⋅16, 672 ≈ 300, 09
 AH 2 + AC 2 − CH 2 
 92 + 152 − 7,82 
2) α = arccos 
=
arccos


 = arccos(0,908) ≈ 24, 77°
2 ⋅ AH ⋅ AC
2 ⋅ 9 ⋅15




L'angle en C du triangle ABC égale : γ = 180° − 22° − α ≈ 180° − 22° − 24,77° = 133,23°.
L'angle en C du triangle AHC égale :
 CH 2 + AC 2 − AH 2 
 7,82 + 152 − 92 
γ1 = arccos 
=
arccos


 ≈ arccos(0,875) ≈ 28,91°
2 ⋅ CH ⋅ AC


 2 ⋅ 7,8 ⋅15 
γ2 = γ − γ1 ≈ 133,23° − 28,91° ≈ 104,32°
Le théorème du sinus permet de conclure.
x
CH
7,8
7,8 ⋅ sin(104,34°)
=
=
⇔ x≈
≈ x ≈ 20,17
sin(γ 2 ) sin( β ) sin(22°)
sin(22°)
y
CH
7,8
7,8 ⋅ sin(180° − 22° − 104,33°)
=
=
⇔ y≈
≈ y ≈ 16, 77
sin(η2 ) sin( β ) sin(22°)
sin(22°)
L'aire = 0,5⋅base ⋅ hauteur = 0,5 ⋅ ( x + 9) ⋅ ( y ⋅ sin(22°)) ≈ 0,5 ⋅ 29,17 ⋅ 6, 282 ≈ 91, 63
3.1) a 2 = 402 + 602 − 2 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ cos(28°) ≈ 961,85, donc a ≈ 961,85 ≈ 31, 01
 602 + a 2 − 402 
β = arccos 
 ≈ arccos(0, 7958) ≈ 37, 26°
 2 ⋅ 60 ⋅ a 
 402 + a 2 − 602 
γ = arccos 
 ≈ arccos(−0, 4184) ≈ 114, 73°
 2 ⋅ 40 ⋅ a 
Il est bon de vérifier que : γ = 180° − α − β ≈ 114,74°.
Trigonométrie, théorème du sinus et cosinus - série n°4 Corrigé
 82 + 102 − 112 
3.2) α = arccos 
 = arccos(0, 26875) ≈ 74, 41°
 2 ⋅ 8 ⋅10 
 102 + 112 − 82 
β = arccos 
 ≈ arccos(0, 7136) ≈ 44, 47°
 2 ⋅10 ⋅11 
 82 + 112 − 102 
 ≈ arccos(0, 483) ≈ 61,12°
 2 ⋅ 8 ⋅11 
γ = arccos 
Il est bon de vérifier que : γ = 180° − α − β ≈ 61,12°.
3.3) Ici, le théorème du sinus est plus agréable à utiliser. (Celui du cosinus est utilisable)
18
36
18
=
⇒ sin(α ) = ⋅ sin(70°) ≈ 0, 4698
sin(α ) sin(70°)
36
18 < 36, donc α < 90°, donc α ≈ arcsin(0, 4698) ≈ 28, 02°
β = 180° − α − 70° ≈ 81,96°.
b 2 = 362 + 182 − 2 ⋅ 36 ⋅18 ⋅ cos( β °) ≈ 1'439, 09, donc b ≈ 1' 439, 09 ≈ 37,94
18
36
b
Il est bon de vérifier que :
=
=
≈ 38,31 .
sin(α ) sin(70°) sin( β °)
3.4) β = 180° - 45° - 60° = 75°.
Ici, seul le théorème du sinus est utilisable.
a
20
20 ⋅ sin(60°)
=
⇒ a=
≈ 24, 49
sin(60°) sin(45°)
sin(45°)
b
20
20 ⋅ sin(75°)
=
⇒ b=
≈ 27,32
sin(75°) sin(45°)
sin(45°)
4) On utilise le théorème du cosinus pour calculer divers angles.
 542 + 562 − 102 
α1 = arccos 
 ≈ arccos(0,984) ≈ 10, 22°
 2 ⋅ 54 ⋅ 56 
 562 + 102 − 542 
 ≈ arccos(0, 2857) ≈ 73,398°
 2 ⋅ 56 ⋅10 
γ 1 = arccos 
 102 + 542 − 562 
 ≈ arccos(−0,111) ≈ 96,379°
 2 ⋅10 ⋅ 54 
δ1 = arccos 
Il est bon de vérifier que : α1 + γ1 + δ1 ≈ 180°
 332 + 542 − 27 2 
α 2 = arccos 
 ≈ arccos(0,91919) ≈ 23,19°
2 ⋅ 33 ⋅ 54 

 332 + 27 2 − 542 
 ≈ arccos(−0, 61616) ≈ 128, 04°
⋅
⋅
2
33
27


ε 2 = arccos 
Donc ε3 = 180° − ε2 ≈ 51,96°
β3 = 180° − α − γ1 = 180° − α1 − α2 − γ1 ≈ 73,19°
δ3 = 180° − ε3 − β3 ≈ 54,85°
Le théorème du sinus permet de conclure.
x
27
27 ⋅ sin(54,85°)
=
⇔ x≈
≈ x ≈ 23, 06
sin(δ 3) sin( β 3 °)
sin(73,19°)
y
27
27 ⋅ sin(51,96°)
=
⇔ y≈
≈ y ≈ 22, 21
sin(ε 3) sin( β 3 °)
sin(73,19°)
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