Madame la Présidente

N.Gonzalez – D-M. Bissengué – G.Lauton
REVUE DE FIGURES PLANES – REPÉRAGE DE POINTS & VECTEURS
DAEU-B
2 – 5 oct 09
A) Revue de figures planes
Segment [ AB ]
Droite (AB)
Demi-droite
A
B
0
B
0
A
6
A
6
Cercle
Ellipse
Aire =  R2
Périmètre
2  R.
6
A
Triangle
Quadrilatère
Trapèze
Parallélogramme
Losange
6
Aire S
S = base x hauteur / 2
Ex. : S = BC x AH / 2
B
H
6
F
Polygones réguliers
C
6
B
A
6
D
C
6
6
B) Formule de Pythagore
et applications
b=4
c=3
Tr. rectangle
Tr. Isocèle
A
B
6
a=?
B
C
A
C
H
On trace la hauteur AH. Le
6
6
6
point H = milieu de BC.
Tr. Equilatéral
A
Si la longueur des côtés est
6 1
égale à 1, alors HC = 1/2. Calculons à l’aide du théorème de Pythagore la hauteur h = AH :
6
B
H
C
6
6
6
Cas particulier : chaque triangle rectangle a pour
aire : 3 x 4 / 2 = 6
Aire grand carré = 49 = 6 x 4 + Aire petit carré.
D’où : a x a = 25. Résultat : a = 5.
Pour le triangle
Cas général : le bilan s’écrit :
( b + c )2 = a2 + 2 b.c d’où finalement :
a2 = b2 + c2.
rectangle (AHC) :
12
 h 2  12
2
D’où :
L’aire S est égale à :
3
2
1 1 2 3
3

  

2 2 2  8
h=
Inversement, si cette égalité est vraie, le triangle
est rectangle.
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1
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C) Parallèles et proportions de Thalès
AB A' B'

AC A' C'
A’
A
B’
B6
6
des côtés d’un triangle
Inversement, si l’on constate
(MN) est parallèle à (BC).
cette proportion entre les lonC’
A
gueurs indiquées, alors les 3
droites sont parallèles.
6
C
6
Droite joignant les milieux
6
(D’)
M
L’égalité s’écrit généralement
(D)
Aire des Triangles (ABC) et (A ’BC) :
6
N
6
avec des mesures algébriques = longueur avec signe
B

6
6
H
F
C
6
Aire de l’hexagone régulier
de côté 1 :
A’
A
Composé de 6 triangles équilatéraux de côté 1.
h
L’aire est donc : S = 6 x
B
C
b
S= 3
3
8
3
4
4
D) Table à rallonges semi-circulaires
a) Calculer le périmètre
6
b) Calculer l’aire
5
E) Table à coins arrondis
a) Calculer le périmètre
b) Calculer l’aire
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2
5
2
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F) Carrés et cercles
Tracer les cercles de centres A, B, C et D passant
Plusieurs solutions, à base de décomposition de cette aire en
tous par le centre O du carré (ABCD). Colorer le
figures plus simples.
contour des arcs de cercles ( I E J F L G K H I ) et
calculer l’aire délimitée par ce contour.
G) Secteur circulaire – Segment circulaire
a) Sachant que le rayon OM fait un angle de 60 degrés avec le diamètre horizontal, et que ON est symétrique de OM par rapport à ce dernier, déterminer l’aire du secteur circulaire délimité par les
rayons OM et ON du cercle.
(C)
M
1
b) Déterminer l’aire de la partie du disque située à
gauche de la corde MN.
c) Calculer l’aire de la figure formée par le cercle (C)
et son symétrique (C ’ ) par rapport à (MN).
M
M
(C)
O
O
H
(C ’)
N
N
N
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3
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H) Bielle + Manivelle
Pour le système bielle (ci-contre) on cherche à calculer la distance OP selon la valeur de l’angle  que
fait la manivelle OM avec l’axe horizontal.
Angle 
0 deg
180 deg
B
Longueur OP
(manivelle horizontale  droite)
(manivelle horizontale  gauche)
45 deg
4
5
A
60 deg
(OMA) équilatéral
30 deg
(OMB équilatéral)
4
5
135 deg
120 deg
150 deg
I ) Sinus – cosinus - tangente
N.B. : les proportions entre les longueurs des côtés
sont directement liées à la valeur de l’angle Ô.
Pour un angle de 60 deg, on se souvient que OH
vaut 1/ si l’hypoténuse vaut 1, et que la hauteur MH
3 . On définit les rapports suivants :
2
cos Ô = OH et : sin Ô = HM et : tg Ô = HM
OM
OM
OH
Ici : cos 60 = 1/2. sin 60 = 3 et tg 60 = 3
2
3
vaut
M
70
5
a) Calculer sin 30, cos 30 et tg 30.
b) Même chose pour l‘angle 45 deg.
c) Pour un angle de 70 deg, déterminer à l’aide de
la calculatrice (activer « degrés) son cosinus et son
sinus.
70
SIN
H
O
a) Pour le triangle de côtés 3 – 4 – 5, déterminer
l’angle Ô en utilisant à l’envers la touche SIN, sa-
0,6
chant que le sinus de cet angle vaut MH / OM soit
3 / 5 = 0,6
M
5
SIN
3
-
O
?
H
4
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4
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J) Coordonnées de points et de vecteurs
Dans le plan muni d’un repère orthonormé
i ) comparer les vecteurs KB et MB puis BL et BC.
(Ox , Oy), on place les points A (25,0) et B (9,12).
N.B. : pour multiplier un vecteur U par un nombre k posia) Calculer les longueurs des côtés du triangle.
tif, je multiplie sa longueur par k. Le résultat V a même
b) Montrer que le triangle (OAB) est rectangle en B.
direction et même sens. Si k est négatif, sens inversé.
c) on place le point M (6 ; 8) : est-il aligné avec O et B ?
d) on place N (17 ; 6) : est-il aussi aligné avec A et B ?
j ) Recenser sur la figure es situations du type : V = k U.
e) Distances entre B et M, entre B et N, entre M et N ?
N.B. : inversement, si j’ai 2 vecteurs U et V et : V = k U,
alors je peux dire que U et V sont parallèles.
f) M et N désignent les positions de 2 wagonnets
k) comparer les vecteurs ML, KN et OC.
roulant sur OB et sur BA, liés par un câble tendu par
B. Décrire leurs positions quand le premier partant
de l’origine O va vers B.
N.B. : on appelle vecteur V la « feuille de route »
pour aller d’un point A à un autre B, décrite de 2
façons possibles :
N.B. : étant donné 2 vecteurs U = MB et V = BN, quelle
« feuille de route » pour aller directement de M à N ?
C’est le vecteur S = MN, qui est la somme de MB et BN :
MB + BN = MN, c'est-à-dire : S = U + V.
Si les vecteurs ne sont pas représentés « bout à bout »,
- direction de droite (AB), sens et distance A  B ;
on peut recréer cette situation en plaçant les points nécessaires sur la figure.
- dans un repère donné (figure), les 2 nombres a et
b que sont l’écart entre abscisses et l’écart entre
ordonnées, appelés coordonnées de V, soit :
Les coordonnées de S= somme de celles de U et de V.
abscisse extrémité – abscisse origine
ordonnée extrémité – ordonnée origine
l ) Additionner KM et LN. Figurer le résultat S = KP.
N.B. : coordonnées du milieu T d’un segment KN : ce
sont les demi-sommes de celles des extrémités.
On désigne ce vecteur par AB ou par une seule
m) Trouver les milieux T et U de KN et de OC.
lettre V accompagnée de (a ; b). Si a  0, la direc-
N.B. : MB (3 ; 4) et BL (4 ; -3) sont orthogonaux. Plus généra-
tion de droite de V a pour pente le nombre :
m = b / a.
Si AB = A ’B ’, alors ( A B B ’A ’ ) = parallélogramme.
lement, U (a ; b) et V (b ; -a) sont orthogonaux. Leurs directions de droites ont pour pentes : m = b / a et m’ = – a / b.
m) Tracer un vecteur BR orthogonal à KN. La droite BL
g) Trouver le point P tel que (MBLP) est un
parallélogramme. De même pour (KMLQ).
passe-t-elle par le milieu T de KN ?
h) écrire les coordonnées des vecteurs MB, NB, MN.
B
12
11
10
L
9
M
8
7
N
6
5
K
4
C
3
2
1
H
O
1
2
3
4
5
6
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7
8
9
10
A
11
12
D’
6
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
5