Corrigé du DL n 8

Lycée St-Joseph de Tivoli
Première S
Avril 2015
Corrigé du DL n°8
- Problème ouvert avec prise d’initiative -
Énoncé.
OAB est un quart de disque de centre O et de rayon 1 dm.
M est un point de ce quart de cercle.
N est le projeté orthogonal de M sur le segment [OA].
Peut-on trouver une position du point M pour que l’aire du triangle OM N soit maximale ?
B
b
b
b
O
M
b
b
N
A
................................................................................................................
Une solution.
−→ −−→
Notons α une mesure en radian de l’angle orienté OA , OM . Par définition, on a ON = cos α et M N = sin α.
C’est donc que l’aire F (α) du triangle OM N rectangle en N est donnée par :
F (α) =
1
1
× ON × M N = cos(α) × sin(α).
2
2
Déterminer si l’on peut trouver une positionï du point
M pour que l’aire du triangle OM N soit maximale revient
ò
π
donc à déterminer s’il existe un réel α ∈ 0 ;
tel que F (α) soit maximal. En d’autres termes, il s’agit de
2
ò
ï
π
.
déterminer si la fonction F admet un maximum sur l’intervalle 0 ;
2
Pour cela, on peut avoir le réflexe de se lancer dans le calcul de la dérivée de F . Mais les dérivées des fonctions
cosinus et sinus ne sont pas au programme de 1ère S (elles s’étudient en TS).
Néanmoins, on dispose de la formule de duplication du sinus : sin(2α) = 2 sin(α) cos(α).
1
F (α) peut alors s’écrire sous la forme : F (α) = sin(2α).
4
π
(2π).
2
π
π
1
1
π
1
On peut alors facilement remarquer que si α = alors 2α = et donc F (α) = sin(2α) = sin( ) = .
4
2
4
4
2
4
1
π
C’est donc bien qu’en α = , la fonction F admet un maximum égal à .
4
4
Ccl. Ainsi, il existe effectivement
une
position
du
point
M
pour
que
l’aire du triangle OM N soit maximale.
−→ −−→
π
Cette position est caractérisée par OA , OM =
(2π), c-à-d que M est l’intersection de la bissectrice de l’angle
4
÷ avec le quart de cercle.
droit AOB
Or, on sait que la plus grande valeur que peut prendre un sinus est 1 et sin X = 1 ⇔ X =
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Une autre solution.
Notons x = ON . Puisque M décrit le quart de cercle OAB de rayon 1, on a x ∈ [ 0 ; 1 ].
D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OM N rectangle en N , on a aussi :
MN =
p
OM 2 − ON 2 =
p
1 − x2 .
Du coup, l’aire (en dm2 ) du triangle OM N est donnée par :
G(x) =
1
1 p
ON × M N = x 1 − x2 .
2
2
Déterminer si l’on peut trouver une position du point M pour que l’aire du triangle OM N soit maximale revient
donc à déterminer s’il existe un réel x ∈ [ 0 ; 1 ] tel que G(x) soit maximal. En d’autres termes, il s’agit de
déterminer si la fonction G admet un maximum sur l’intervalle [ 0 ; 1 ].
Pour cela, on peut avoir le réflexe de se lancer
dans le calcul de la dérivée de G.
Mais savoir dériver une fonction comme
x 7→
p
1 − x2
n’est pas au programme de 1ère S (cf TS).
On peut toutefois utiliser un logiciel de calcul
formel comme Xcas pour étudier les variations
de G sur [ 0 ; 1 ].
Xcas fournit les renseignements ci-contre :
On déduit de ces résultats le tableau de variation de G sur [ 0 ; 1 ] :
G′ (x)
G
√
2
2
0
x
+
0%
0
1
4
1
−
&0
1
On retrouve alors l’aire maximale que peut atteindre le triangle OM N . Cette aire maximale est atteinte lorsque
4
√
√
…
√
2
2
1
2
ON =
. On a alors M N = 1 − ON = 1 − =
.
2
2
2
π
◊
Dans ce cas, on a ON = M N et le triangle OM N est isocèle rectangle en N . Par suite, M
ON = rad, ce qui
4
correspond bien à la position de M trouvée dans la 1ère solution proposée. . .
⋆
⋆
⋆
⋆
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