Exercice 1

PCSI. 98/99.
Physique
Devoir surveillé N°2.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous
forme littérale la plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute
réponse non justifiée sera considérée comme fausse.
Toutes les applications numériques seront effectuées dans le système international d’unités. Il
ne sera pas tenu compte des applications numériques ne comportant pas d’indications d’unités.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Exercice 1. Mouvement d’une sphère dans le liquide d’un bassin de stockage.
Une pièce sphérique homogène S, de masse m et de rayon a, pénètre verticalement dans le
bassin de stockage, rempli sur une hauteur h, d’un liquide de masse volumique .
Le centre de la pièce « plonge » à l’instant t = 0 en O, à la distance a de la surface libre du
liquide à l’intérieur du bassin, avec une vitesse verticale de plongée vo.
On tiendra compte de la force de viscosité f = -kv opposée au déplacement et proportionnelle à
la vitesse de S ( k est une constante positive ). On rappelle que la poussée d’Archimède est
égale et opposée au poids du volume de liquide déplacé.
On donne :
m = 1,4 kg ; a = 3,5 cm ;  = 860 kg.m-3 ; k = 0,5 SI ; vo = 2 m/s ; g = 9,8 m.s-2.
1. Ecrire l’équation v(t) de l’évolution au cours du temps de la vitesse du centre G de S
dans le liquide en faisant intervenir la vitesse limite vL de S.
2. Si le bassin a une hauteur infinie, calculer la vitesse limite vL et le temps  au bout
duquel cette vitesse limite est atteite à 1% près.
3. Déterminer la loi z(t) du déplacement vertical de S dans le liquide, comptée à partir de
O.
4. Montrer que le temps T, mis par la pièce pour se mouvoir de O jusqu’au fond du
bassin, obit à une équation du second degré si on se contente d’un développement
limité de ex limité au second ordre.
x2
exp x  1 + x +
pour x << 1.
2
5. Calculer T et la vitesse de S au contact avec le fond du bassin rempli d’une hauteur de
liquide h = 2,35m ?
Exercice 2. Mouvement et équilibre relatif d’une particule sur une tige en rotation.
Une particule P, de masse m, glisse sans frottement sur une droite (D), qui tourne autour de
l’axe vertical Oz, sans le rencontrer, avec une vitesse angulaire constante . On étudiera le
mouvement relatif de P par rapport au référentiel orthonormé non galiléen (R) Oxyz lié à la
droite (D), où Oy a la direction de la perpendiculaire OA = a, à Oz et (D).
Soit  l’angle constant que fait (D) avec le plan horizontal xOy. On pose AP = r.
Voir schéma page suivante.
On désignera par g l’accélération de la pesanteur et par u le vecteur unitaire de (D).
On supposera le référentiel terrestre galiléen.
1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans (R) et en tenant compte
de la relation R.u = 0 qui traduit que la réaction R est orthogonale à (D) du fait de
l’absence de frottement, montrer que le mouvement relatif de P dans (R) obéit à une
équation différentielle du second ordre du type : r  r   .
On exprimera les constantes  et  en fonction de ,  et g.
2. En déduire la loi r(t) du mouvement. ( Comme les conditions initiales ne sont pas
données, on ne cherchera pas à exprimer les différentes constantes qui apparaissent
dans l’expression de r(t) ).
3. Déterminer la position Po où la particule est en équilibre relatif.
4. Pour déterminer la stabilité de cet équilibre, on imagine un petit déplacement  autour
de la position d’équilibre, tel que r = ro + .
Déterminer l’équation différentielle vérifiée par .
Déterminer (t) et conclure sur la stabilité de la position d’équilibre relative.
Exercice 3. Pont de Wheatstone généralisé.
On considère le pont de Wheatstone généralisé où chacune des branches peut contenir des
générateurs, des récepteurs et des résistances. La résistance R1 est réglable.
1. En appliquant les lois de Kirchhoff, déterminer l’expression de R1, en fonction de R2,
R3 et R4, pour que le courant i qui circule dans la branche MN soit indépendant de la
f.é.m E et de la résistance R de la branche AB.
Exprimer i dans ces conditions.
On considère maintenant le montage suivant:
où E’ et R’ sont la f.c.é.m et la résistance interne d’un électrolyseur dont la caractéristique est (
en convention récepteur) :
On néglige les résistances internes des trois générateurs de f.é.m E, E1 et E3 ( Attention
l’orientation de E3 a été modifiée). Les deux potentiomètres sont tels que la somme des
résistances des branches AM et AN demeure constante lorsque x varie, x désignant la
résistance de la branche AM ( 0 < x < R’’ ).
2. Utiliser le théorème de Thévenin pour déterminer l’expression de i(x) dans le cas où i
circule effectivement de M vers N.
3. Déterminer la valeur maximale de x pour qu’il en soit ainsi.
E = 10 V ; E1 = 6 V ; E3 = 4 V ; E’ = 2 V ; R’ = 4  ; R’’ = 11  .
On considère maintenant le montage ci-dessous : le générateur a une f.é.m E et une résistance
interne négligeable. Entre les points M et N est branché un voltmètre de résistance posée
infinie.
On donne : E = 6 V ; R’ = 25  ; R2 = 16  ; R3 = 10  , R4 = 20  .
Les résistances R2, R3 et R4 demeurent invariantes, tandis que la résistance R1 varie avec la
température  ( en degré Celsius ) suivant la loi R1 = R1O ( 1 +  ), avec  = 0,004. On
équilibre le pont de Wheatstone lorsque R1 plonge dans un bain à 0°C.
4. Déterminer l’indication V du voltmètre en fonction de la température  du bain.
Déterminer la valeur de R1O.
5. Pour une température  donnée, montrer que ce dispositif présente une sensibilité
maximale ( Vmaximum ) pour une valeur du rapport y = R4/R2 qu’on exprimera en
fonction de .