TP n°=3 : Mesures à l`oscilloscope, résonances

Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
TP n°=3 : Mesures à l’oscilloscope, résonances
Objectif du TP :
Le but de la manipulation consiste à étudier un circuit RLC afin de tracer d’une part la courbe de résonance de l’intensité, et d’autre part
la courbe de déphasage en fonction de la fréquence.
Matériel utilisé
- un générateur de tension avec un fréquencemètre intégré : Δf = ± 1Hz (la fréquence est affichée à l’unité près)
- un oscilloscope : on ne considère que l’incertitude sur la mesure, soit une demi-graduation
- une bobine d’inductance L = 100 ± 1 mH (car incertitude de 1%)
- un condensateur de capacité variable réglée à 𝐶 = 60.1 ± 0.6 𝑛𝐹
- une résistance variable réglée à 𝑅 = 200 ± 2 𝛺
Exercice de préparation :
a) Sens de variation du déphasage
1
1
1
1
Soit 𝑓(𝜔) = 𝑅 ∗ (𝐶𝜔 − 𝐿𝜔) = 𝑅 ∗ (𝐶 ∗ 𝜔−1 − 𝐿𝜔) avec ω la pulsation.
1
1
La fonction 𝑓(𝜔) est dérivable, on a alors 𝑓 ′ (𝜔) = 𝑅 ∗ (− 𝐶 ∗ 𝜔−2 − 𝐿)
Or R, C et L sont positives donc 𝑓 ′ (𝜔) est négative, 𝑓(𝜔) est décroissante.
On a tan(∅(𝜔)) = 𝑓(𝜔) or 𝑓(𝜔) est décroissante et la fonction tangente est croissante.
∅(𝜔) est décroissante : le déphasage est une fonction décroissante de la pulsation ω.
1
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
2
b) Détermination de la bande passante en hertz
On sait que Δω est la bande passante en pulsation, c’est-à-dire une vitesse angulaire en radians par seconde. On cherche à exprimer la
bande passante en hertz, c’est-à-dire une fréquence en « nombre de tours » par seconde.
Un tour par seconde correspond à 2π radians par seconde.
On a donc : ∆𝜔 = ∆𝑓 ∗ 2𝜋 avec ∆𝜔 = 𝑅/𝐿
𝑅
 ∆𝑓 = 2𝜋𝐿
1. Mesure de la fréquence de résonance de l’intensité
On souhaite mesurer la fréquence de résonance 𝑓𝑜, c’est-à-dire la fréquence pour laquelle le
déphasage entre le courant et l’intensité est nul.
Pour cela, on réalise un montage RLC et on branche l’oscilloscope de manière à pouvoir observer en
voie I la tension entre la sortie du générateur et la masse, et en voie II la tension entre l’entrée de la
résistance et la masse.
Ensuite, on fait varier la fréquence jusqu’à observer un déphasage nul et on relève la valeur de la
fréquence. On effectue 10 mesures afin d’avoir une meilleure précision. On fait la moyenne de nos
10 valeurs, on trouve alors : 𝑓(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒) = 1961.7 𝐻𝑧
Incertitude sur 𝑓(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒) :
|𝑓𝑚𝑎𝑥 − 𝑓𝑚𝑖𝑛|
= ±2.5 𝐻𝑧
2
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
 𝒇(𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓é𝒆) = 𝟏𝟗𝟔𝟏. 𝟕 ± 𝟐. 𝟓 𝑯𝒛
On calcule également la valeur théorique de la fréquence de résonance :
𝑓(𝑡ℎé𝑜) = 𝜔0/2𝜋 avec 𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
1
 𝑓(𝑡ℎé𝑜) = 2𝜋√𝐿𝐶 = 2053.0 𝐻𝑧
Incertitude sur 𝑓(𝑡ℎé𝑜) :
∆𝑓(𝑡ℎé𝑜) 1 ∆𝐿 ∆𝐶
1
= ∗ ( + ) = ∗ (1% + 1%) = 1%
𝑓(𝑡ℎé𝑜)
2
𝐿
𝐶
2
1
 ∆𝑓(𝑡ℎé𝑜) = 100 ∗ 𝑓(𝑡ℎé𝑜) = ± 20.5 𝐻𝑧
 𝒇(𝒕𝒉é𝒐) = 𝟐𝟎𝟓𝟑. 𝟎 ± 𝟐𝟎. 𝟓 𝑯𝒛
Commentaires : Notre valeur mesurée est plus faible que la valeur théorique, on peut alors supposer que nous avons fait des erreurs de
lecture, notamment pour l’appréciation du déphasage nul. En effet, nous avons remarqué que lorsque l’opérateur changeait, nous
n’avions pas les mêmes valeurs pour la fréquence de résonance. Cependant nous retrouvons le même ordre de grandeur pour nos
valeurs de résonance sur les courbes qui suivent dans la suite du TP : on peut alors penser que la différence entre théorie et
manipulation est due au matériel.
Finalement, on peut penser que c’est l’accumulation des erreurs liées au matériel et à nos lectures qui a causé cette différence entre nos
valeurs expérimentales et théoriques.
3
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
4
2. Courbes de l’amplitude et du déphasage de l’intensité
a) Etalonnage de l’oscilloscope
Avant d’effectuer les mesures nécessaires pour tracer les courbes, il faut vérifier l’étalonnage en tension verticale ainsi que l’étalonnage
en temps.
Nous isolons l’oscilloscope du reste du circuit, nous utilisons ensuite la sortie « calibrator » 2Vpp afin de vérifier que la tension crête à
crête est de 2V. Cependant, nous n’avons pas réussi à faire l’étalonnage de l’oscilloscope : le signal affiché ne correspondait pas du tout à
ce que nous aurions dû observer. Au lieu d’observer des traits réguliers et décalés successifs, nous observions un signal instable
s’apparentant à des petites vaguelettes. C’est cette défaillance de l’oscilloscope qui ne nous a pas permis de réaliser cette étape de la
manipulation. Les valeurs de la suite du Tp s’en trouveront sûrement affectées.
b) Courbe de résonance
On va tracer la courbe d’amplitude en fonction de la fréquence sur l’intervalle [0 ; 2fo]. Le montage est réalisé avec une tension de 1.1 V
délivrée par le générateur.
Le montage réalisé permet d’afficher sur l’écran de l’oscilloscope deux courbes de tension : la tension I, correspondant aux dipôles R, L, C
en série, et la tension II, correspondant à la tension aux bornes de la résistance R. Cette tension II nous permet aussi de nous donner
l’allure de la courbe de l’intensité du courant, car d’après la loi d’Ohm on a U résistance = R.I, donc il n’y a pas de déphasage entre la tension
aux bornes de la résistance (tension II) et l’intensité du courant.
Pour chaque valeur de fréquence, on procède comme suit afin de pouvoir relever les tensions I et II, le déphasage, et de déduire
l’intensité I du courant traversant ces dipôles en série.
On commence par régler l’oscilloscope de manière à observer sur l’écran une période, et de façon à obtenir l’origine des deux courbes au
centre de l’écran.
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
5
On relève ensuite pour chaque fréquence la valeur des tensions I et II grâce aux divisons présentes sur l’écran de l’oscilloscope, ainsi que
le déphasage entre ces deux courbes. Nous faisons attention au signe du déphasage, qui correspond à l’avance de phase de l’intensité par
rapport à la tension du générateur.
Une fois la tension II relevée, on peut en déduire la valeur de l’intensité du courant I qui traverse les dipôles R, L, C en série : I =
U(résistance)/R
On obtient donc les valeurs suivantes :
fréquence (Hz)
tension I (V)
tension II (V)
intensité du courant :
I= U(II)/R (mA)
500
0,44
0,04
0,2
700
0,44
0,08
0,4
900
0,44
0,1
0,5
1000
0,44
0,12
0,6
1200
0,44
0,16
0,8
1400
0,42
0,24
1,2
1600
0,414
0,35
1,75
1800
0,38
0,58
2,9
1900
0,36
0,72
3,6
2000
0,36
0,73
3,65
2100
0,36
0,64
3,2
2200
0,39
0,51
2,55
2400
0,4
0,34
1,7
2600
0,42
0,26
1,3
2800
0,42
0,21
1,05
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
3000
0,42
0,16
6
0,8
La tension I devrait être constante car elle correspond aussi à la tension aux bornes du générateur (voir schéma du montage). Au
voisinage de la fréquence de résonance (fo = 1960 Hz), il est particulièrement important que cette tension soit constante car c’est le
moment où on observera les plus légers déphasages entre la courbe de tension et d’intensité.
On trace la courbe représentant l’évolution de l’intensité en fonction de la fréquence appliquée. On obtient :
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
7
évolution de l'intensité en fonction de la fréquence
Intensité (mA)
4
Io = 3.7 mA
3.5
3
Io/√(2)=2.62mA
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
500
1000
1500
f1 = 1750 Hz
2000
fo = 1960 Hz
2500
f2 = 2390 Hz
3000
3500
fréquence (Hz)
La fréquence de résonance correspond à la fréquence pour laquelle l’intensité est la plus élevée, on lit Io = 3.7 mA donc fo = 1960 Hz.
La largeur de la bande passante est délimitée par les fréquences correspondant à Io/√(2)=2.62 mA.
Sur le graphique, on lit les valeurs des fréquences correspondantes à ces deux valeurs : f1 =1750 Hz et f2 = 2390 Hz.
La largeur ∆f de la bande passante est donc ∆f = f2 – f1 = 640 Hz.
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
8
Pour les incertitudes, on prend une demi-graduation de l’échelle de notre graphique, soit ± 25 Hz.
f1 = 1750 ± 25 Hz et f2 = 2390 ± 25 Hz
∆(∆𝑓) = 2 ∗ 25 = 50 𝐻𝑧
∆f = 640 ± 50 Hz
Calcul théorique de la largeur de la bande passante :
𝑅
∆𝑓 = 2𝜋𝐿 = 318 𝐻𝑧.
Incertitude sur f :
∆(∆𝑓)
𝑓
=
∆𝑅
𝑅
+
∆𝐿
𝐿
= 2%
Donc ∆(∆𝑓) = ± 6 𝐻𝑧
∆𝑓 = 318 ± 6 𝐻𝑧
Il y a un fort écart entre nos valeurs théoriques et expérimentales, qui peut provenir de différentes sources :
Tout d’abord, rappelons que nous n’avons pas pu étalonner la sensibilité verticale de notre oscilloscope, car il était défaillant. D’autre
part, nous n’avons pas pu ajuster la tension aux bornes du dipôle RLC : même en ajustant la tension délivrée par le générateur, le signal
ne variait pas avec la tension du générateur. Ainsi, pour chaque fréquence nous n’étions pas en mesure de maintenir constante la valeur
de la tension I.
c) Courbe du déphasage ф en fonction de la fréquence
Pour réaliser cette courbe, on mesure pour chaque fréquence le déphasage ф entre les courbes de tensions I et II (on rappelle que la
courbe de tension II a la même allure que l’intensité du courant). A l’aide des divisions du cadran de l’oscilloscope, on détermine l’avance
de phase ф en ms en mesurant la longueur IJ, c'est-à-dire la distance séparant les points des deux courbes qui coupent l’axe des
abscisses. On convertit ensuite ce déphasage en degrés, grâce à la formule 𝜙(°) = 360 ∗ 𝐼𝐽 ∗ 𝑓, où f est la fréquence utilisée.
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
9
On obtient donc le tableau suivant :
fréquence (Hz)
déphasage (ms)
déphasage (degrés)
500
0,16
91,2
900
0,06
90,72
1300
0,02
74,88
1500
0
75,6
1750
-0,005
50,4
1956
-0,01
0
2100
-0,01
-37,8
2300
-0,015
-57,96
2400
-0,0175
-69,12
2500
-0,02
-72
2700
-0,0125
-77,76
3200
-0,01
-83,6
3600
-0,006
-88,5
4000
-0,004
-89
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
Evolution du déphasage entre l'intensité et la tension I en fonction de la fréquence
déphasage
+91°
+45°
-45°
-89°
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10 0
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
10
fo = 1956 Hz
f1 = 1780 Hz
200
400
600
f2 = 2150 Hz
800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 2,200 2,400 2,600 2,800 3,000 3,200 3,400 3,600 3,800 4,000 4,200
fréquence (Hertz)
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
11
On trace alors la courbe du déphasage, exprimé en degrés, en fonction de la fréquence. On sait que la fréquence de résonance
correspond à la fréquence pour laquelle le déphasage est nul. D’autre part, on sait que la bande passante correspond à la différence de
fréquences qui ont un déphasage compris entre +45° et -45°.
On lit donc les valeurs des fréquences sur le graphique pour ф = +45°, 0° et -45°. On obtient ainsi :
fo = 1956 Hz
Incertitude sur f1, f2, f0 et Δf :
f1 = 1780 Hz
f = f2-f1 = 370 Hz
f2 = 2150 Hz
Notre axe est gradué de 50 en 50 Hz donc notre incertitude est de ± 25 Hz pour chacune des fréquences lues.
fo = 1956 ± 25 Hz
f1 = 1780 ± 25 Hz
f2 = 2150 ± 25 Hz
f = f2-f1 = 370 ± 50 Hz
fo (en Hz)
Δf (en Hz)
1960  25
1956 ± 25
2053.0 ± 20.5
640 ± 50
370 ±50
318 ± 6
Commentaires pour ces deux méthodes :
Evolution de l’intensité en fonction de la fréquence
Evolution du déphasage en fonction de la fréquence
Valeur théorique
Nos deux valeurs expérimentales de f0 sont cohérentes entre elles et avec la première partie du TP. En revanche elles sont assez
éloignées de la valeur théorique : on a une erreur moyenne sur les deux méthodes de 4.6 % soit ± 94 Hz.
Pour Δf, on constate que les deux méthodes donnent des résultats très différents : la largeur de la bande passante double quasiment avec
l’utilisation de la courbe d’intensité. Par rapport à la valeur théorique, la méthode utilisant la courbe de déphasage semble la plus
adaptée. Avec la première méthode on trouve une erreur relative de 101%, soit ± 321 Hz, alors qu’avec la seconde, notre erreur est de
16.3%, soit ± 52 Hz. L’erreur constatée pour la première méthode est démesurément grande, elle peut provenir de différentes sources :
comme expliqué précédemment, nous n’avons pas pu étalonner l’oscilloscope ni garder une tension constante en voie I. Ces deux
facteurs cumulés, on peut comprendre que notre erreur soit si importante.
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
3. Mesure du facteur de surtension
Dans cette partie, on cherche à mesurer le facteur de surtension. On modifie donc le circuit de
manière à pouvoir observer la tension aux bornes du condensateur.
Ensuite on règle la fréquence sur la fréquence de résonance, soit 1960 Hz et on mesure la
tension totale du circuit ainsi que la tension aux bornes du condensateur pour calculer le
facteur de surtension :
𝑄(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é) =
𝑈𝑐 9.6
=
= 5.33
𝑈
1.8
Incertitude sur 𝑄(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é) :
∆𝑄(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é)
𝑄(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é)
=
∆𝑈𝑐
𝑈𝑐
+
∆𝑈
𝑈
avec ΔU = ΔUc = ½ graduation = ± 0.2 V (nous étions au calibre 2V/DIV)
∆𝑈𝑐
 ∆𝑄(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é) = ( 𝑈𝑐 +
∆𝑈
𝑈
) ∗ 𝑄(𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é) = ± 0.71
 𝑸(𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓é) = 𝟓. 𝟑𝟑 ± 𝟎. 𝟕𝟏
On calcule maintenant la valeur théorique du facteur de surtension.
1
𝐿
1
0.1
On sait que 𝑄(𝑡ℎé𝑜) = 𝑅 ∗ √𝐶 = 200 ∗ √60.1∗10−9 = 6.45
12
Jeudi 10 juin 2010
Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C
Université de Technologie de Compiègne
Incertitude sur 𝑄(𝑡ℎé𝑜) :
∆𝑄(𝑡ℎé𝑜) ∆𝑅 1 ∆𝐿 ∆𝐶
1
=
+ ∗ ( + ) = 1% + ∗ (1% + 1%) = 2%
𝑄(𝑡ℎé𝑜)
𝑅
2
𝐿
𝐶
2
2
 ∆𝑄(𝑡ℎé𝑜) = 100 ∗ 𝑄(𝑡ℎé𝑜) = ± 0.13
 𝑸(𝒕𝒉é𝒐) = 𝟔. 𝟒𝟓 ± 𝟎. 𝟏𝟑
Commentaires : Nos valeurs théoriques et expérimentales sont cohérentes, la valeur mesurée étant un peu moins précise puisque son
incertitude est plus élevée.
Le facteur de surtension permet de savoir si la résonance est aigüe ou floue : en effet, plus le facteur de surtension Q est élevé, (c'est-àdire plus la résistance R est faible) plus la bande passante est étroite. On parle alors de résonance aigüe.
Ici, nous remarquons que notre facteur de surtension est faible, ce qui est en cohérence avec l’étalement de notre bande passante.
Conclusion générale :
Lors de ce TP, nous avons étudié la résonance d’un circuit RLC, Nous retiendrons qu’il existe deux méthodes pour déterminer la
fréquence de résonance et la largeur de la bande passante : soit en étudiant les variations de l’intensité du courant en fonction de la
fréquence, soit en traçant la courbe de déphasage du courant par rapport à la tension. Ici la méthode utilisant la courbe du déphasage
semble la plus adaptée et exacte.
D’autre part, nous avons pu estimer la qualité du circuit grâce au facteur de surtension qui juge de l’étroitesse de la bande passante.
13