3. Nombres décimaux

6ème
CHAPITRE 3
NOMBRES DECIMAUX : LECTURE, ECRITURE ET COMPARAISON
I. Lecture et écritures des nombres décimaux
Sur cette droite graduée, on a complété les cadres par l’abscisse des points correspondants :
Exemple
27 +
A
B
5
10
28
27
27 +
1
10
27 +
4
10
27 +
4
8
+
10 100
4
8
+
se lit « vingt-sept et quatre dixièmes et huit centièmes »
10 100
4
8
en chiffres : le nombre 27 + +
s’écrit : 27,48 . C’est une écriture décimale de ce nombre.
10 100
en lettres : le nombre 27 +
Une écriture décimale est constituée : - d’une partie entière
- et d’une partie décimale (qui s’arrête) séparées par une virgule.
La position d’un chiffre indique ce qu’il représente (unités, dixièmes ou centièmes, etc.) :
Changer un chiffre de position, c’est changer la valeur de ce nombre !
PARTIE ENTIERE
PARTIE DECIMALE
unité de
mille
centaines
dizaines
UNITES
× 1000
× 100
× 10
×1
2
7
dixièmes
×
,
.
1
10
4
centièmes
×
1
100
millièmes
×
1
1 000
8
en décomposant : le nombre 27,48 peut se décomposer de plusieurs façons :
4
8
+
= 27 + 4 × 0,1 + 8 × 0,01 = 27 + 0,4 + 0,08
10 100
« vingt-sept et quatre dixièmes et huit centièmes »
27,48 = 27 +
On dit :
48
= 27 + 48 × 0,01 = 27 + 0,48
100
« vingt-sept et quarante huit centièmes »
27,48 = 27 +
On dit :
2 748
(dans 27,48 il y a 2 748 centièmes)
100
27,48 est le nombre qui, multiplié par 100, donne 2 748
27,48 =
2 748
est l’écriture fractionnaire.
100
II. Des nombres égaux et des zéros « inutiles »
On ne change pas la valeur d’un nombre décimal en ajoutant ou supprimant des zéros :
à droite de la partie décimale ;
ou à gauche de la partie entière.
Exemples
Remarques
III.
5,300 = 5,3
82,9 = 82,90
12 = 12,0
025,4 = 25,4
0,82 ≠ 82
609 ≠ 69
920,3 ≠ 92,3
Les chiffres n’ont pas
changé de position !
Attention, des chiffres ont
changé de position !
Multiplier et diviser par 10, 100 et 1 000
Multiplier par 10 ou 100 ou 1 000 revient à décaler la virgule de 1 ou 2 ou 3 rangs vers la droite.
Exemples
12,536 × 10 = 125,36
« le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines »
11,6 × 100 = 1 160
« le chiffre des unités devient le chiffre des centaines »
0,13 × 1 000 = 0 130 = 130 « le chiffre des unités devient le chiffre des unités de mille »
Diviser par 10 ou 100 ou 1 000 revient à décaler la virgule de 1 ou 2 ou 3 rangs vers la gauche.
Exemples
47,3 ÷ 10 = 4,73
3,6 ÷ 100 = 0,036
234 ÷ 1 000 = 0,234
Multiplier par 0,1
Multiplier par 0,01
revient à
revient à
Multiplier par 0,001 revient à
Exemples
9,3 × 0,1 = 9,3 ×
« le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes »
« le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes »
« le chiffre des unités devient le chiffre des millièmes »
1
10
1
multiplier par
100
1
multiplier par
1 000
multiplier par
1
= 9,3 ÷ 10 = 0,93
10
ou encore à
diviser par 10
ou encore à
diviser par 100
ou encore à
diviser par 1 000
24 × 0,001 = 24 ×
1
= 24 ÷ 1 000 = 0,024
1 000
IV. Comparer des nombres décimaux
Méthode
Pour comparer des nombres décimaux,
On compare d’abord leur partie entière ;
S’ils ont des parties entières égales, alors :
o méthode 1 : on complète la partie décimale avec des zéros « inutiles » ;
o ou méthode 2 : on compare chiffre par chiffre en allant de gauche à droite.
Exemples
3,452 < 3,46
21,097 < 21,3
car 3,452 < 3,460 (méthode 1) ou car 5 < 6 (méthode 2)
car 21,097 < 21,300 (méthode 1) ou car 0 < 3 (méthode 2)
V. Encadrement, troncature et valeur arrondie à l’unité
Définition
Encadrer un nombre,
c’est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre.
Exemple
27 < 27,681 < 27,9 est un encadrement du nombre 27,681.
Définition
Encadrer à l’unité un nombre,
c’est trouver deux entiers consécutifs (qui se suivent) et qui encadre ce nombre.
Exemple
Un encadrement à l’unité de 27,681 est :
27 < 27,681 < 28
Remarques De la même manière : un encadrement au dixième de 27,681 est :
27,6 < 27,681 < 27,7
un encadrement au centième de 27,681 est :
27,68 < 27,681 < 27,69
Définition
La troncature à l’unité d’un nombre est le nombre entier qui le précède (juste inférieur).
Exemple
La troncature à l’unité de 27,681 est 27.
Remarques De la même manière : la troncature au dixième de 27,681 est 27,6.
la troncature au centième de 27,681 est 27,68.
Définition
La valeur arrondie à l’unité est le nombre entier le « plus proche ».
Exemple
La valeur arrondie à l’unité de 27,681 est 28.
En effet : 27,681 > 27,5 donc 27,681 est plus proche de 28 que de 27…
Remarques De la même manière : la valeur arrondie au dixième de 27,681 est 27,7.
la valeur arrondie au centième de 27,681 est 27,68.