DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE (II) Distance d'un point à une droite Soient (d) une droite et A un point n'appartenant pas à cette droite. Prenons un segment élastique, ne pouvant que s'allonger ou raccourcir, et dont nous fixons une extrémité au point A et l'autre au point M, mobile sur (d). Lorsque le point M parcourt la droite (d), y a t-il des endroits où ce segment élastique est le plus court possible ? Propriété 1. Si H est l'intersection de (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par A et M un point de (d) distinct de H alors AH<AM. Démonstration. Plaçons le point A' symétrique de A par rapport à (d), la droite (d) est donc la médiatrice de [AA']. Tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment, donc M est équidistant des extrémités A et A'. D'autre part, d'après l'inégalité triangulaire, on a : AA' < AM + A'M. Or, AA' = 2AH et AM = A'M, donc 2AH < 2AM Et ainsi on en déduit que AH < AM, autrement dit H est le point de (d) le plus proche de A. Définition. La distance entre un point et une droite est la distance entre ce point et le point de la droite le plus proche. Ce point le plus proche est l'intersection de la droite et de la perpendiculaire à cette droite passant par le point donné. Tangente à un cercle Définition 1. Une tangente à un cercle est une droite n'ayant qu'un seul point d'intersection avec ce cercle. Ce point d'intersection est appelé point de contact entre la droite et le cercle. Voici comment construire une tangente d'après un ouvrage du XVIIe siècle : D'un point A donné à volonté 1tirer une ligne droite AB qui touche la circonference d'un cercle à un seul point ? Tirez une ligne droite de A au centre C du cercle : diviſez-là en deux également au point D, duquel comme centre & de l'intervale DC, faites un arc qui coupera la circonference du cercle au point B, tirez la ligne droite AB, elle touchera le cercle. Clermont, La geometrie pratique de l'ingenieur ou l'art de mesurer, 1693. 1 Ce point A est supposé hors du disque. L'auteur propose ensuite la construction dans le cas d'un point E sur le cercle. ―1― Définition 2. L'extrémité d'un rayon d'un cercle est l'extrémité du segment appartenant au cercle. Propriété 2. Si une droite est tangente à un cercle alors cette droite coupe perpendiculairement l'extrémité d'un rayon du cercle. Démonstration. (Raisonnement par l'absurde) Supposons que (d) n'a qu'un seul point d'intersection A avec un cercle de centre O. Supposons également que cette droite ne soit pas perpendiculaire au rayon [OA]. Soit H l'intersection de (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par O. Les points H et A sont distincts. Soit B le symétrique de A par rapport à (OH), on a alors OA = OB, autrement dit B est un point du cercle. Le point B appartient également à (d). Ainsi (d) a deux points d'intersection distincts avec le cercle, ce qui est absurde. Donc (d) est perpendiculaire au rayon [OA]. Réciproque. Si une droite coupe perpendiculairement l'extrémité d'un rayon d'un cercle alors cette droite est tangente au cercle. Démonstration. Supposons que la droite (d) coupe perpendiculairement l'extrémité A du rayon [OA] d'un cercle de centre O. Soit P un point quelconque de (d), distinct de A. D'après la propriété 1, on a OP > OA. Or le cercle de centre O et de rayon OA est l'ensemble des points M tel que OM = OA, donc P n'est pas un point du cercle. Ainsi la droite (d) n'a qu'un seul point d'intersection avec le cercle, cette droite est tangente au cercle. Bissectrice d'un angle Propriété 3. Si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors ce point est équidistant des côtés de l'angle. Démonstration. Plaçons un point M sur la bissectrice d'un angle de sommet A, et de ce point on mène les perpendiculaires (MB) et (MC) aux côtés de l'angle. Sachant que la bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle, le point B' image de B par rapport à (AM) appartient nécessairement à [AC). De plus, les symétries conservent les angles, donc : ̂ MBA = ̂ MB' A = 90°. On en déduit que le point B' est confondu avec C. Enfin, les symétries conservent les longueurs, donc MB = MC. Réciproque. Si un point est équidistant des côtés d'un angle alors ce point appartient à la bissectrice de l'angle. ―2― Démonstration. Sachant que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux, dans MBC on a ̂ Par suite les angles MBC = ̂ MCB . ̂ complémentaires ABC et ̂ ACB sont égaux. Deux angles égaux d'un triangle font un triangle isocèle, on déduit que AB = AC. Les triangles ABM et ACM sont donc identiques et les angles ̂ MAB ̂ et MAC compris entre des côtés correspondants sont égaux. Ainsi (AM) est la bissectrice de ̂ BAC . Bissectrices d'un triangle et cercle inscrit Définition. On dit qu'un cercle est inscrit dans un polygone lorsque les côtés de ce polygone sont tangents au cercle. Propriété 4. Les bissectrices d'un triangle sont concourantes, leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit du triangle. Démonstration. Soit I le point d'intersection de la bissectrice issue de A et de celle issue de B. D'après la propriété 3, on IE = IF et IF = ID. On en déduit que IE = ID et donc, d'après la réciproque de la propriété 3, le point I appartient également à la bissectrice issue de C. Ainsi les trois bissectrices sont concourantes en I. D'autre part, la droite (AC) coupe perpendiculairement l'extrémité E du rayon [IE] du cercle de centre I, donc, d'après la réciproque de la propriété 2, (AC) est tangente au cercle. De même (AB) et (BC) sont tangentes au cercle. Ainsi le cercle de centre I et de rayon IE est inscrit dans le triangle ABC. ―3―