TD 3 : Matrices et Déterminants Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

TD 3 : Matrices et Déterminants
Exercice 1
Determiner (selon le réel a) le rang des matrices suivantes:

1
 2
A=
 3
4
2
3
4
5
Exercice 2
Soit M =
3
4
5
6
A
C
4
5
6
7
B
D




1 1 0 1
5
1
 3 2 −1 3 
6 
 et C =  2
, B = 
 a 3 −2 0 
7 
−2
−1 0 −4 3
8

4 −1 2 4
0 −3 −1 7  .
3 2
1 4
une matrice carrée décomposée en blocs. On suppose
que A est inversible. Montrer que rang(M ) = rang(A) + rang(D − CA−1 B).
Exercice 3
Soit M ∈ Mn (K) une matrice de trace nulle.
1) Montrer qu'il existe une matrice colonne X1 telle que M X1 ne soit pas
colinéaire à X1 .
!
2) En déduire que M est semblable à une matrice M =
0
..
.
...
M1
. où
M1 ∈ Mn−1 (K) et tr(M1 ) = 0.
3) Montrer que M est semblable à une matrice diagonale nulle.
4) Montrer qu'il existe deux matrices carrées A et B telles que M = AB −
BA.
Exercice 4
Soit M une matrice carrée réelle de taille n antisymétrique.
1) Montrer que In + M est inversible( si M X = 0, calculer t (M X)(M X)).
2) Soit A = (In − M )(In + M )−1 . Montrer que t AA = In .
Exercice 5
Soit A une matrice carrée de taille n sur un corps commutatif K telle que
Ak = In (k 6= 0). On pose B = In + A + A2 + . . . + Ak−1 . Soient u, v les
endomorphismes de Kn de matrices A et B dans la base canonique.
1) Montrer que : Ker(u−id) = Imv, Im(u−id) = Kerv, Kerv ⊕Imv = Kn .
2) En déduire: trB = k rangA.
Exercice 6
1) Soit f l'application linéaire de R4 dans R3 dont la matrice relativement

5 −7 7
1 −1 3 .
1 −1 2 1
4
aux bases canoniques (I, J, K, L) et (i, j, k) est  2
On dénit deux nouvelles bases: B = (I, J, 4I + J − 3L, −7I + K + 5L) et
B 0 = 4i + 2j + k, 5i + j − k, k).
Quelle est la matrice de f relativement à B et B0 .
1

1
 0
2) Soient A = 
 0
0
et B sont semblables.
1
1
0
0
0
1
1
0


1
0
 0
0 
 et B = 
 0
1 
0
1
2
1
0
0

4
3 
. Montrer que A
2 
1
3
2
1
0
Exercice 7
Calculer les déterminants suivants:
a 1 0 0 ...
1 a 1 0 ...
0
1
p
Cn
Cn
...
Cn 0 1 a 1 ...
p
0
1
Cn+1
Cn+1
. . . Cn+1 ..
..
.. , 0 0 1 a . . .
.
.
...
. .. .. .. ..
. . ...
p
0
1
. .
Cn+p
Cn+p
. . . Cn+p
0 0 ... 0 ...
0 0 ... 0 ...
0
1
2 . . . n − 1 .. 1
0
1
. ..
.
2 .
2
1
1
..
.. ..
.
.
.
1 n − 1 ... 2
1
0 0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
1 a 1
0 1 a
, a1
b2
..
.
..
.
bn
b1
a2 + b2
...
Exercice 8
Soient A, B ∈ Mn (R).
1) Montrer que si AB
alors det(A2 + B 2 ) ≥ 0.
= BA 2) Si on pose M =
A
B
B
A
, montrer que detM = det(A + B)det(A − B).
3) Montrer que si A est triangulaire alors comA l'est aussi.
4) Calculer com(com(A) dans le cas où A est inversible.
5) Si rangA ≤ n − 2, démontrer que comA = 0.
6) Si rangA = n − 1, démontrer que rang(comA) = 1.
7) Dans le cas général, démontrer que com(comA) = det(A)n−2 A.
8) Si A et B sont inversibles, démontrer que com(AB) = (comA)(comB).
Exercice 9
Soient
A, B,C, D ∈ Mn (K) avec A inversible et AC = CA. On considère
M=
A
C
B
D
∈ M2n (K). Montrer que det(M ) = det(AD − CB).
Exercice 10
Soient u, v deux endomorphismes d'un C-espace vectoriel E de dimension
nie, u inversible, v nilpotent et uov = vou.
1) Démontrer que det(v) = 0. Chercher le polynôme caractéristique de v et
en déduire que det(idE + v) = 1.
2) Démontrer que det(u + v) = detu.
3) Si F et G sont supplémentaires et stables par un endomorphisme quelconque f de E , alors detf = (detf )|F (detf )|G .
2
... ...
b2 . . .
..
.
...
..
.
bn
b1
b2
..
.
bn−1
an + bn
,