Matrice de Gram

Matrice de Gram
Mohamed Ait Lhoussain
5 décembre 2011
Soit E un espace préhilbertien réel.
Soit B = (uj )1≤j≤p une famille de vecteurs de E La matrice G = (gij ) avec gij = hui |uj i
pour tout i, j ∈ {1, ..., p} est une matrice carrée de taille p appelée matrice de Gram de
la famille B.
PROPOSITION 1
Le rang de G est égal au rang de la famille B
Preuve:
Soit F = V ect{u1 , ..., up } et n = dim F et soit alors (e1 , ..., en ) une base orthonormale de F . Soit A la matrice de Mn,p (R) dont les termes aij sont définis par
n
X
uj =
aij ei . Il est clair que rg(A) = n car le rang de la famille de ses colonnes
i=1
est n. On peut facilement voir que G =t AA en effet : gkl = huk |ul i =
n
X
aik ail
i=1
qui est la terme (t AA)kl . Le lemme suivant établit le reste de la preuve :
LEMME 1
Pour toute matrice A ∈ Mnp (R) on a : rg(t AA) = rg(A)
Preuve:
On a rg(t AA) ≤ rgA car pour tout X ∈ Mn1 (R), on a si AX = O alors
AAX = O donc ker A ⊂ ker(t AA) et par le théorème du rang, on a le résultat.
Réciproquement si t AAX = O alors t X t AAX = 0 donc ||AX|| = 0 et alors
AX = O. Ainsi les rang de A et de t AA sont égaux.
-Remarquons tout de suite que si la famille (u1 , ..., up ) est liée alors la rang de la matrice
de Gram est strictement inferieur à sa taille et par suite elle n’est pas inversible et alors
det G = 0.<
> Si par contre la famille (u1 , ..., up ) est li
e alors F = V ect{u1 , ..., up } est de dimension p et par suite la matrice A est une matrice
carée inversible, et comme G =t AA on a alors det G = (det A)2 > 0. -Résumé : Si la
famille (u1 , ..., un ) est liée alors det G = 0 et si cette famille est li
e alors det G > 0.
t
1
THEOREME 1
Soit (E, h|i) un espace préhilbertien réel et soit F un sous(espace vectoriel de E engendré
par p vecteurs lin"aiarement indépendants u1 , ..., up avec p un entier naturel non nul.
Alors, pour tout x ∈ E on a :
s
|G(u1 , ..., up , x)|
d(x, F ) =
|G(u1 , ..., up )|
où |G(u1 , ..., up )| désigne le détérminant de la matrice de Gram des vecteurs u1 , ..., up
(appelé determinant de Gram).
Preuve:
Soit π la projection othogonale de E sur F et n = x − π(x). On sait déjà que
d(x, F ) = ||n|| -On a :
hu1 |u1 i · · · hu1 |xi ..
..
..
|G(u1 , ..., up , x)| = .
.
.
hx|u1 i · · · hx|xi -Remarquons que pour tout vecteur y ∈ F on a :
hy|xi = hy|x0 i
où x0 = π(x) et que :
||x||2 = ||x0 ||2 + ||n||2
, de sorte que le determinant ci-dessus vaut :
hu1 |u1 i · · · hu1 |x0 i
..
..
..
|G(u1 , ..., up , x)| = .
.
.
hx|u1 i · · · hx0 |x0 i
hu1 |u1 i
..
+
.
hx|u1 i
···
..
.
···
||n||2 0
..
.
Alors
|G(u1 , ..., up , x)| = |G(u1 , ..., up , x0 )| + ||n||2 |G(u1 , ..., up )|
et comme x0 ∈ F on a : |G(u1 , ..., up , x0 )| = 0 Ainsi on a la formule désirée
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