Matrices équivalentes

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Enoncés
1
Matrices équivalentes
Exercice 1
[ 00703 ]
[Correction]
(a) Montrer qu’une matrice A ∈ Mn (K) est non inversible si, et seulement si, elle est
équivalente à une matrice nilpotente.
(b) Soit f : Mn (K) → K une application vérifiant : f (On ) = 0, f (In ) , 0 et pour tout
A, B ∈ Mn (K),
f (AB) = f (A) f (B)
Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si, et seulement si, f (A) , 0.
Exercice 2 [ 02602 ] [Correction]
Soit A ∈ Mn (R) une matrice de rang r. Déterminer la dimension de l’espace
{B ∈ Mn (R) | ABA = On }
Exercice 3 [ 01602 ] [Correction]
Soient A, B ∈ Mn (K).
(a) Justifier qu’il existe U, V ∈ GLn (K) tels que
rg(UA + BV) = min(n, rg A + rg B)
(b) On suppose rg A + rg B ≥ n. Montrer qu’il existe U, V ∈ GLn (K) tels que
UA + BV ∈ GLn (R)
Exercice 4
[ 03808 ]
[Correction]
(a) Montrer que si C ∈ Mn (R) vérifie :
∀X ∈ Mn (R), det(C + X) = det X
alors elle est nulle (on pourra étudier le rang de C).
(b) Montrer que si A et B de Mn (R) vérifient :
∀X ∈ Mn (R), det(A + X) = det(B + X)
alors A = B.
Exercice 5 [ 01290 ] [Correction]
Soit A ∈ Mn,p (K) de rang r. Montrer qu’il existe des matrices B et C respectivement dans
Mn,r (K) et Mr,p (K) telles que A = BC.
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Corrections
Corrections
2
et en posant U = R−1 P et V = S Q−1 , on obtient U, V ∈ GLn (R) telles que
rg(UA + BV) = min(n, r + s)
Exercice 1 : [énoncé]
(a) Si A n’est pas inversible alors rg A < n. Or il est possible de construire une matrice
nilpotente de rang égal à rg A. Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si,
elles ont le même rang, on peut conclure que A est équivalente à une matrice
nilpotente. La réciproque est immédiate.
(b) Si A est inversible alors f (A) f (A−1 ) = f (In ) = 1 donc f (A) , 0. Si A n’est pas
inversible alors A est équivalente à une matrice nilpotente B. Pour celle-ci, on a
f (B) = 0 car f (Bn ) = f (B)n . Puisqu’on peut écrire A = PBQ avec P et Q inversibles,
on peut conclure f (A) = 0.
(b) Si r + s ≥ n alors min(n, r + s) = n et ce qui précède conduit à une matrice inversible.
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Posons r = rg C. On peut écrire C = QJr P avec P, Q inversibles et
!
I
(0)
Jr = r
(0) On−r
Posons alors X = QJr0 P avec
Exercice 2 : [énoncé]
!
Or,n−r
et donc il existe des matrices
On−r,r On−r
P, Q inversibles vérifiant A = QJr P. Par suite ABA = On ⇐⇒ Jr PBQJr = On . Via
l’isomorphisme B 7→ PBQ, l’espace {B ∈ Mn (R) | ABA = On } est isomorphe à
{M ∈ Mn (R) | Jr MJr = On }.
En écrivant la matrice M par blocs, on
! vérifie que les matrices M vérifiant Jr MJr = On
Or ∗
sont les matrices de la forme
. On en déduit
∗ ∗
dim {B ∈ Mn (R) | ABA = On } = n2 − r2 .
La matrice est équivalente à la matrice Jr =
Ir
Exercice 3 : [énoncé]
(a) Posons r = rg A et s = rg B. Les matrices A et B sont respectivement équivalentes
aux matrices
!
!
Ir
Or,n−r
On−s On−s,s
0
Jr =
et J s =
On−r,t On−r
O s,n−s
Is
Jr0
O
= r
(0)
(0)
In−r
!
Puisque A + X = QIn P = QP, la matrice A + X est inversible et donc
det X = det(A + X) , 0.
On en déduit que la matrice Jr0 est l’identité et donc r = 0 puis A = On .
(b) Quand X parcourt Mn (R) alors Y = B + X parcourt Mn (R) et en posant C = A − B,
on obtient
∀Y ∈ Mn (R), det(C + Y) = det Y
Ce qui précède permet alors de conclure.
Exercice 5 : [énoncé]
Comme rg(A) = r, il
! existe (P, Q) ∈ GLp (K) × GLn (K) tel que A = QJr P.
Ir
Posons D =
∈ Mn,r (K) et E = Ir Or,p−r ∈ Mr,p (K).
On−r,r
On a A = BC avec B = QD ∈ Mn,r (K) et C = EP ∈ Mr,p (K)
Il existe donc P, Q, R, S ∈ GLn (R) telles que
PAQ = Jr et RBS = J s0
et alors
PAQ + RBS = Jr + J s0
qui est une matrice de rang min(n, r + s).
On peut aussi écrire
(R−1 P)A + B(S Q−1 ) = R−1 (Jr + J s0 )Q−1
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