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Chapitre 4
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Calcul matriciel
Notions fondamentales • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Proposition (Espaces vectoriels de matrices)
L’ensemble Mn,p (K) muni des opérations + et · précédentes est un espace vectoriel sur K.
dimK Mn,p (K) = n × p
Proposition (Structure d’espace vectoriel de L(E, F ))
– L’ensemble L(E, F ) muni des opérations + et · définies précédemment est un espace vectoriel
sur K.
– Si dim E = p et dim F = n et que l’on fixe des bases B et B 0 de E et F respectivement, alors
l’application :
MB,B 0 : L(E, F ) −→ Mn,p (K)
f
7−→ MB,B 0 ( f )
est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, l’espace L(E, F ) est de dimension finie et
dim L(E, F ) = dim Mn,p (K) = n × p.
∀i ∈ v1, nw, ∀ j ∈ v1, qw, ci j = ai1 b1 j + · · · + ai p b p j =
p
X
aik bk j
k=1
Proposition (Propriétés du produit matriciel)
Le produit matriciel est associatif (on peut déplacer les parenthèses) et distributif par rapport à
l’addition (on peut développer). Il commute avec la multiplication par un scalaire (on peut déplacer
un scalaire dans un produit de matrices).
Proposition L’application t : Mn,p (K) −→ M p,n (K)est une application linéaire.
t
A
7−→
A
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Matrices carrées
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Proposition (Propriétés de Mn (K))
L’ensemble Mn (K) des matrices carrées à coefficients dans K est stable par addtition et produit
matriciel.


1
0
..
 (diagonale de 1) est neutre pour le produit matriciel dans Mn (K).
La matrice I n = 
.
0
1
On l’appelle matrice identité d’ordre n.
Cours de mathématiques, Spé PC – [Raphaël Dieu - 12/2016]
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Proposition (Identités remarquables)
Si A et B dans Mn (K) commutent, c’est-à-dire AB = BA, alors on a :
p X
p k p−k
– Formule du binôme : ∀p > 0, (A + B) =
A B
k
k=0
p
– L’identité remarquable : Ap − B p = (A − B)(Ap−1 + Ap−2 B + · · · + B p−1 )
Définition et proposition (Matrice inversible)
Une matrice A ∈ Mn (K) est inversible s’il existe B ∈ Mn (K) telle que AB = I n . On a alors aussi
BA = I n et on note B = A−1 .
Caractérisation des matrices inversibles
Une matrice A ∈ Mn (K) est inversible si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée.
(i) Son noyau est nul (ses colonnes sont linéairement indépendantes),
(ii) Son rang est égal à n (ses colonnes engendrent Kn ),
(iii) Son déterminant est non nul (ses colonnes forment une base de Kn ).
Définition (Sous-espace stable par un endomorphisme)
On dit qu’un sous-espace F de E est stable par f si pour tout x ∈ F , on a f (x) ∈ F . Dans ce cas, la
restriction de f à F est un endomorphisme de F appelé endomorphisme induit par f sur F .
Proposition (Caractérisation matricielle de la stabilité)
Un sous-espace F de E est stable par f si et seulement si la matrice A de f dans une base adaptée
à F est triangulaire par blocs, c’est-à-dire de la forme :
A0
A=
0

‹
B
, avec A0 ∈ M p (K), p = dim F
C
A0 est la matrice de l’endomorphisme induit par f sur F .
Proposition
Soit E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ F p une décomposition de E en somme directe, alors f stabilise chacun
des sous-espaces Fi si et seulement si sa matrice dans une base adaptée à la somme directe est
diagonale par blocs, c’est à dire de la forme :
A
0
1

A=
A2
0
..



.
Ap
où Ai est une matrice carrée de taille dim Fi .
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Chapitre 4 – Calcul matriciel
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Les déterminants • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Proposition et définition (Déterminant d’une matrice carrée)
Il existe une unique application det : Mn (K) → K, A 7→ det(A) telle que det(I n ) = 1, det est linéaire
par rapport à chaque colonne de sa variable A et antisymétrique par rapport aux colonnes de A.
det(A) est appelé déterminant de la matrice A.
Théorème (Caractérisation de l’inversibilité)
Soit A ∈ Mn (K), alors A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
Proposition (Déterminant d’un produit ou d’un inverse)
Soient A, B ∈ Mn (K), alors det(AB) = (det A)(det B). Si A est inversible, alors det(A−1 ) =
1
·
det(A)
Proposition (Développement selon une ligne ou une colonne)
Avec les notations précédentes, on a
∀i ∈ v1, nw, det(A) =
n
X
ai j γi j
(développement selon la ligne i)
j=1
∀ j ∈ v1, nw, det(A) =
n
X
ai j γi j
(développement selon la colonne j)
i=1
Définition (Déterminant d’une famille de vecteurs)
On appelle déterminant de la famille (u1 , . . . , un ) dans la base B le déterminant de sa matrice
dans B,
€
Š
detB (u1 , . . . , un ) = det MB (u1 , . . . , un )
Théorème (caractérisation des bases)
La famille (u1 , . . . , un ) est une base de E si et seulement si detB (u1 , . . . , un ) 6= 0.
Cours de mathématiques, Spé PC – [Raphaël Dieu - 12/2016]
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