Démonstration

Sommaire
1 Proposition mathématique.
1.1 Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La cause et la conséquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Rédaction d’une proposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
4
2 Prouver qu’une proposition est fausse.
5
3 Prouver qu’une proposition est juste.
7
4 Propriété.
8
5 Démonstration.
10
5.1 A quoi ça sert ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Comment rédiger une démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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Chapitre 1
Proposition mathématique.
1.1
Définition et exemples.
Une proposition mathématique est une phrase juste ou fausse. la proposition
est soit juste soit fausse, il n’y a pas d’autre possibilité. Elle ne peut pas être
juste et fausse.
exemples :
“1 + 3 = 7” est une proposition fausse.
Cette proposition reste toujours fausse.
“Si deux droites sont sécantes 1 alors elles sont perpendiculaires 2 .”
Cette proposition est une fausse.
Dans la figure suivante, les deux droites sont sécantes,
mais ici, elles ne sont pas perpendiculaires.
Figure 1.1 – Droites sécantes
Cette proposition est fausse, car pour certaines figures (comme celle-ci) la phrase
est fausse.
1. Sécantes : Droites qui ont un point d’intersection.
2. Perpendiculaires : Droites qui forment un angle droit (de 90°).
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
“Si deux droites sont perpendiculaires, alors elles sont sécantes”
Cette proposition est juste.
Elle reste toujours juste, quelque soit la figure que l’on trace.
Figure 1.2 – Droites perpendiculaires
“Un nombre est divisible 3 par deux si son chiffre des unités est pair.”
Cette proposition est juste
Elle reste toujours juste, quelque soit le nombre que l’on choisi.
Certaines propositions semblent être certaine fois juste et certaine fois fausse.
En mathématique, il suffit qu’une proposition soit fausse ne serait-ce qu’une
seule fois pour être considérée comme une proposition fausse.
3. Divisible : Un nombre est divisible par un autre si le reste de la division donne 0.
12 est divisible par 2 car 12 : 2 donne un reste nul. 13 n’est pas divisible par 2 car 13 : 2 donne
un reste de 1.
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
1.2
La cause et la conséquence.
Vous le savez, bien sûr, la cause précède toujours la conséquence (je fais une
bétise, c’est la cause, je me fais gronder c’est la conséquence.)
En mathématiques, cette règle s’applique aussi.
par exemple, si je choisis un nombre dont le chiffre des unités est 0 (c’est la
cause), ce nombre est divisible par 5 (c’est la conséquence)
1.3
Rédaction d’une proposition.
Il est plus simple de rédiger une proposition mathématique en utilisant les
mots “si“ et ”alors“.
En effet, cette façon de rédiger permet de repérer plus facilement la cause et la
conséquence de la proposition.
Exemples :
”Si un nombre est divisible par deux alors il se termine par un chiffre
pair.“
La cause est un nombre qui se divise par deux, et la conséquence est que
ce nombre se termine par un chiffre pair.
”Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes.”
La cause c’est deux droites perpendiculaires, et la conséquence est qu’elles
sont sécantes.
bien sûr, on est pas obligé de suivre cette règle, il existe plein de propriétés
qui ne se rédigent pas de cette façon.
”Dans tous les triangles, la somme des angles est de 180°”
Dans cette proposition, il est plus difficile de retrouver la cause et la conséquence.
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Chapitre 2
Prouver qu’une proposition
est fausse.
Pour prouver qu’une proposition est fausse, il suffit donner un exemple qui
met en defaut la proposition
exemple :
Proposition n°1 : “Si un nombre entier est inférieur à 70, alors il est
inférieur à 68.”
La cause de cette proposition est que le nombre choisi doit être inférieur
à 70.
Choisissons le nombre 69. 69 est bien inférieur à 70, mais il n’est pas inférieur à
70.
Dans le cas de 69, la conséquence de la proposition n’est pas remplie.
69 est un exemple qui ne “marche pas”, c’est un contre-exemple.
Grace à ce contre exemple, on peut prouver que cette proposition est fausse.
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
Proposition n°2 : “Si AB = AC 1 alors A est le milieu du segment
[BC].”
Pour cette proposition, la cause c’est de construire trois points tels que
AB = AC.
On peut faire de nombreuses figures. mais que pensez de celle là ?
Figure 2.1 – Distance à un point
Un contre exemple peut être une figure codée.
1. Longueur d’un segment : La longueur du segment [AB] se note AB.
Par exemple, pour traduire la phrase ”Le segment [AB] mesure 5 cm”, on peut écrire AB = 5
cm.
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Chapitre 3
Prouver qu’une proposition
est juste.
Pour prouver qu’une proposition est juste, c’est plus difficile que de prouver
qu’une proposition est fausse.
En effet, un ou plusieurs exemples ne suffisent pas pour prouver que la proposition est toujours juste.
Exemple de proposition. “Si la somme de ses chiffres d’un nombre entier
est un multiple de trois, alors ce nombre est divisible par trois 1 ”
Si on choisit les nombres 702 et 312. Ils sont divisibles par trois car la somme
de leurs chiffres est un multiple de trois.
La somme des chiffres de 702 est 7+0+2 = 9 or 9 est un multiple de 3 (9 = 3×3).
La somme des chiffres de 312 est 3+1+2 = 6 or 6 est un multiple de 3 (6 = 3×2).
Ces exemples sont justes, mais rien ne dit que c’est le cas pour tous les nombres
entiers divisibles par trois.
Pour prouver que cette proposition est juste, il faudrait pouvoir donner tous
les exemples. (ce qui est impossible)
1. Multiple : Un multiple de trois est un nombre qui peut se décomposer en 3 fois quelque
chose.
18 est un multiple de 3, car 18 = 3, de même pour 21, car 21 = 3.
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Chapitre 4
Propriété.
Une proposition juste s’appelle aussi une propriété ou une définition.
Une propriété permet de faire une justification avec certitude.
La structure d’une propriété est la suivante :
Si
cause
(Condition d’utilisation de la propriété)
alors
conséquence
(But de la propriété)
Exemples :
Propriété n°1 “Si un triangle est rectangle, alors il a un angle droit.”
Le but de cette propriété est de démontrer qu’un angle est un angle droit.
La condition pour pouvoir utiliser cette propriété est : que le triangle est rectangle.
Propriété n°2 “Si un triangle a un angle droit, alors c’est un triangle rectangle.”
Le but de cette propriété est de prouver qu’un triangle est rectangle.
La condition pour pouvoir utiliser cette propriété est : que le triangle a un angle
droit.
Propriété n°3 “Si Deux droites sont paralléles entre elles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.”
Le but de cette propriété est de justifier que deux droites sont perpendiculaires.
Les conditions pour pouvoir utiliser cette propriété sont de savoir que deux
droites sont paralléles et qu’une troisième droite est perpendiculaire
à une des deux premières.
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
Les propriétés n°1 et n°2 sont différentes,
elles n’ont pas le même but, ni les mêmes conditions d’utilisation.
Elles ont un “air de famille”, car la cause de la propriété n°1 est la conséquence
de la n°2, et la la conséquence de la propriété n°1 est la cause de la n°2.
Si
un triangle est rectangle
alors
(Condition d’utilisation de la propriété)
Si
un triangle a un angle droit
il a un angle droit.
(But de la propriété)
alors
c’est un triangle rectangle.
On dit qu’elles sont réciproques.
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Chapitre 5
Démonstration.
5.1
A quoi ça sert ?.
Pour prouver qu’une proposition est vraie, on peut utiliser une démonstation. Pour cela, il faut utiliser une propriété.
Pour répondre à des questions du type “Prouver que ...” ou “Démontrer que
...” ou “Justifier que ...”, il faut utiliser une démonstration.
Une démonstration est constituée de trois parties :
1. Les hypothèses (les conditions d’utilisation de la propriété données par
l’énoncé ou le codage de la figure)
2. Une propriété (apprise dans la leçon, son but correspond à la conclusion)
3. La conclusion (c’est généralement la réponse à la question posée)
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
5.2
Comment rédiger une démonstration.
Voici un énoncé :
Soit trois droites, (d1 ), (d2 ) et (d3 ) telles que (d1 )⊥(d3 ) ; (d1 ) // (d2 ) ; et deux
points A et B sur (d1 ) tels que AB = 4cm. Prouver que (d2 )⊥(d3 )
Pour commencer on fait un plan de démonstration au brouillon.
On remplit ce plan de démonstration en commançant par la fin.
en 3e
Les conditions
d’utilisations :
(d1 ) // (d2 )
et (d1 )⊥(d3 )
en 2e
La propriété :
Si 2 dr. sont para.
alors toute perp. à l’une
est parallèle à l’autre.
On cherche une propriété dont le but
est de prouver que des droites sont perp.
(on peut abréger ici)
en 1er
La conclusion :
(d2 )⊥(d3 )
C’est la réponse à la question posée
(si suffit de lire la question)
Il ne reste plus qu’à rédiger la réponse en suivant le plan.
On sait que (d1 ) // (d2 ) et (d1 )⊥(d3 )
Or si deux droites sont parallèles entre elles, alors toute perpendiculaire à l’une
est perpendiculaire à l’autre.
Donc (d2 )⊥(d3 )
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
Voici un autre énoncé :
ABCD est un losange tel que AB = 3cm, démontrer que (AC)⊥(BD).
On fait un plan de démonstration au brouillon.
On remplit ce plan de démonstration en commançant par la fin.
en 3e
Les conditions
d’utilisations :
en 2e
La propriété :
Si un quadrilatère est un losange
alors ses diagonales sont perp.
On cherche une propriété dont le but
est de prouver que des droites sont perp.
(on peut abréger ici)
en 1er
La conclusion :
(AC)⊥(BD)
C’est la réponse à la question posée
(si suffit de lire la question)
ABCD est un losange
Il ne reste plus qu’à rédiger la réponse en suivant le plan.
On sait que le quadrilatère ABCD est un losange
Or si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Donc (AC)⊥(BD)
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