Chapitre 4 : Fonctions trigonométriques

Remarque pour tout le chapitre :
1.
Les résultats seront donnés si possible sous forme exacte, autrement, sauf indication contraire,
avec une approximation de 2 décimales
Compléter le tableau (approximation à 5 décimales):
π
8
Radians
Degrés
2.
3,5°
1
2
90
3°21'
Transformer les mesures des angles données en degrés, minutes et secondes sous forme décimale
(précision à 2 décimales) :
a) 34°15’
3.
b) 83°54'
c) 73°28'17''
d) 243°12'47''
Déterminer la mesure, en degrés, minutes et secondes des angles dont la mesure est donnée en
degrés sous forme décimale.
a) 82,43
4.
b) 43,7116
c) 12,4319
d) 0,01894
L'angle au sommet d'un triangle isocèle mesure 72°. Calculer la mesure en radians, des angles de ce
triangle (on donnera la valeur exacte et la valeur approximée avec 3 décimales).
5.
Calculer la mesure, en degrés puis en radians, des angles en un sommet des figures suivantes :
a) triangle équilatéral
6.
b) carré
c) pentagone régulier
d) hexagone régulier
Calculer, à 1 mm près, le diamètre d'un cercle sur lequel
a) un arc de 1° mesure 2 mm
b) un arc de 0,04° mesure 0,03 mm
7.
On appelle mille marin la distance entre deux points d'un méridien terrestre dont la différence de
latitude est de 1’. Sachant que la longueur d'un méridien terrestre est de 20000 km, calculer la mesure
en mètres d'un mille marin.
8.
Deux points distincts sur le même méridien terrestre ont des latitudes qui diffèrent de 1,5°. Quelle est
leur distance ? (prendre 6730 km pour le rayon de la terre).
9.
La distance à vol d'oiseau entre Lausanne et Genève est de 50 km. Quel est l'angle entre une verticale
à Lausanne et une verticale à Genève ?
10.
Dessiner un cercle trigonométrique et placer les angles suivants :
a)
b)
c)
d)
π
2
π
3
π
4
π
6
Collège Sismondi
π
2π
3
2π
4
2π
6
3π
2
5π
3
π
2
π
5
2π
8π
3
5π
4
12π
5
5π
2
−π
3
−π
4
−π
6
3π
11π
3
5π
2
3π
4
2012 - 2013
7π
2
15π
3
−12π
4
−7π
5
9π
2
p.1
11.
a) Pour chacun des angles ci-dessous et donner la mesure en degré (multiple de 15) et en radian.
b) Dessiner les segments représentant respectivement le sinus (en bleu), le cosinus (en noir) et la
tangente (en rouge).
12.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
En utilisant les données de l’exercice ci-dessus, compléter le tableau suivant :
x
0
π
2
π
3π
2
2π
cos(x)
sin(x)
Collège Sismondi
2012 - 2013
p.2
13.
Calculer au moyen de la calculatrice (approximation à 5 décimales) :
a) sin 80°
b) sin 440°
c) cos 32°
d) cos -32°
e) sin -32°
f) sin 32°
g) tg 900°
h) tg 180°
i) tg 1800°
j) tg 990°
k) sin 25°12'
l) sin 0,3π
o) cos 89°59'10''
p) tg 89°59'10''
t) -cos 72°
m) cos
14.
15.
π
3
n) sin
π
3
q) -sin 72°
r) sin -72°
s) cos -72°
u) sin 115°
v) sin 4,8
w) tg
π
2
x) cos
2
5
A l'aide de la table numérique, déterminer les valeurs exactes :
a) tg 0°
b) sin
e) cos 135°
f) tg
π
4
c) tg
π
3
d) sin 30°
π
2
Chercher la mesure en degrés (approximation à 2 décimales), comprises entre 0° et 90° de l'angle α tel
que :
16.
17.
a) sin α = 0,58322
b) sin α = 0,98434
e) tg α = -0,65426
f) cos α = -1,43282
d) cos α = 0,70054
Chercher tous les angles α dont la mesures en degrés, est comprise entre 0° et 360° tel que :
a) sin α = 0,58322
b) sin α = 0,99996
e) tg α = -1,43282
f) tg α = 0,65426
c) cos α = -0,94824
Chercher les mesures en radians, comprises entre 0 et
a) sin α =
18.
c) cos α = 0,94824
1
2
b) cos α = 0,01
d) cos α = -
2
2
€
π
de l'angle α tel que :
2
c) tg α = 1000
d) sin α = 2
Sans utiliser la calculatrice, compléter le tableau suivant par des nombres rationnels ou irrationnels
ayant une forme fractionnaire.
On donne :
2
5
3
sin β =
5
On demande :
π
2
sin α =
0<α<
cos γ = −
π
<β<π
2
π
< γ<π
2
3π
π<δ<
2
tg δ =
Collège Sismondi
1
7
1
3
cos α =
tg α =
cos β =
tg β =
sin γ =
tg γ =
cos δ =
sin δ =
2012 - 2013
p.3
19.
Déterminer les valeurs exactes de sin(x), cos(x) et tg(x) pour les angles x suivants :
a) 225°
e)
b) -135°
15π
4
f) -
c) 150°
3
π π
et x ∈ ]- ;
[. Calculer cos(x) et tg(x)
5
2 2
Soit sin(x) =
21.
Calculer sans l'aide de la table ni de la calculatrice :
22.
7π
6
22π
3
20.
a) tg(
d)
2π
π
7π
2π
2 π
).tg( ) + tg(
) + tg(
).tg ( )
3
6
6
3
6
b) 2.sin(
π
π
4π
).cos( ) - sin()
3
3
3
Soit la fonction f définie par f(x) = sin(x). Compléter le tableau suivant :
x
−
-π
3π
4
−
π
2
−
π
4
0
π
4
3π
4
π
2
π
5π
4
3π
2
7π
4
2π
f(x)
Au moyen du tableau ci-dessus, établir la représentation graphique de la fonction f
23.
a) Même exercice que ci-dessus avec les fonctions f et g définies par f(x) = 2 sin(x) et g(x) = sin(2x).
b) Même exercice avec les fonctions f et g définies par f(x) = cos(x) et g(x) = 2 cos(x).
24.
Sur un même graphique orthonormé, tracer les trois fonctions suivantes définies par leurs images
f(x) = sin(2x)
25.
2
b) f(x) =
1
cos(x)
2
c) f(x) = 1 + cos(x)
2
2
d) f(x) = sin (x) + cos (x)
Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) = sin(x)
27.
et h(x) = sin (x)
Quel est l'ensemble des images des fonctions définies ci-dessous par leurs images :
a) f(x) = sin (x)
26.
2
g(x) = 2 sin(2x)
b) f(x) =
1
cos(x)
c) f(x) = sin(x).tg(x)
Déterminer les périodes des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) = sin(2x)
b) f(x) = 3tg(x)
c) f(x) = 4sin(3x)
d) f(x) =
1
x
cos( )
2
2
e) f(x) = tg(3x)
28.
Faire les croquis (on demande les caractéristiques principales de la courbe représentative) des
fonctions ci-dessous, puis indiquer celles d'entre elles qui sont égales :
a) x  sin(-x)
b) x  sin(x -
e) x  cos(x)
f) x  -cos(x)
Collège Sismondi
π
)
2
c) x  -sin(x +
g) x  cos(-x)
2012 - 2013
π
)
2
d) x  sin(
π
- x)
2
h) x  cos(x +
π
)
2
p.4
29.
Déterminer les périodes des fonctions :
a) x  sin (
30.
2x
)
3
b) x  3cos(
5x
)
2
c) x  -2tg(
3x
)
4
Déterminer la fonction et la période correspondante de chacune des représentations graphiques cidessous (les repères sont normés) :
a)
b)
c)
d)
e)
Collège Sismondi
2012 - 2013
p.5
31.
Déterminer l'expression mathématique et la période des fonctions trigonométriques représentées cidessous.
a)
b)
c)
d)
Collège Sismondi
2012 - 2013
p.6
e)
f)
g)
h)
Collège Sismondi
2012 - 2013
p.7
i)
j)
k)
32.
Résoudre les équations suivantes :
a) sin(x) = 0,8473
(en degrés)
b) tg(t) = -0,9042
(en degrés)
c) cos(x) = 1,352
(en degrés)
d) tg(5t) = 3,492
(en degrés)
(en radians)
f) sin(3t) = -
3
2
(en radians)
(en radians)
h) sin(
e) cos(t) =
g) sin(
1
2
t
1
)=3
2
€
t π
- )=
2 2
2
2
(en radians)
€
Collège Sismondi
2012 - 2013
p.8
#
π&
Soit l'équation sin %5x + (= sin
$
3'
33.
$
π'
&x − ) .
%
6(
% π
(
π 5π
π
+k
et k ∈ Z)
Son ensemble des solutions est S = &− + k ;
' 8
*
2 36
3
€
€
a) Donner (sous forme d'une unique fraction) chacune des solutions correspondantes à k = 0, k = 1 et
k = 2.
€
b) Montrer par le calcul que les deux solutions obtenues pour la valeur 0 de k vérifient l'équation
donnée.
$ 2π '
Soit l'équation sin & x −
) = sin(3x).
%
3 (
34.
% π
(
5π
π
+k
et k ∈ Z)
Son ensemble des solutions est S = &− + kπ;
' 3
*
12
2
€ sur le cercle trigonométrique, les solutions de cette équation.
Représenter
€
Résoudre les équations suivantes :
35.
a) cos(x) = -
1
2
b) 3 tg(x) =
$
π'
c) tg & x − ) = 1
%
2(
€
$
π'
d) tg &2x − ) = tg (4x)
3(
€ %
#
π&
e) cos (3x) = cos % x + (
$
4'
€
€
a)
2
f) 4 cos (x) = 3
€
$
π'
g) sin (2x) = sin & x − )
%
4(
€
# 2π &
i) sin (2x) = sin%
(
$ 3 '
€
#
π&
k) 3 tg % 3x + ( = - 3
$
4'
€
Exemples :
3
#
π&
h) sin (3x) = sin % x + (
$
4'
#π
&
j) sin (3x) = sin % + x(
$2
'
€
€
€
7π &
" t 3π %
#
' + sin % 2t − ( = 0
Résoudre l'équation suivante : cos $ +
#3 4 &
$
6'
t
3π
7π
"
%
#
&
' = - sin % 2t − (
cos $ +
#3 4 &
$
6'
7π &
# #
7π & &
#π #
7π & &
" t 3π %
#
( ( = sin % −2t +
' = sin % − % 2t −
( = cos % − % −2t + ( (
cos $ +
$
6
'
2
$
6 ''
#3 4 &
$
6
'
$
'
$
2π &
" t 3π %
#
' = cos % 2t − ( , d'où :
cos $ +
#3 4 &
$
3'
i)
t
2π
3π
+
= 2t + k.2π
3
3
4
t=
17π
6π
+ k.
20
5
ii)
2π &
t
3π
#
+
= - % 2t − ( + k.2π
$
3'
3
4
t=
23π
6π
+ k.
28
7
Remarque : Les relations entre fonctions trigonométriques se trouvent dans la table numérique.
Collège Sismondi
2012 - 2013
p.9
2
b)
Résoudre l'équation suivante (réponse en degrés) : 3 cos (t) + 8 sin (t) + 1 = 0
2
L'équation peut être écrite sous la forme : 3(1 - sin (t)) + 8 sin(t) + 1 = 0
4 ± 28
3
2
3 sin (t) - 8 sin(t) - 4 = 0. On a donc : sin(t) =
i) sin(t) = -0,43050
t1 = 205,50° + k.360°
ii) sin(t) = 3,09716
impossible
{
.
t2 = 334,50° + k.360°
€
.
}
d’’où S = 205,50°+k 360°;334,50°+k 360°
36.
Résoudre les équations suivantes (réponses en radians) :
#
$
π&
π'
a) cos %2x + ( = sin &5x − )
$
%
3'
6(
c) cos (3x) = sin
€
π
4
d) sin (3x) + cos(2x) = 0
2 €
e) 4 cos (x) - 2( 3 - 1) cos(x) 4
#
π&
b) cos %2x + ( = sin(4x)
$
6'
3= 0
2
2
4
€
3 )sin(x)
-
2
f) 2 cos (x) - 3 cos(x) + 1 = 0
4
g) sin (x)
€ + sin (x) - 2 = 0
i) 4 sin€(x) - 2(1 -
€
2
h) 4 cos (x) - 5 cos (x) + 1 = 0
3= 0
2
j) 2 sin (x) - 5 sin(x) + 2 = 0
2
k) tg (x) - 4 tg (x) + 3 = 0
37.
€
€
Résoudre les équations suivantes (d'abord dans [0;2π], puis dans
a) 2 sin(x) - 1 = 0
b) sin(x).cos(x) = 0
2
d) sin (x) + sin(x) - 2 = 0
2
f) 2 cos (x) = 1 - sin(x)
c) (tg(x) - 1).(4sin (x) - 3) = 0
2
e) 3 cos (x) = sin (x)
g) sin(3x) = -
)
2
2
2
2
h) cos(
x
1
)=
2
2
i) cos(x) = tg(x)
38.
€
Résoudre
les équations suivantes :
a)
c)
e)
g)
39.
#π &
sin (3t) = sin % − t(
$2 '
# 2t π &
" 3t π %
cos % − ( = -cos $ + '
$ 3 4'
# 2 6&
! 5x $
! x$
sin # & + cos # & = 0
" 3%
" 2%
5π
"
%
#π &
+ 2t ' = sin % − t(
cos $
# 6
&
$3 '
€
€
# 2π &
− t( = tg (2t)
b) tg %
$ 3
'
π&
#
#π
&
d) sin % 3x − ( - sin % − 4x ( = 0
$
4'
$5
'
π%
"
f) cos $ 2t + ' + sin(t - 3π) = 0
#
2&
π
"
%
"π
%
h) cos $ t + ' - sin $ + 2t ' = 0
#
3&
#2
&
Résoudre les équations suivantes :
2
a) cos (t) =
1
4
2
#
π&
2
b) sin (2x) = sin2 % x + (
$
4'
2
c) 2 cos (x) - 3 cos(x) + 1 = 0
d) 2 sin (x) - 5 sin(x) + 2 = 0
€ 2
2
e) 3 sin (t) + cos (t) - 2 = 0
€ 2
f) 2 cos (x) - ( 3 + 4)cos(x) + 2
Collège Sismondi
2012 - 2013
€
€
3= 0
p.10
40*. Résoudre les équations suivantes (d'abord dans [0;2π], puis dans
a) sin(2x) + cos(x) = 0
"x%
c) 2 cos 2 $ ' = cos 2 (x) (en degrés)
#2 &
b) sin(2x) = cos(2x)
d) cos(2x) + cos(x) + 1 = 0
41*. Résoudre les inéquations suivantes (x ∈ [0;2π])
€
1
a) cos(x) - ≥ 0
2
c) 3 tg(x) - 1 ≤ 0
3x
x
e) cos(
).cos( ) = 0
€
4
4
b) cos(2x +
π
)>0
3
d) 2 cos(x) +
2> 0
f) 2 cos2(x) - 3 < 0
€
2
g) (tg(x) - 1)(4 sin (x) - 3) > 0
€
)
€
€
42*. Résoudre les équations trigonométriques suivantes pour tous les x tels que 0 ≤ x ≤ 2π
a) sin (2x) = cos (4x)
b) sin (3x) = cos (2x)
2
c) 2 sin (x) + sin (x) = 0
d) 2 tg (x) . sin (x) = tg (x)
43*. Résoudre les équations suivantes dans R:
a) cos(2x) + 2sin(x) =
2
2
c) cos(2x) + 5sin(x) = 3
e)
1
+ tg(x)
€=2
tg(x)
2
2
4
2
h)€ 3 tg (x) - 10 tg (x) + 3 = 0
g) sin (6x) + 2cos (3x) = 2
2
€
i) 4 sin (4x) + 2( 3 +1) sin(4x) +
2
b) sin (2x) + 2cos (x) = 2,25
x
d) 1 - sin( ) = cos(x)
2
π
2
f) 4 sin (x + ) = 1
3
3= 0
€
44*. Résoudre l'équation trigonométrique suivante pour tous les x tels que 0 ≤ x ≤ 2π
€
€
a) tg (2x) + 2 sin(x) = 0
b) sin (5x) - sin (3x) - sin (x) = 0
Formulaire :
sin(x + y) = sin(x).cos(y) + sin(y).cos(x)
cos(x + y) = cos(x).cos(y) - sin(x).sin(y)
tg(x + y) =
tg(x) + tg(y)
1− tg(x). tg(y)
sin(2x)
= 2 sin(x) cos(x)
€
2
2
2
2
cos(2x) = cos (x) - sin (x) = 2 cos (x) -1 = 1 - 2 sin (x)
2tg(x)
tg(2x) =
1− tg 2 (x
€
Collège Sismondi
2012 - 2013
p.11