Le mouvement harmonique simple

§1
Gandalf Optique
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Le mouvement harmonique simple
Introduction
Le §1 s'intéresse au mouvement harmonique simple et aux mouvements d’oscillation en général.
Comme nous le verrons au prochain §, une onde est un assemblage de mouvements d’oscillations, c’est
donc une bonne idée de commencer par là.. Voyons la liste des §§ et donnons des références plus
précises.
§§ Introduction
Aucun morceau du manuel
C’est la mise en place initiale : je parle, je parle, je parle, je bouge, je bouge, je bouge et hop, trois
pages de notes…
§§ Le système bloc ressort
Chapitre 1, sections 1 et 2
La force qui vient d’un ressort, lorsqu’elle fonctionne comme la loi de Hooke, donne au bloc qu’on
lui attache un mouvement d’oscillation très simple : le mouvement harmonique simple. Il est simple
justement parce qu’on peut le représenter par une fonction trigonométrique.
§§ L’énergie dans un MHS
Chapitre 1, section 3
Une discussion rapide sur ce qui arrive à l’énergie mécanique dans un système bloc ressort.
§§ Le pendule simple
Chapitre 1, section 4
Une autre discussion rapide sur le mouvement d’un objet que l’on pend au bout d’une corde.
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Le déphasage est un angle!
Nous avons montré que la représentation mathématique du mouvement de va-et-vient d'objets peut se
faire avec les fonctions sinus et cosinus, à cause de leur nature cyclique. Mais, comme vous le savez,
ces deux fonctions ne sont différentes que par la façon dont elles s'amorcent à l'origine, en dehors de
cette région, elles sont identiques!
On pourrait alors se poser deux questions, la première étant: Pourquoi en avoir inventé deux si elles se
ressemblent tant que ça? La réponse à cette question vient de la nature même des deux fonctions. Dans
ce qui est appelé cercle trigonométrique, les fonctions sinus et cosinus représentent la projection du
rayon tournant sur deux axes perpendiculaires. Malgré leur ressemblance, elles sont donc toutes les
deux nécessaires.
Quant à la deuxième question, elle serait du genre: Pourquoi s'arrêter à deux? En effet, on pourrait
imaginer tout plein de fonctions comme le sinus et le cosinus représentants différentes façons de
commencer à partir de l'origine? Le problème est qu'il faudrait en inventer une infinité! Plutôt que de
faire cela, on a plutôt opté pour une espèce de terme, que l'on appelle le déphasage, et qui permet
d'imaginer toutes ces possibilités, en l'ajoutant à l'argument d'un sinus ou d'un cosinus.
Résumons!
La solution la plus simple à l’équation différentielle du système bloc ressort est :
x = A sin(w t )
Mais, comme nous en avons parlé en classe, cette solution implique que le bloc est au centre à l’instant
initial, se dirigeant vers la droite avec une vitesse de module maximal. Au contraire, si le bloc
commence à osciller lorsque le ressort est étiré de A, la représentation mathématique de son oscillation
sera:
x = A cos(w t )
Si au moment de partir un chronomètre le bloc n'est pas à l’une ou l’autre de ces positions il faut
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connaître sa position et sa vitesse à un moment précis pour définir le f , qui est le déphasage, dans:
x = A cos(w t + f ) ou
x = A sin(w t + f )
Quatre valeurs de φ?
Que ce soit pour le mouvement harmonique ou, comme on le verra bientôt pour la représentation d’une
onde, la recherche de la valeur du déphasage aboutit toujours au point où il faut appliquer une fonction
trigonométrique inverse. Or, il faut savoir que votre calculatrice ne fournit qu'un seul des 4 résultats
possibles. Nous reviendrons plus loin sur la façon de savoir lequel de ces 4 résultats est le bon. Pour
l'instant, concentrons-nous sur une situation concrète. Par exemple, cherchons f dans:
1
= cos f
2
Votre calculatrice vous donnera, après utilisation de la fonction inverse sur le 1/2:
f = 1, 047 qui est en fait
p
3
radians
Mais attention, il faut bien comprendre que nous cherchons un angle dont le cosinus vaut 1/2. Cette
figure, où le cercle trigonométrique est représenté, montre qu'il y en a 3 autres:
Comment alors, choisir le bon ?
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Réglons d'abord le cas des 2 angles négatifs. Ils représentent simplement la différence entre quelque
chose qui est en avance et quelque chose qui est retard. Dans le cas d'un cosinus, c'est tout à fait
équivalent! Cela signifie que pour chaque angle positif, sa valeur complémentaire en négatif a
exactement le même effet dans l'argument du cosinus. On choisit celui des 2 que l'on veut, selon que
l'on veut parler d'un retard ou d'une avance...
Mais il reste tout de même 2 valeurs positives différentes, laquelle choisir? Le secret est dans la sauce,
diront les zaïrois! Ce qui se traduit par: la valeur de la vitesse à l'instant initial fournit la solution. Pour
bien comprendre, reprenons du début en supposant que l'amplitude A est de 2 m, que la fréquence
angulaire w est de 4 rad/s, que la position initiale xo est de 1 m et, finalement, que le bloc se dirige
vers le centre à l'instant initial.
Cette dernière information implique que la composante horizontale de la vitesse doit être négative à
l'instant initial (i.e. le bloc est à droite du point milieu et se dirige vers la gauche). Donc si l'équation
générale de la position est:
x = A cos(w t + f )
Celle de la vitesse sera obtenue en dérivant et donne:
vx = - Aw sin(w t + f )
À l'instant initial (t = 0), cette dernière équation devient:
vx = - Aw sin f
Or, nous venons de dire que la vitesse doit être négative. Il s'ensuit qu'il faut choisir celle des deux
valeurs positives de f qui conduit à une valeur positive du sinus. La bonne valeur est donc p / 3 , ou
son équivalent négatif de -5p / 3 . Si la vitesse initiale avait été positive, nous aurions choisi l'une des
deux autres valeurs de f .
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Guide touristique des exemples du chapitre 1
1.1 à 1.6
Guide touristique des questions, des exercices et des
problèmes du chapitre 1
Ce guide propose un choix de questions, d’exercices et de problèmes.
Les questions sont choisies sur la base de la réflexion qu’elles suscitent. Dans certains cas, la réponse
est claire, pour d’autres, elle est sujette à interprétation. Sauf exceptions, il n’est pas nécessaire de
préparer de façon méthodique une réponse à ces questions pour les examens1.
Les exercices et les problèmes sont choisis dans les sections spécifiées au début de ce Gandalf. La liste
précise dans quel ordre il faut les réaliser et lorsque cela s’avère nécessaire, des clarifications sont
fournies pour vous aider à les comprendre.
Il n’est pas nécessaire de réaliser tous les exercices et tous les problèmes. Il incombe à l’élève de fixer
le nombre d’exercices et de problèmes qu’il réalisera, en fonction de la maîtrise qu’il possède des
notions qui sont couvertes. Évidemment, le fait de ne réaliser aucun exercice ou problème est
extrêmement dommageable à la réussite de ce cours. On ne comprend bien une notion qu’à partir du
moment où l’on a essayé de s’en servir…
Questions
2, 3, 5, 6
1
Cette façon de voir les choses possède un nom, l’approche MG2, du nom des élèves qui l’ont forgé à l’automne 2001 :
Michaluk, Grondin et Girard.
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Exercices
1, 2, 4, 5, 11, 57, 34 à 38, 48, 52 à 55, 7, 8, 56, 46, 47, 9, 10, 3, 20, 21, 16, 17, 18, 14, 15, 19, 79, 78,
30, 27, 22
Problèmes
1, 2
Clarifications
E11
Dans cet exercice, la constante de phase n’a pas à être connue. On peut fonctionner
comme si sa valeur était nulle.
E9 et E19
Pour réaliser ces exercices, il faut bien comprendre les conséquences de l’exemple
1.5. On y montre que l’oscillation d’un bloc à la verticale se fait autour d’un point
qui n’est pas le lieu où le ressort n’est ni étiré ni comprimé. On montre dans cet
exemple comment trouver la position de ce nouveau point auquel on doit associer la
coordonnée
x = 0.
E27
Répondez à la question (c) avant la question (b).
Réponses des exercices pairs
E2
(a) 0,0125 s
(b) 0,0375 s
(c) 0,0125 s
E4
(a) ax = -11,5 m/s 2
(b) t = 0, 201 s
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E8
x(t ) = 0, 0700sin (4t + 3, 44) m
E10
m = 64,3 g k = 3, 66 N/m
E14
(a) K = 579 mJ U = 61,1 mJ
(b) K = 480 mJ U = 160 mJ
(c) t = (2n + 1) ◊ 31 ms
E16
où n Œ \
(a) w A = 314 m/s
(b) E = 4,93 ¥ 10-22 J
(c) w 2 A = 1,97 ¥ 1015 m/s 2
(d) k = 0,395 N/m
E18
(a) aucun effet
(b) aucun effet
(c)
T2
=
T1
3
2
(d) aucun effet
E20
(a) x = -0, 0400 m
(b) vx = ±0, 436 m/s
(c) ax = 2, 44 m/s 2
(d) E = 9,35 mJ
E22
(a) f = 0, 611 rad
(b) E = 10, 7 mJ
(c) h = 2, 74 cm
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q 0 = 0, 262 rad
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E30
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(a) L = 0, 993 m
(b) T2 = 4,90 s
E34
(a) 0,400 s
(b) 0,250 m
(c) p / 4 rad
(d) 3,93 m/s
(e) 61,7 m/s2
E36
(a) 7, 67 ¥ 10 -2 m
(b) 1,12 m/s
(c) –4,91 m/s2
E38
(a) w = 7, 2 rad/s
A = 0,174 m
(b) vx = 0,907 m/s
E46
1,02 s
E48
(a) k = 15,3 N/m
(b) w A = 2, 02 m/s
(c) w 2 A = 18,1 m/s 2
E52
x(t ) = 0,150sin (p t + p ) m
E54
(a) x(t ) = 0,340sin (5, 00t + p / 2) m
(b) w A = 1, 70 m/s
(c) t = 0,943 s
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E56
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(a) 4,50 rad/s
(b) 2,68 cm
E78
9,80 m/s 2
Réponses des problèmes pairs
P2
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f = 1,58 Hz
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