Leçon n°9 − L`espace

Leçon n°9 − L’espace
Le but de ce chapitre est de donner une représentation de l’espace qui nous entoure. Il y a
donc quelques définitions à apprendre, quelques théorèmes qui sont au centre des exercices et
une façon de dessiner les objets de l’espace (perspective cavalière). Il s’agit de créer des
images qui serviront beaucoup à ceux qui continueront en Sciences pour imaginer des espaces
ayant plus de dimensions que celui que nous allons étudier.
Il s’agit donc de construire un modèle représentant l’espace qui nous entoure. Quels sont les
objets de base que nous allons manipuler ?
Comment se coupent-ils ?
Comment peut-on les construire ? etc.
Pour ceux qui ne continueront pas en Sciences, il s’agit surtout d’apprendre à dessiner et à
représenter quelques objets.
Définition 0
L’Espace (E) est un ensemble de points.
Définition 1
Par deux points A et B distincts de l’Espace (E), il ne passe qu’une seule droite (AB).
Définition 2
Par trois points A, B et C distincts de l’Espace (E) et non alignés, il ne passe qu’un seul plan
(P)=(ABC).
Définition 3
Par un point I n’appartenant pas à une droite (D), il ne passe qu’une seule droite parallèle à
(D).
Définition 4
Par un point I n’appartenant pas à un plan (P), il ne passe qu’un seul plan Q parallèle à (P).
Ces définitions en fait sont des axiomes, c’est-à-dire nous ne pouvons pas les démontrer et
tout le monde est d’accord pour les supposer vrais. Il existe d’autres sortes de géométrie, par
exemple, des savants ont imaginé une géométrie sur la sphère (la terre) et dans cette
géométrie, la notion de droite n’existe pas !
Représentation
a) (P)//(Q) ; (D) = (AC) ; (AC)⊂(P) ; ((AC) dans le plan (P)).
I∉(P). La droite (D’) passant par I est parallèle à (D).
b) (D1) et (D2) sont coplanaires.
(D1) et (D3) par exemple sont non coplanaires.
(D1) ∩ (D3) = ∅ mais (D1) non parallèle à (D3).
On notera que, quand (D3) passe sous (P) alors on utilise les pointillés. Ici, (D1) et (D2)
sont sécantes.
c) En seconde, on utilise souvent le tétraèdre :
Exercice 1
P
Nous avons donc un tétraèdre (IABC) et M et N sont définis par :
1
IM = IA et N milieu de [IB].
4
On demande de chercher comment la droite (MN) coupe le plan (P).
((P)= (ABC)).
Il faut remarquer que l’on dessine souvent le plan sur lequel repose le tétraèdre (ici (P)) en
effet c’est pour se repérer, ce plan joue le rôle du plancher, notre œil est donc situé au dessus
du tétraèdre, il faut toujours dessiner avec l’œil au dessus pour « dominer » l’objet.
Dans ce petit exercice, nous voyons que dans (E), il y a des vecteurs comme dans (P) :
( E ) = {les vecteurs de l’Espace}
Théorème1
Si deux plans se coupent, leur intersection est toujours une droite.
Dans l’exercice 1, nous pouvons chercher (MNC) ∩ (P)
d) Nous travaillons aussi sur le cube et sur le parallélépipède rectangle :
H
G
E
F
D
A
C
B
(cube (ABCDEFGH))
H
E
G
F
D
A
C
B
(Parallélépipède rectangle ou
pavé droit (ABCDEFGH))
Théorème 2
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les intersections sont
des droites parallèles.
Exemple : (EFGH)//(ABCD) on a :
(EFBA)∩(EFGH) = (EF) et (EFBA)∩(ABCD)=(AB) alors (AB)//(EF).
e) Nous utilisons aussi le cylindre, le cône ou la sphère :
Exercice 2
Il s’agit de reproduire un assemblage de 18 cubes sachant que l’on a en-levé certains de ces
cubes (6) (Ils sont marqués d’un point). On demande d’effacer les arêtes qui ne sont pas
visibles ou qui se ne sont pas des arêtes vives.
Exercice 3
On considère un cône droit dont le rayon est 1 dm et la hauteur 8 dm, et un cylindre droit dont
le rayon est aussi 1 dm et la hauteur 8 dm.
a) Déterminer le rayon de la sphère qui aura un volume égal à la somme des deux volumes
précédents.
b) On place maintenant ces deux volumes dans un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont L = 8 dm, l = 4 dm et H = 2 dm.
Déterminer en % le volume occupé par la somme des deux autres volumes.
Correction
Exercice 1
On prolonge le plan (ABC) de base, dans la face (IAB), la droite (MN) et la droite (AB) ne
sont pas parallèles car sinon M serait le milieu de [IA], ces deux droites sont donc sécantes :
(MN) ∩ (AB) ={J}. Le point J se trouve dans le plan (ABC) et sur la droite (MN) donc ce
point est le point d’intersection de (MN) avec (ABC).
Pour trouver l’intersection de deux plans, il faut trouver deux points communs à ces deux
plans, l’intersection est alors la droite formée avec ces deux points.
C ∈ (ABC) et C ∈ (MNC) par définition.
J ∈ (ABC) voir question précédente et J ∈ (MNC) car J se trouve sur (MN) qui est une droite
du plan (MNC).
Donc (MNC)∩
∩(ABC) = (JC)
Les vecteurs permettent ici de calculer le vecteur MN en effet ; n’oublions pas que la relation de Chasles est valable dans l’espace.
1
1
MN = IN − IM = IB − IA
2
4
Exercice 2
On efface les arêtes qui ne sont pas visibles sur le derrière ou sur certaines faces.
On peut ici s’entraîner en choisissant d’enlever d’autres cubes.
Exercice 3
Nous cherchons le volume du cône et celui du cylindre :
1
1
8π
1
Vcône =
Aire de base × h = (π r 2 )h = (π1)(8) =
3
3
3
3
2
Vcylindre = Aire de base × h = ( π r )h = π(1)(8) = 8π
8π
8π + 24π 32π
+ 8π =
=
dm3
Somme des deux volumes : S =
3
3
3
4
Le volume d’une sphère est Vs = π r 3 donc nous cherchons r tel que :
3
4 3 32π
4π r 3 32π
πr =
⇔
=
⇔ 4π r 3 = 32π ⇔ 4 r 3 = 32
3
3
3
3
Il faut utiliser la racine cubique :
(Si x3 = a alors une seule solution x = 3 a )
32
donc : r 3 =
=8 ⇔ r =38 =2
4
Le rayon de la sphère sera donc égal à 2 dm soit 20 cm.
Nous retrouvons ici la racine cubique qui est mal connue, enfin beaucoup moins connue que
la racine carrée.
Définissons la :
Soit a un réel quelconque, alors nous pouvons chercher le réel qui multiplié 3 fois par luimême donnera le réel a. Ce nombre se note 3 a , il est calculable pour tout réel a positif ou
négatif.
Exemples :
3
8 = 2 car 2(2)(2) = 8
3
− 1 = −1 en effet (−1)(−1)(−1)= −1
Comment le taper à la machine ? Il suffit de taper x^(1/3), en effet la racine cubique a la
propriété suivante :
3
3
 1
 3
3
 x  = x = x (valable pour tout réel). Voilà donc d’où vient cet exposant fractionnaire,
 
 
Nous retrouverons ces problèmes en terminale lors de l’étude des fonctions puissances.
Les propriétés de calculs sont :
3 a × 3 b = 3 ab a et b étant des réels quelconques.
(3 a )3 = a, ∀ a ∈ R .