Feuille de TD 4

L2 Mathématiques
2011–2012
Algèbre et Arithmétique 3
Feuille n°4 : groupes cycliques, groupes de permutations
Exercices à savoir faire
Exercice 1
18 i π
4iπ
1 Soit ζ = e 13 . Déterminer l’ordre de ζ et de ζ 3 dans C× . Même question avec ζ = e 9 .
2 Sur le cercle unité, dessiner les éléments du groupes des racines 6-èmes de l’unité. Parmi ces
éléments, marquer ceux qui sont d’ordre 6.
Exercice 2
Le groupe Z/2Z × Z/2Z est-il cyclique ? Et le groupe Z/2Z × Z/3Z ?
Exercice 3
Choisir un petit nombre premier p (disons inférieur à 20) et répondre aux questions suivantes :
quels sont les ordres possibles des éléments du groupe (Fp )× ? Combien d’éléments de chaque
ordre ce groupe possède-t-il ? Quels sont les éléments qui engendrent le groupe ? Recommencer
avec un autre petit nombre premier. . .
Exercice 4
Soit G un groupe, g1 un élément d’ordre r1 et g2 un élément d’ordre r2 .
1 On suppose que g1 et g2 commutent et que r1 et r2 sont premiers entre eux. Montrer que
g1 g2 est d’ordre r1 r2 .
2 On suppose que g1 et g2 commutent. Montrer que g1 g2 est d’ordre fini. Montrer par un
exemple que l’ordre de g1 g2 n’est pas nécessairement r1 r2 , ni ppcm(r1 , r2 ).
3 Montrer par un exemple qu’en général g1 g2 n’est pas nécessairement d’ordre fini (on pourra
par exemple prendre pour g1 et g2 des rotations planes).
Exercice 5
1 Écrire la table de multiplication de S3 et vérifier que S3 n’est pas commutatif.
2 Soit n > 3 un entier. Montrer que Sn n’est pas commutatif.
Exercice 6
1 Montrer que l’ordre d’un r-cycle est r.
2 Si n > 4, exhiber une permutation de Sn qui est d’ordre 2 mais qui n’est pas une transposition.
3 Décrire les éléments d’ordre 2 de Sn .
4 Montrer que l’ordre d’une permutation σ est le ppcm des ordres des cycles intervenant dans
la décomposition de σ en produit de cycles à supports disjoints.
Exercice 7
Quel est l’ordre de la permutation (1, 2, 3, 4)(2, 5) ?
Exercice 8
Le but de cet exercice est d’achever la démonstration débutée en cours du fait qu’on a pour
toute permutation σ et toute transposition τ la relation ε(σ τ ) = ε(σ) ε(τ ). Soient r et s des
entiers supérieurs à 2, c1 un r-cycle et c2 un s-cycle. On suppose les supports de c1 et c2 disjoints.
Soit τ une permutation dont le support intersecte le support de c1 et le support de c2 .
1 Vérifier qu’on peut écrire c1 = (d1 , d2 , . . . , dr ), c2 = (d01 , . . . , d0s ) et τ = (d1 , d01 ).
2 Montrer que c1 c2 τ est un r + s-cycle de support {d1 , . . . , dr , d01 , . . . , d0s }
3 Vérifier qu’on a ε(c1 c2 τ ) = ε(c1 c2 ) ε(τ ).
Exercice 9
Le but de cet exercice est de montrer que l’écriture d’une permutation comme produit de
cycles à supports deux à deux disjoints est unique à l’ordre des facteurs près.
1 Soit c un cycle et d un élément du support de c. Vérifier que le support de c est
{ck (d),
k ∈ N}.
2 Soit c1 , . . . , cr des cycles dont les supports sont deux à deux disjoints et σ = c1 c2 . . . cr . Soit
i ∈ {1, . . . , r}. Vérifier que pour tout d dans le support de ci , on a ci (d) = σ(d).
3 Soit c01 , . . . , c0s des cycles dont les supports sont deux à deux disjoints. On suppose qu’on a
c1 c2 . . . cr = c01 c02 . . . c0s . Il s’agit de montrer qu’on a r = s et qu’à renumérotation éventuelle près,
on a ci = c0i pour tout i.
Soit d un élément du support de c1 . Vérifier que d est dans le support de l’un des c0i . En
renumérotant, on peut donc supposer que d est dans le support de c01 .
4 Montrer que c1 et c01 ont même support puis que c01 = c1 .
5 Conclure.
Exercice 10
Soit r > 2 un entier et d1 , . . . , dr des entiers deux à deux distincts. Vérifier soigneusement la
relation
(d1 , d2 , . . . , dr−1 , dr ) = (d1 , dr ) (d1 , dr−1 ) . . . (d1 , d3 ) (d1 , d2 ).
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Exercice 11
Soit K un corps, P et Q des éléments de K[X]. On note hP i = P K[X] l’idéal engendré par
P , c’est-à-dire l’ensemble des multiples de P . Montrer qu’on a
hP i = hQi ⇔ (P |Q et Q|P ) ⇔ ∃α ∈ K× ,
α P = Q.
Exercice 12
Soit K un corps et P un élément non nul de K[X]. Montrer que P a au plus deg(P ) racines
dans K. Indication : raisonner par récurrence sur deg(P ). Pourquoi le résultat est-il vrai si
deg(P ) = 0 ? Si P est de degré quelconque, soit P n’a pas de racines, et le résultat est vrai, soit il
existe a tel que P (a) = 0. Diviser alors P par X − a pour appliquer l’hypothèse de récurrence.
Exercice 13
Cette exercice porte sur l’arithmétique des polynômes. La quasi-totalité des réponses peuvent
s’obtenir en copiant quasiment mot à mot les démonstrations des résultats analogues pour Z.
1 Démontrer le lemme de Gauss pour les polynômes : soit P, Q, R ∈ K[X] tels que P divise
Q R et P est premier avec Q. Alors P divise R.
2 En déduire le lemme d’Euclide pour les polynômes : soit P, Q, R ∈ K[X] tels que P est
irréductible et P divise Q R. Alors P divise Q ou P divise R.
3 Démontrer que tout polynôme non constant a un diviseur irréductible (considérer un diviseur
non constant de degré minimal).
4 Démontrer que tout polynôme non constant s’écrit comme un produit de polynômes irréductibles et que cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près et à multiplication par une
constante inversible près.
Exercice 14
Un exercice pour réviser la pratique de l’algorithme d’Euclide sur les polynômes.
1 Soit P et Q les éléments de Q[X] définis par P = X 4 − 2 X 3 − X + 2 et Q = X 5 + X 2 +
X 4 + X + X 3 + 1. Calculer un pgcd ∆ de P et Q ainsi que deux polynômes U, V ∈ Q[X] vérifiant
U P + V Q = ∆.
2 Même question en supposant cette fois P et Q dans F2 [X].
3 Choisir deux polynômes P et Q au hasard dans k[X] avec k = Q, F2 , F3 ou F5 . Calculer un
pgcd ∆ de P et Q ainsi que deux polynômes U, V ∈ Q[X] vérifiant U P + V Q = ∆. Vérifier le
résultat avec Maple.
4 Montrer que le polynôme X 2 + 1 est irréductible dans F7 [X]. Choisir un élément non nul de
F7 [X]/hX 2 + 1i (écrit sous la forme a + b α avec a, b ∈ F7 ) et calculer son inverse.
5 Même question avec X 3 + X + 1 dans F5 [X].
Exercice 15
Soit A et B des anneaux commutatifs, I un idéal de A, π : A → A/I le morphisme quotient,
f : A → B un morphisme d’anneau dont le noyau contient I, fe : A/I → B l’unique morphisme
vérifiant fe ◦ π = f . Montrer que le noyau de fe est π(Ker(f )). En déduire que fe est injectif si et
seulement si Ker(f ) = I.
Exercices à chercher
Exercice 16
Soit E et F des ensembles et f : E → F une bijection. Montrer que l’application qui à
σ ∈ SE associe f ◦ σ ◦ f −1 induit un isomorphisme du groupe SE sur le groupe SF .
Exercice 17
Soit n > 2 un entier. À tout élément σ de Sn−1 on associe l’application de Nn dans Nn qui à
n associe n et à tout élément i ∈ {1, . . . , n − 1} associe σ(i). Cette application est notée ϕ(σ).
Montrer que ϕ(σ) est un élément de Sn , puis que ϕ est un morphisme injectif du groupe Sn−1
vers le groupe Sn , dont l’image est le sous-groupe de Sn constitué des permutations dont n est
un point fixe.
Exercice 18
Soit σ ∈ Sn .
1 Soit
ι(σ) = #{(i, j) ∈ Nn ,
1 6 i < j 6 n,
σ(i) > σ(j)}.
ι(σ) est appelé le « nombre d’inversions » de σ. Montrer la formule
ε(σ) = (−1)ι(σ) .
2
Montrer la formule
ε(σ) =
Y
16i<j6n
3
σ(i) − σ(j)
.
i−j
En déduire une nouvelle démonstration du fait que ε est un morphisme de groupes.
Exercice 19
Soit n > 1 un entier et E un espace vectoriel de base (e1 , . . . , en ). Soit σ un élément de Sn .
Soit fσ l’application linéaire E → E définie par fσ (ei ) = eσ(i) .
1 Montrer que fσ est un élément de GL(E), puis que σ 7→ fσ est un morphisme de Sn vers
GL(E).
2 Montrer qu’on a det(fσ ) = ε(σ).