Polynˆomes et fractions rationnelles

FMMA143 - Compléments d’algèbre 2010-2011
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Polynômes et fractions rationnelles
Polynômes à une indéterminée
Terminologie :
Algèbre K[X] où K désigne un corps. Degré d’un polynôme, terme et coefficient dominants, polynôme unitaire.
Divisibilité dans K[X]. Division euclidienne. Polynômes irréductibles. PGCD, PPCM. Fonctions polynômes
(racines ou zéros d’un polynôme, ordre de multiplicité). Polynômes scindés. Dérivation des polynômes.
Propriétés de base à connaître :
1. L’anneau K[X] est intègre.
2. Les idéaux de K[X] sont principaux.
3. Algorithme d’Euclide.
4. Théorème de Bézout pour les polynômes.
5. Correspondance entre polynômes et fonctions polynômes.
6. Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme scindé.
7. Formule de Taylor.
8. Décomposition en facteurs irréductibles.
9. Théorème de D’Alembert.
10. Polynômes irréductibles de C[X] et de R[X].
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Exercice 1.
Quel est le reste de la division euclidienne de X 50 par X 2 − 3X + 2 ? Et par X 2 − 2X + 1 ?
Exercice 2.
Calculer P ∧ Q et déterminer un couple (U, V) ∈ K[X]2 tels que UP + V Q = P ∧ Q dans les cas suivants :
a. P = X 4 + X 3 − 2X + 1 et Q = X 2 + X + 1.
b. P = X 4 − 10X 2 + 1 et Q = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1.
Exercice 3.
Soient A, B ∈ K[X]. Posons p = deg A et q = deg B. On considère l’application :
(
Kq−1 [X] × K p−1 [X] → K p+q−1 [X] .
φ:
(U, V)
7→ UA + V B
Montrer que φ est bien définie, puis qu’elle est bijective si et seulement si A ∧ B = 1.
Exercice 4.
Montrer que deux polynômes à coefficients rationnels sont premiers entre eux si et seulement s’ils n’ont pas de
racine en commun dans C.
Exercice 5.
Soient P ∈ K[X] un polynôme non nul et a ∈ K une racine de P.
On rappelle que la multiplicité de a est l’entier Max l ∈ N | (X − a)l divise P(X) .
a. Vérifier que l’ordre de a est bien défini et est supérieur ou égal à 1.
b. Montrer que :
a est d’ordre m ⇔ ∃ Q ∈ K[X] tel que P(X) = (X − a)m Q(X) avec Q(a) , 0.
c. On suppose que K est de caractéristique nulle. Montrer que :
a est d’ordre m ⇔ P(a) = P′ (a) = P′′ (a) = · · · = P(m−1) (a) = 0 et P(m) (a) , 0.
Donner un contre-exemple à cette équivalence lorsque K n’est pas de caractéristique nulle (penser au petit
théorème de Fermat).
Exercice 6.
Montrer qu’un polynôme à coefficient dans un corps infini est entièrement déterminé par sa fonction polynômiale
associée. Donner un contre exemple lorsque le corps est fini.
Exercice 7.
Soit n ∈ N∗ . Montrer que le polynôme 1 + X + X n de C[X] n’a que des racines simples.
Exercice 8.
Quels sont les polynômes P ∈ C[X] tels que P′ divise P ?
Exercice 9.
Quel est l’ensemble des polynômes P ∈ R[X] tels que XP(X − 1) = (X − 2)P(X) ?
Indication : montrer que si un tel polynôme P est non nul, alors 0 et 1 sont ses seules racines.
Exercice 10.
a. Comparer les polynômes (X − 1)(X − 2) · · · (X − p − 1) et X p−1 − 1 dans Z/pZ[X] lorsque p est un nombre
premier.
b. En déduire le théorème de Wilson : un entier p ≥ 2 est premier si et seulement s’il divise (p − 1)! + 1.
Exercice 11.
Factoriser X 8 + X 4 + 1 sur R.
Exercice 12.
Soit E = { P ∈ R[X] | ∃ Q, R ∈ R[X] tels que P = Q2 + R2 }.
a. Montrer que E est stable par multiplication.
b. Montrer que E = { P ∈ R[X] | ∀ x ∈ R, P(x) ≥ 0 }.
Exercice 13.
On rappelle que, pour 1 ≤ k ≤ n, le k-ième polynôme symétrique élémentaire de K[X1 , · · · , Xn ] est, par définition,
X
Xi1 Xi2 · · · Xik .
σk (X1 , · · · , Xn ) =
1≤ i1 < i2 <···< ik ≤ n
a. Soient α1 , . . . , αn ∈ K. Montrer que :
(X − α1 ) · · · (X − αn ) = X n +
n−1
X
(−1)n−k σn−k (α1 , · · · , αn ) X k .
k=0
b. Soit P(X) = an + an−1
+ · · · + a1 X + a0 un polynôme scindé de K[X] de degré n ≥ 1.
Montrer que α1 , . . . , αn est un système de racines de P (répétées avec leur multiplicité) si et seulement si
ak = (−1)n−k an σn−k (α1 , · · · , αn ) pour tout 0 ≤ k ≤ n − 1.
Xn
X n−1
Exercice 14.
Soient a, b, c les racines de X 3 − X + 1. Calculer a7 + b7 + c7 .


a+b+c =2

Exercice 15.



 a2 + b2 + c2 = 6
Résoudre dans C le système : 
.


1 1 1 1


 + + =
a b c 2
Fractions rationnelles à une indéterminée
Terminologie :
Corps K(X). Forme irréductible d’une fraction rationnelle non nulle. Fonctions rationnelles (pôles, zéros, ordre
d’un pôle ou d’un zéro). Exemples simples de problèmes d’élimination.
Propriétés de base à connaître :
Décomposition en éléments simples, cas du corps C et du corps R.
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Exercice 16.
Décomposer en éléments simples dans R(X) les fractions rationnelles suivantes:
(X 2 − X + 1)2
X 2 (X − 1)2
Exercice 17.
Décomposer
(X 2
X6
,
(X 2 + 1)2 (X + 1)2
X
,
X4 + X2 + 1
X4 + 1
,
X 2 (X 2 + X + 1)2
1
en éléments simples sur R puis sur C.
+ 2X + 1)(X 3 − 1)
Exercice 18.
A l’aide de décompositions en éléments simples, calculer :
∞
∞
X
X
1
1
,
,
n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
n=1
n=1
∞
X
n=1
n4
n
.
+ n2 + 1
Exercice 19.
Soit P ∈ C[X] de racines a1 , a2 , . . . , an avec les multiplicités m1 , m2 , . . . , mn .
′
a. Décomposer en éléments simples PP .
b. En déduire que les racines de P′ sont dans l’enveloppe convexe de a1 , . . . , an .
X 2n
où n ∈ N.
(X 2 + 1)n