1. De quoi s`agit-il ? 2. Lignes trigonométriques.

C L A S S E
D E
T R O I S I È M E
A C T I V I T É S
G E O M É T R I Q U E S .
TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE.
1. De quoi s’agit-il ?
1.1
Situation :
On doit obligatoirement se trouver dans un triangle rectangle.
1.2
De quoi çà parle ?
La trigonométrie dans le triangle rectangle, ce sont les relations qui existent entre les longueurs des côtés du
triangle et les angles de ce triangle.
Ces relations s’appellent souvent les lignes trigonométriques.
2. Lignes trigonométriques.
Le cosinus. (vu en 4ème)
2.1
Rappel :
1.
A
Définition :
l le
Dans le triangle rectangle ABC, on appelle cosinus de l’angle B
l
l = BA = coté adjacent à B
nombre donné par : cos B
BC
hypoténuse
C
B
H
2.
On retiendra que :
•
l
BA = BC× cos B
•
Un côté de l’angle droit est égal au produit de l’hypoténuse par le cosinus de l’angle
adjacent.
•
l <1
Dans un triangle rectangle, on aura toujours : 0 < cos B
EXERCICE 1
A chercher.
n = 50°
On donne un triangle ABC rectangle en C, tel que AC = 3 cm et BAC
Calculer AB.
C
A
B
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Trigonométrie dans le triangle rectangle.
1
T R I G O N O M É T R I E
2.2
D A N S
L E
T R I A N G L E
R E C T A N G L E .
Le sinus.
1.
Définition :
l , le nombre
Dans le triangle rectangle ABC, on appelle sinus de l’angle B
l
l = AC = cot é opposé à B
donné par le rapport : sin B
BC
hypoténuse
2.
A
On retiendra que :
C
B
•
l
AC = BC× sin B
•
Un côté de l’angle droit est égal au produit de
l’hypoténuse par le sinus de l’angle opposé à ce côté.
•
l <1
Dans un triangle rectangle, on aura toujours : 0 < sin B
H
EXERCICE 2
A chercher.
On donne le triangle ABC rectangle en A, tel que BC = 5 cm et AC = 4 cm
l.
Calculer le sinus de l’angle C
2.3
La tangente.
1.
Définition :
l le nombre donné par
Dans le triangle ABC, on appelle tangente de l’angle B
l
l = AC = cot é opposé à B
le rapport : tan B
l
AB cot é adjacent à B
A
C
B
2.
On retiendra que :
•
l
AC = AB × tan B
•
Un côté de l’angle droit est égal au produit de la tangente de l’angle qui lui est opposé par l’autre
côté de l’angle droit.
•
Dans le triangle rectangle, la tangente d’un angle est un nombre positif et qui peut-être plus
grand que 1. (par exemple : tan 80° = 5,67)
H
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2
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D E
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EXERCICE 3
A chercher.
n = 0, 839
On donne le triangle ABC rectangle en B, tel que : BC = 4 et tan ACB
Calculer AB
B
C
A
H
Calculer ensuite AC. Quelle vérification peut-on faire ?
C
3. Relations fondamentales.
A
B
Relation sin x + cos x = 1
2
3.1
2
•
Soit le triangle CAB rectangle en C.
•
Écrire la relation de Pythagore dans ce triangle.
•
⎛ AC ⎞ ⎛ CB ⎞
Montrer que ⎜
⎟ +⎜
⎟ =1
⎝ AB ⎠ ⎝ AB ⎠
•
n = x . Interpréter le résultat précédent à l’aide de sin x et de cos x
On pose CAB
2
2
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Trigonométrie dans le triangle rectangle.
3
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D A N S
Relation tanx =
3.2
•
L E
T R I A N G L E
R E C T A N G L E .
sinx
cosx
Dans le triangle CAB rectangle en C, compléter les relations
suivantes :
n=
sin CAB
n=
cos CAB
C
A
B
n=
tan CAB
•
Quel rapprochement pouvez-vous faire entre ces trois relations ?
EXERCICE 4
A chercher.
On considère le triangle équilatéral ABC de côté a.
Soit AH la hauteur issue de A.
1.
Dans le triangle rectangle AHC, calculer :
ƒ
HC =
ƒ
AH
ƒ
cos n
ACH =
ƒ
sin n
ACH =
ƒ
tan n
ACH =
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4
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D E
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A C T I V I T É S
2.
3.
G E O M É T R I Q U E S .
Dans le triangle rectangle AHC, calculer :
ƒ
n=
sin CAH
ƒ
n=
cos CAH
ƒ
n=
tan CAH
Dans le triangle rectangle AHC, quelle est la mesure :
ƒ
De l’angle n
ACH ?
ƒ
n ?
De l’angle CAH
ƒ
Quelle relation existe-t-il entre ces deux angles ?
ƒ
Si nous admettons que les résultats précédents sont généralisables, quelle conclusion
pouvons-nous tirer concernant le sinus et le cosinus de deux angles complémentaires ?
EXERCICE 5
A rédiger.
On considère le carré ABCD de côté a, et sa diagonale [BD] .
ƒ
Calculer BD.
ƒ
Dans le triangle rectangle ABD, calculer sin n
ABD .
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Trigonométrie dans le triangle rectangle.
5
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D A N S
L E
T R I A N G L E
R E C T A N G L E .
ƒ
Dans le triangle rectangle ABD, calculer cos n
ABD .
ƒ
Dans le triangle rectangle ABD, calculer tan n
ABD .
ƒ
Bilan : compléter le tableau suivant.
Angle
30°
45°
60°
Sinus
Cosinus
Tangente
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