Nombres-calcul algébrique 1 Les ensembles de nombres

Seconde
Nombres-calcul algébrique
Notions de troisième et exemples
1
Les ensembles de nombres
1.1
notations-symboles d’appartenance et d’inclusion
L’ensemble N = {0; 1; 2; . . .} est appelé ensemble des entiers naturels et se note N .
L’ensemble Z = {. . . ; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .} est appelé ensemble des entiers relatifs et se note Z .
a
Un nombre est appelé nombre décimal s’il peut s’écrire sous la forme n (partie décimale finie) où a ∈ Z
10
et n ∈ N.
Cet ensemble se note D .
Un nombre est appelé nombre rationnel s’il peut s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.
L’ensemble des nombres rationnels se note Q .
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. . L’ensemble formé par ces nombres et les nombres rationnels
est appelé ensemble des nombres réels. On le note R .
Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une
partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z.
a
De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est rationnel car peut s’écrire
1
sous forme d’une fraction décimale (dénominateur multiple de 10) et tout nombre rationnel est un nombre réel.
Ainsi : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R (se lit N est inclus (ou contenu)dans Z....)
On peut illustrer comme ci-dessous :
Remarques :
• Le symbole ⊂ se lit ”inclus dans”.
• La proposition N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs
qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels.
• Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s’écrire 2, 0
√
2
4
(écriture décimale) ou etc. (écriture fractionnaire) 4 (écriture avec un radical).
1
2
• Attention à ne pas confondre le symbole ∈ et ⊂.
Le premier s’utilise pour noter un élément appartenant à un ensemble et le second pour noter un ensemble
qui est contenu dans un autre.
Par exemple, on note 4 ∈ N et {3; 9} ⊂ N.
Exemple 1
Compléter avec ∈, ∈
/ et ⊂
* Solution:
√
2∈R
{ 2 ; 3, 4 ; 8 }⊂D
√
2∈N
/
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Nombres-calcul algébrique
Seconde
1.2
Intervalles
a et b sont deux réels quelconques avec a < b :
Exemple 2
Compléter le tableau suivant :
inégalité
intervalle
inégalité
intervalle
x<5
x ∈] − ∞; 5[
−5 < x ≤ 3
] − 5; 3]
2≤x
x ∈ [2; +∞[
x<3
] − ∞; 3[
√
[ 2; +∞[
1
3
− <x<
2
4
1 3
]− ; [
2 4
√
2
2≤x
Identités remarquables
forme développée
a2 + 2ab + b2
a2 − 2ab + b2
a2 − b2
forme factorisée
= (a + b)2
= (a − b)2
= (a − b)(a + b)
Exemple 3
• Développer (2x − 3)2
* Solution:
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 × 2x × 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9 (deuxième identité remarquable avec a = 2x et
b = 3)
• Factoriser 4x2 − 5 (voir fiche méthode factoriser)
* Solution:
√
√
√
√
4x2 −5 = (2x)2 −( 5)2 = (2x− 5)(2x+ 5) (troisième identité remarquable avec a = 2x et b = 5)
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Seconde
3
Nombres-calcul algébrique
Calculs avec des racines carrées
3.1
Simplifications
Exemple 4 : Simplifications
√
1. Simplifier 72
* Solution:
q
√
√
√
√
72 =
36 × 2 = 36 × 2 = 6 2
√
√
√
Ecrire 3 50 − 2 32 sous la forme a b avec a ∈ Z et b ∈ N
2.
* Solution:
q
q
√
√
√
√
√
3 25 × 2 − 2 16 × 2 = 3 × 5 2 − 2 × 4 2 = 15 2 − 8 2 = 7 2
Remarque : Il faut faire apparaitre sous la racine le carré d’un nombre entier, soit par exemple 4 = 22 ,
9 = 32 , 16 = 42 , 25, 36, 49....
3.2
Supprimer les racines au dénominateur
Exemple 5 : Supprimer les racines carrées au dénominateur
3
Supprimer les radicaux (les racines carrées) au dénominateur dans √
2
3
√
Supprimer les radicaux (les racines carrées) au dénominateur dans
3− 2
1.
2.
* Solution:
√
√
3
3× 2
3× 2
√ =√
√ =
2
2
2× 2
√
√
√
3 × (3 + 2)
9+3 2
9+3 2
3
√ =
√
√ =
√
=
7
3− 2
(3 − 2)(3 + 2)
32 − ( 2)2
Pour supprimer les radicaux au dénominateur, on utilise la troisième identité remarquable :
(a − b)(a + b) = a2 − b2 .
√
√
√
√
Ce qui donne ici (3 − 2)(3 + 2) = 32 − ( 2)2 avec a = 3 et b = 2
√
√
3 + 2 est appelée l’expression conjuguée de 3 − 2
1.
2.
4
Règles de calcul et exemples
4.1
Quelques rappels
Quelques rappels pour éviter les erreurs les plus courantes :
1.
La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction
2.
Pour « éliminer » une parenthèse précédée d’un signe −, il faut changer le signe des termes dans cette
parenthèse.
−(3x2 − 4x + 2) = −3x2 + 4x − 2
3.
Attention aux fractions précédée d’un signe −, il faut procéder comme s’il y avait des parenthèses
au numérateur :
3x − 2
−(3x − 2)
−3x + 2
−
=
=
4
4
4
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Seconde
4.
Nombres-calcul algébrique
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Attention à ne pas confondre inverse et opposé :
−3
−5
−3
3
L’inverse de
est
mais l’opposé de
est
5
3
5
5
Quand on multiplie ou divise chacun des membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif ,
5.
le sens de cette inégalité change .
9
Par exemple : −3x > 9 ⇐⇒ x <
⇐⇒ x < −3 (on divise chacun des membres par −3 pour « isoler »
−3
x)
−9
⇐⇒ x > −3 (on divise chacun des membres par 3 pour « isoler » x)
mais 3x > −9 ⇐⇒ x >
3
−2
4
−3
De même :
x < 4 ⇐⇒ x >
⇐⇒ x > 4 ×
⇐⇒ x > −6
−2
3
2
3
4.2
exemples de calculs commentés
Exemple 6 : Calcul avec des fractions
2
−3
Calculer et écrire sous forme d’une fraction irréductible : 3
1 4
+
4 5
* Solution:
2
−3
3
1 4
+
4 5
* On pourrait écrire
1 4
2
−3 ÷
+
3
4 5
2 9
−
= 3 3
5
16
+
20 20
* Les calculs prioritaires sont donc
7
= 3
21
20
* Il faut réduire au même dénominateur pour additionner ou soustraire
7 20
=− ×
3 21
* Diviser par
2
1 4
− 3 et +
3
4 5
−
7
20
=− ×
3 7×3
−20
=
9
21
20
revient à multiplier par
20
21
* Simplifier si possible avant de multiplier Ici, 7 et 21
Exemple 7 : Développer-simplifier
Développer et réduire : (3x − 1)(2x + 4) − (x2 − 4x + 1)
* Solution:
= 3x × 2x + 3x × 4 − 1 × 2x − 1 × 4 − x2 + 4x − 1
= 6x2 + 12x − 2x − 4 − x2 + 4x − 1
* Il faut multiplier 3x par +2x puis par +4 et ensuite −1 par +2x puis par +4
* Il faut multiplier 3x par +2x puis par +4 et ensuite −1 par +2x puis par +4
* Pour « supprimer » la parenthèse (x2 − 4x + 1) précédée du signe −
il faut changer les signes des termes de l’expression x2 − 4x + 1
= 5x2 + 14x − 5
* Attention 3x × 2x = 6 x2
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Seconde
Exemple 8 : Equation
Résoudre dans R l’équation
3
2
(x − 6) + 1 = x + 2
3
2
* Solution:
2
3
(x − 6) + 1 = x − 4
3
2
2
2
3
⇐⇒ x − × 6 + 1 = x + 2
3
3
2
* Il faut distribuer
2
(« éliminer » les parenthèses)
3
2
3
⇐⇒ x − 4 + 1 = x + 2
3
2
2
3
⇐⇒ x − 3 = x + 2
3
2
* Simplifier au maximum les membres de gauche et de droite
4
18
9
12
⇐⇒ x −
= x+
6
6
6
6
* Réduire au même dénominateur pour se débarrasser
⇐⇒ 4x − 18 = 9x + 12
* Multiplier ensuite les deux membres par 6
⇐⇒ 4x − 9x = 12 + 18
* Isoler x
⇐⇒ −5x = 30
* Diviser par le facteur de x ici 7
⇐⇒ x =
30
= −6
−5
La solution est x = −6
On peut écrire S = {−6}
des fractions (pas obligatoire mais plus simple ensuite)
* Donner la(les) solution(s) et contrôler en remplaçant x
2
3
par −6 dans (x − 6) + 1 puis x + 2
3
2
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Exemple 9 : Inéquation
Résoudre dans R l’inéquation
3
3
1
x+3< x−
2
5
4
* Solution:
1
3
3
x+3< x−
2
5
4
1
3
3
⇐⇒ x − x < −3 −
2
5
4
⇐⇒
5
6
12 3
x− x<− −
10
10
4
4
⇐⇒ −
* Il faut « isoler » x
* Simplifier au maximum les membres de gauche et de droite en réduisant au m
1
15
x<−
10
4
15
4
⇐⇒ x >
1
−
10
−
* Diviser ensuite les deux membres par
−1
10
−1
est négatif donc on change le sens de l’inégalité
10
−10
−1
revient à multiplier par
* Diviser par
10
1
Attention,
⇐⇒ x > −
10
15
×−
4
1
⇐⇒ x >
15 × 10
4
⇐⇒ x >
15 × 5
2
* Simplifier si possible avant de multiplier, ici 10 et 4
75
* Donner l’ensemble de solution On peut s’aider d’un axe gradué
2
75
75
Il faut x > , on peut écrire S =] ; +∞[
2
2
75
ou x ∈] ; +∞[
2
⇐⇒ x >
6/6