Corrigé des exercices régimes transitoires
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Corrigé des exercices régimes transitoires Exercice 1 1. Écrire les équations différentielles pour les circuits électriques représentés ci­dessous : Colonne de gauche : l'interrupteur K, initialement ouvert, est fermé à l'instant t = 0. Colonne de droite : l'interrupteur K, initialement fermé, est ouvert à l'instant t = 0. L'inconnue est uC(t), I = 10 A et R = 20 Ω D'après la loi des noeuds : I =i C ti R t D'après les lois d'Ohm pour la résistance et la L'inconnue est uc(t), U = 200 V, R = 10 Ω D'après la loi des mailles : U =Ri t u C t La loi d'Ohm pour la capacité s'écrit : it =C Finalement U =R C d uC t u C t dt d uC t dt L'inconnue est i(t), U = 150 V, R = 30 Ω D'après la loi des mailles : U =Ri t u L t La loi d'Ohm pour l'inductance s'écrit : u L t= L Finalement U =R i t L d i t dt d it dt uC t d u C t et i C t=C R dt uC t d uC t Finalement I = C R dt capacité : i R t = L'inconnue est iL(t), I = 15 A, R = 30 Ω D'après la loi des noeuds : I =i L ti R t D'après les lois d'Ohm pour la résistance et l'inductance : u L t d i t et u L t= L L R dt d i (t ) L L Finalement I =i L (t )+ R dt i R t = 2. Déduire des équations précédentes les expressions littérales des constantes de temps de chaque circuit. La méthode consiste à « arranger » l'équation différentielle pour que le terme multipliant la fonction soit égal à 1 : le terme multipliant la dérivée est alors égal à la constante de temps. Équation initiale : U=R C d uC (t) +uC (t ) dt Équation initiale : I = u C (t ) d uC (t ) +C R dt La forme de cette équation permet déjà de Toute l'équation doit être multipliée par R ce qui déterminer la constante de temps : τ=R C d uC t donne I =u C t RC soit = RC dt Équation initiale : U =R i (t )+ L d i (t ) dt Équation initiale : I =i L t L d i L t R dt Toute l'équation doit être divisée par R ce qui donne La forme de cette équation permet déjà de Corrigé des exercices régimes transitoires Page 1 sur 12 TS2 ET 2014­2015 L U L d i(t) soit = =i(t)+ R R R dt déterminer la constante de temps : τ= L R 3. Pour chaque situation précédente, déterminer les valeurs atteintes en régime établi avec les valeurs proposées. Cela revient à prévoir le comportement de chaque montage en continu. Le condensateur se charge jusqu'à U soit uc(t) égal à La capacité en continu se comporte comme un circuit ouvert. En régime établi, tout le courant I passe dans 200 V en régime établi. la résistance R, la tension aux bornes de la capacité est donc égale à 200 V. En continu, l'inductance se comporte comme un L'inductance est un court­circuit en continu, tout le court­circuit. Le courant en régime établi sera donc courant I passera donc par L en régime établi ce qui égal à 5 A (loi d'Ohm pour la résistance). donne iL(t) = 15 A. Remarque : dans tous les cas étudiés ci­dessus, la dérivée est nulle en régime établi (car la grandeur est constante). Les équations différentielles se simplifient en : U=u C (t) I= U=R i(t) u C (t) R I =i L (t) Exercice 2 Déterminer graphiquement les constantes de temps des dispositifs dont les réponses indicielles sont représentées ci­contre et ci­dessous. Il y a deux méthodes : • la tangente à l'origine • 63 % du régime établi Tangente à l'origine Régime établi 6,3 t = 30 ms 63% du régime établi t = 50 s t = 250 ms Corrigé des exercices régimes transitoires 100% du régime établi Page 2 sur 12 TS2 ET 2014­2015 Exercice 3 1. La constante de temps du circuit ci­contre s'écrit : = R C = C R = =RC 1 RC 2. La constante de temps du circuit ci­contre s'écrit : = R L = L R =RL = 1 RL 3. Pour le dispositif représenté ci­contre, l'intensité en régime établi est égale à : 10 A 100 A 0 A elle dépend de la valeur de l'inductance L'inductance se comporte comme un court­circuit en continu. U = 200 V et R = 20 Ω 4. Pour le dispositif représenté ci­contre, l'intensité en régime établi est égale à : 1 A 0 A 30 A Impossible à déterminer La capacité se comporte comme un circuit ouvert en continu. U = 30 V et R = 1 Ω 5. L'interrupteur K est fermé à l'instant t = 0, parmi les graphes ci­dessous et ceux de la page suivante, lequel peut correspondre à l'évolution de la tension aux bornes de la résistance ? U = 20 V, R = 10 Ω et L = 100 mH. La constante de temps est égale à = L 0,1 = =10 ms R 10 En régime établi, le courant sera égal à 2 A, la tension aux bornes de la résistance sera donc égale à 20 V. a. b. Incompatible avec la constante de temps. Incompatible avec le régime établi. Corrigé des exercices régimes transitoires Page 3 sur 12 TS2 ET 2014­2015 c. d. Compatible avec la constante de temps et le régime Incompatible avec le régime établi. établi. Exercice 4 On considère le montage ci­contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant i(t), la dérivée de i(t), u(t), R et L. D'après la loi des mailles et les lois d'Ohm pour la résistance et l'inductance u t=R i tL d i t dt 2. En déduire l'expression de la constante de temps en fonction de R et L. En divisant l'équation par R, on obtient ut L L d i t =i t donc = R R R dt La tension u(t) est nulle pour t négatif et égale à 100 V si t est positif. 3. Quelle est la valeur de i(t) en régime établi ? Sur le graphe ci­dessous à droite, le courant atteint 25 A en régime établi. 4. La solution de l'équation différentielle est de la forme −t it =A e B a. Quelle est la valeur de B ? Lorsque t tend vers l'infini alors i(t) tend vers B qui correspond donc au régime établi : B = 25 (en ampères) −t i t =A e 25 b. Déterminer la constante A à partir des conditions initiales. 63% Pour t = 0, i(0) = 0 d'après le graphique. D'après l'équation −t 100% −0 i 0 = Ae 25= A e = A25 donc 0= A25 soit A = ­ 25. 5. Le graphe ci­contre représente l'évolution de i(t). Déterminer la constante de temps et en déduire la valeur de l'inductance L. La constante de temps est égale à 10 ms en prenant l'instant pour lequel la réponse atteint 63% du régime établi. Comme la tension aux bornes du circuit est égale à 100 V et que le courant en régime établi est égal à Corrigé des exercices régimes transitoires Page 4 sur 12 TS2 ET 2014­2015 25 A alors la résistance est égale à 4 W. La relation = L donne L=R .=4.10. 10−3=40 mH R Exercice 5 Variation du couple résistant sur l’arbre d’un moteur à courant continu Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous une tension U constante et égale à 220 V. La charge mécanique accouplée sur l’arbre présente un couple résistant de moment noté Cr. Caractéristiques du moteur : Résistance de l’induit : R = 4 W, constante de couple : KF = 1,6 N.m/A, l’inductance de l’induit est négligée. Le groupe tournant présente un moment d’inertie J = 0,28 kg.m². 1. Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation entre I (intensité du courant dans l’induit), KF , Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W. Relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation : Ici ∑ C m=K I et ∑ C r =C r donc K I C r =J ∑ C m∑ C r =J ddt d dt 2. À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, KF et W. Le schéma équivalent fait apparaître la fém E = KFW en série avec la résistance R, d'après la loi des mailles : U =K R I 3. Déduire des deux relations précédentes l’équation différentielle reliant W (et d t ) avec Cr et les dt éléments caractéristiques du moteur et de la charge. U −K . En remplaçant I de la première équation par R U −K d C r =J cette expression, on obtient : K R dt La deuxième équation permet d'écrire : I = 4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour Cr = Cr1 = 6 N.m puis Cr = Cr2 = 10 N.m. En régime établi, la vitesse de rotation est constante donc d =0 , l'équation précédente devient : dt R Cr U −K U C r =0 d'où = − R K K 2 220 4.6 − =128 rad/s • pour Cr = Cr1 = 6 N.m : = 1,6 1,62 220 4.10 − =122 rad/s • pour Cr = Cr2 = 10 N.m : = 1,6 1,62 K À l’instant t = 0, le moment du couple résistant passe de Cr1 à Cr2. La solution de l’équation différentielle de −t la question 3 est de la forme t = Ae B . 5. Déterminer la constante de temps t à partir de l’équation différentielle. On développe l'équation K U −K d C r =J R dt ce qui donne K U K 2 d . − C r =J R R dt Le terme ne dépendant ni de W ni de sa dérivée est isolé : Corrigé des exercices régimes transitoires K U K 2 d C r = J R R dt Page 5 sur 12 TS2 ET 2014­2015 En multipliant l'équation par R Cr R U RJ d = . Le terme qui 2 , on obtient 2 K K K K 2 dt multiplie W est égal à 1, celui qui est devant la dérivée de W correspond à la constante de temps soit = RJ 4 .0,28 = =0,437 ms 2 . Application numérique : 2 K 1,6 6. Donner la valeur numérique de B puis déterminer la constante A. Valeur numérique de B : −t Lorsque t tend vers l'infini, l'équation t = Ae B indique que la vitesse tend vers B (c'est le régime établi). D'après la question 4, la vitesse est égale à 122 rad/s lorsque la couple est égal à 10 N.m ce qui donne −t B = 122 rad/s. On a donc t = Ae 122 Détermination de la constante A : On utilise les conditions initiales : pour t = 0, la vitesse est égale à 128 rad/s. Pour t = 0 : 0 = Ae −O 122= A122=128 donc A = 6. −t La solution s'écrit t =128 e 122 7. Représenter l’évolution de W en fonction du temps. Initialement la vitesse est égale à 128 rad/s. Lorsque le régime établi est atteint, elle est égale à 122 rad/s. Au bout d'une constante de temps : W = 128 – 0,63.6 = 124,2 rad/s (63% du régime établi). Au bout de trois constantes de temps : W = 128 – 0,95.6 = 122,3 rad/s (95% du régime établi). Au bout de cinq constantes de temps : W = 128 – 0,99.6 = 122,1 rad/s (99% du régime établi). Par ailleurs, la tangente à l'origine atteint le régime établi au bout d'une constante de temps. Exercice 6 : Étude du courant dans la charge d’un hacheur série On considère le dispositif représenté ci­contre (les composants sont supposés parfaits) : K est commandé à la fermeture de 0 à αT et à l’ouverture de αT à T. i(t) L 1. Indiquer la valeur de u(t) entre 0 et αT puis entre αT et T (la conduction est ininterrompue). Entre 0 et αT, u(t) = U et entre αT et T, u(t) = 0 (voir le cours sur le hacheur série). E U u(t) R 2. Établir l’équation différentielle reliant u(t), i(t) et les éléments du montage. Déterminer l’expression littérale de la constante de temps τ. D'après la loi des mailles et les différentes lois d'Ohm : u t =R i t L d i t E dt 3. Étude entre 0 et αT t La solution de l’équation différentielle est de la forme it =A e− B 1 1 a. Représenter le schéma équivalent du montage. Voir ci­contre. b. Pour le schéma représenté ci contre : exprimer i(t) en fonction de U, E et R. En déduire la valeur de B1. U L'inductance se comporte comme un court­circuit, on a donc U −E it = R Corrigé des exercices régimes transitoires Page 6 sur 12 i(t) L E u(t) R TS2 ET 2014­2015 Cette expression correspond au régime établi au même titre que B1 qui est la valeur de i(t) lorsque t tend vers l'infini : B1= U −E R c. Pour t = 0, i(0) = Imin. Déterminer l’expression de A1. t 0 À l'instant initial, l'équation it =A e− B devient i 0=A e− B =A B =I d'où la valeur 1 1 1 1 1 1 min de A1 : A1= I min −B 1=I min− U −E R d. Écrire la solution de l’équation différentielle sur cet intervalle de temps. D'après ce qui précède : it = I min − U −E − t U − E e R R 4. Étude entre αT et T t La solution de l’équation différentielle est de la forme it =A e− B . 2 2 a. Représenter le schéma équivalent du montage. La diode court­circuite l'association série E, R et L. b. Pour ce schéma, exprimer i(t) en fonction de U, E et R. En déduire la valeur de B2. L'inductance se comporte comme un court­circuit en continu ce qui donne B 2= −E R c. Pour t = αT, i(αT) = Imax. Déterminer l’expression de A2. t À l'instant t = αT, l'équation it =A e− B devient i T = A e − 2 2 2 A2 = I max T B 2=I max d'où la valeur de A2 : E T e R d. Écrire la solution de l’équation différentielle sur cet intervalle de temps. D'après ce qui précède : it = I max E − t − T E e − R R 5. Détermination de Imax a. À partir de l’équation trouvée à la question 3.d, trouver une relation entre Imin et Imax, les éléments du montage et α et T. U −E − t U − E trouvée à la question 3.d devient e R R T T T − − U −E − U −E soit U −E I max = I min− e I max=I min e 1−e R R R Pour t = aT, i(t) = Imax, l'équation it = I min − b. À partir de l’équation trouvée à la question 4.d, trouver une autre relation entre Imin et Imax, les éléments du montage et α et T. E − t − T E e − trouvée à la question 4.d devient R R T T − T T − T − − E − T − E E I min = I max e − soit I min =I max e e −1 R R R Pour t = T, i(t) = Imin, l'équation it = I max Corrigé des exercices régimes transitoires Page 7 sur 12 TS2 ET 2014­2015 c. Déduire de ce qui précède une relation entre Imax, E, R, α, et T. Exercice 7 On considère le circuit RLC ci­contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant uc(t) et ses dérivées première et seconde, R, L, C et u(t). À partir de la loi des mailles et des différentes lois d'Ohm, on obtient : u(t)=LC d 2 uC (t ) du (t) + RC C +uC (t ) 2 dt dt L = 150 mH, C = 470 nF 2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des éléments du circuit. En identifiant l'équation trouvée à la question précédente avec l'équation « canonique » (soit 2 1 d uC (t) 2 m duC (t) u(t)= 2 +ω +uC (t ) ), on obtient : 0 dt ω0 dt 2 1 =LC qui donne ω20 = 1 2 LC ω0 et √ 1 1 1 1 C 2m ω 0 =RC ce qui donne m= 2 RC ω0 soit m= 2 RC √ L C = 2 R L 3. Pour quelle valeur Rc de R obtient­on le régime critique ? Quelle est l'allure de la réponse à un échelon si R = 3000 W ? Le régime critique correspond à Rc =2 m = 1 soit √ √ L 0,15 =2 =1130 Ω C 470.10−9 √ 1 R c C =1 2 L ce qui donne Si R = 3000 W alors le coefficient d'amortissement est supérieur à 1 et la réponse est apériodique. 4. On relève l'évolution de uc(t) lorsque u(t) est un échelon de 0 à 10 V pour R = 500 W et R = 1000 W. Parmi les trois graphes suivants : • Lequel (ou lesquels) ne correspond pas à cette évolution ? • Lequel (ou lesquels) correspond au régime pseudo­périodique ? • Lequel (ou lesquels) correspond au régime apériodique ? • Lequel correspond à 500 W ? à 1000 W ? Ne correspond pas car dans le système étudié, le régime permanent atteint 10 V lorsque le courant est nul. Corrigé des exercices régimes transitoires Page 8 sur 12 TS2 ET 2014­2015 Le régime permanent correspond à celui du système Le régime permanent correspond à celui du étudié. système étudié. Aucun des relevés ne correspond au régime apériodique car les résistances sont inférieures à Rc. Plus le coefficient d'amortissement m est petit, plus il y a de pseudo oscillations, le relevé de gauche correspond à 500 W et celui de droite à 1000 W. Remarque : on devine un léger dépassement du régime permanent sur le graphe de droite. Exercice 8 On considère le circuit RLC ci­contre. 1. Établir l'équation différentielle reliant iL(t) et ses dérivées première et seconde, R, L, C et i(t). La loi des nœuds et les différentes lois d'Ohm permettent d'écrire : i(t)= u(t ) +i C (t)+i L (t) avec u(t) la tension aux bornes du R dipôle orienté avec la convention récepteur. L = 0,15 H, C = 470 nF d i L (t) d i L (t) d u(t) L Puisque u(t)=L et i C (t)=C alors soit d u(t) dt i(t)= +C +i L (t) dt dt R dt 2 d i L (t) L d i L (t ) finalement i(t)= + LC +i L (t) R dt d t2 2. Exprimer le coefficient d'amortissement et la pulsation propre en fonction des éléments du circuit. En identifiant l'équation trouvée à la question précédente avec l'équation « canonique » (soit i(t)= 2 1 d i L (t) 2 m di L (t) +ω +i L (t ) ), on obtient : 0 dt ω20 dt 2 1 =LC qui donne ω20 = 1 2 LC ω0 et 2m L 1L 1L ω 0 = R ce qui donne m= 2 R ω0 soit m= 2 R √ 1 11 L = √L C 2 R C 3. Pour quelle valeur Rc de R obtient­on le régime critique ? Le régime critique correspond à Rc = m = 1 soit √ √ 1 L 1 0,15 = =282 Ω 2 C 2 470.10−9 Corrigé des exercices régimes transitoires Page 9 sur 12 √ 1 1 L =1 2 Rc C ce qui donne TS2 ET 2014­2015 4. Comment évolue le facteur d'amortissement lorsque R augmente ? Si la résistance augmente, le facteur d'amortissement diminue car R apparaît au dénominateur de l'expression de m. 5. i(t) est un échelon de 0 à 10 A, quelle sera la valeur de iL(t) en régime établi ? En régime établi, l'inductance se comporte comme un court­circuit, elle sera donc parcourue par un courant égal à i(t) soit 10 A. Exercice 9 Un moteur à courant continu à aimants permanents est alimenté sous tension U réglable. La charge mécanique accouplée sur l'arbre présente un couple résistant constant de moment noté Cr (le moment du couple de pertes est négligé). Caractéristiques du moteur : • Résistance de l'induit : 2,5 W • Constante de couple : KF = 16,7 10­2 N.m • Moment d'inertie du groupe : J = 5890 g.cm2 Une inductance L est placée dans le circuit de l'induit. 1. Équation mécanique Établir à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour les systèmes en rotation une relation entre I (intensité du courant dans l'induit), KF, Cr, J et la dérivée de la vitesse de rotation W (en rad/s). La relation fondamentale de la dynamique permet d'écrire Cem – C r =J alors K Φ I – Cr =J dΩ et comme Cem =K Φ I dt dΩ dt 2. Équation électrique À partir du schéma équivalent, établir une relation entre I, U, R, L, KF et la vitesse de rotation W (l'inductance du circuit d'induit n'est pas négligeable). Le schéma équivalent comporte une fém E=K Φ Ω en série avec la résistance R et l'inductance L de l'induit. D'après la loi d'Ohm U=E + R I + L dI dI soit U=K Φ Ω+ R I + L dt dt 3. Équation différentielle pour la vitesse de rotation a. Extraire l'expression de I de l'équation de la question 1. La relation trouvée à la question 1 K Φ I – Cr =J dΩ 1 dΩ (J +C r ) permet d'extraire I = dt KΦ dt b. À partir de cette expression et de l'équation de la question 2, montrer que l'équation différentielle R.C r R J d Ω L J d2 Ω + =U− permettant de déterminer la vitesse de rotation s'écrit K Φ Ω+ 2 K Φ dt K Φ dt KΦ dI 1 dΩ (J +C r ) (trouvée à la par I = dt KΦ dt 1 dΩ d 1 dΩ (J +C r )+ L [ (J + Cr )] qui se simplifie en question 3.a) on obtient U=K Φ Ω+ R KΦ dt dt KΦ dt En remplaçant I de l'équation U=K Φ Ω+ R I + L U=K Φ Ω+ R J d Ω R C r L J d2 Ω + + K Φ dt K Φ K Φ dt 2 En plaçant les termes ne dépendant pas de W et de ses dérivées à droite du signe « égal », on obtient Corrigé des exercices régimes transitoires Page 10 sur 12 TS2 ET 2014­2015 R Cr R J d Ω L J d2 Ω K Φ Ω+ + =U − K Φ dt K Φ dt 2 KΦ c. Mettre l'équation précédente sous la forme normalisée et exprimer la pulsation propre et le coefficient d'amortissement en fonction des caractéristiques de la machine. Calculer ces deux éléments pour une inductance de 40 mH puis 100 mH. Pour obtenir la forme normalisée, il faut faire apparaître W multiplié par un coefficient « 1 » soit Ω+ R Cr R J dΩ L J d2 Ω U + = − (division par K Φ de chaque côté de l'équation ). 2 2 2 K Φ (K Φ)2 (K Φ) dt ( K Φ ) dt 2m d Ω 1 d2Ω U R Cr + = − Il faut ensuite identifier avec l'équation Ω+ ω 0 dt ω 20 dt 2 K Φ ( K Φ)2 Expression de la pulsation propre : 1 LJ KΦ = 2 2 qui donne ω0 = ω0 ( K Φ) √LJ −2 16,7 .10 =34,4 rad/s Pour 40 mH : ω0 = √ 40.10−3×5890.10−7 Pour 100 mH : ω0 = 16,7 .10−2 =21,8 rad/s √ 100.10−3×5890.10−7 Expression du coefficient d'amortissement : RJ 2m 1 RJ = ω qui donne m= ω 2 0 2 (K Φ)2 0 (K Φ) −7 Pour 40 mH : m= 1 2,5×5890.10 ×34,4=0,908 2 (16,7 .10−2 )2 Pour 100 mH : m= 1 2,5×5890.10−7 ×21,8=0,575 2 (16,7 .10−2 )2 4. Calculer la vitesse de rotation en régime établi pour une tension d'induit de 30 V puis 60 V si le couple résistant est égal à 1,2 N.m. 2 R Cr R J dΩ LJ d Ω U + = − 2 2 2 K Φ ( K Φ)2 (K Φ) dt (K Φ ) dt dΩ d2Ω =0 et car =0 2 dt dt En régime établi, la vitesse est constante, la relation Ω+ (voir la question 3.c) devient Ω= R Cr U − K Φ (K Φ )2 Pour U = 30 V : Ω= 30 2,5×1,2 − =72,1 rad/s −2 16,7 .10 (16,7 .10−2 )2 Pour U = 60 V : Ω= 60 2,5×1,2 − =253 rad/s −2 16,7 .10 (16,7 .10−2 )2 5. Les courbes suivantes représentent la réponse à un échelon de 30 V à 60 V pour 40 mH puis 100 mH. a. Quelle courbe correspond à 100 mH ? Avec 100 mH, le facteur d'amortissement est plus faible qu'avec 40 mH, la réponse à l'échelon présente donc des pseudo oscillations plus importantes : la courbe de droite correspond à 100 mH. Remarque : les valeurs initiales et finales de la vitesse correspondent à celles déterminées précédemment (il aurait été judicieux d'indiquer les unités des axes verticaux). Corrigé des exercices régimes transitoires Page 11 sur 12 TS2 ET 2014­2015 b. Si l'induit du moteur est alimenté par un redresseur commandé, quel est l'avantage de placer une bobine de lissage d'inductance élevée en série avec l'induit ? Quel est l'inconvénient ? Avec une bobine de lissage d'inductance élevée, le courant continu est mieux lissé qu'avec une valeur d'inductance faible. Cependant, une augmentation trop importante de la valeur de l'inductance peut conduire à des pseudo oscillations de la vitesse lors de la réponse à un échelon. Corrigé des exercices régimes transitoires Page 12 sur 12 TS2 ET 2014­2015
